山東省棗莊市、聊城市、臨沂市、菏澤市2024年中考數(shù)學真題試卷

山東省棗莊市、聊城市、臨沂市、菏澤市2024年中考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個選項符合題目要求．1．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）下列實數(shù)中，平方最大的數(shù)是（）A．3 B．12 C．﹣1 2．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）用一個平面截正方體，可以得到以下截面圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）2023年山東省扎實落實民生實事，全年新增城鄉(xiāng)公益性崗位61.9萬個，將61.9萬用科學記數(shù)法表示應為（）A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×1064．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）下列幾何體中，主視圖是如圖的是（）A． B． C． D．5．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1C．（a3b）2＝a3b2 D．a(chǎn)（2a+1）＝2a2+a6．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（）A．200 B．300 C．400 D．5007．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）如圖，已知AB，BC，CD是正n邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，則n的值為（）A．12 B．10 C．8 D．68．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）某校課外活動期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是（）A．19 B．29 C．139．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）如圖，點E為?ABCD的對角線AC上一點，AC＝5，CE＝1，連接DE并延長至點F，使得EF＝DE，連接BF，則BF為（）A．52 B．3 C．7210．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）根據(jù)以下對話，給出下列三個結論：①1班學生的最高身高為180cm；②1班學生的最低身高小于150cm；③2班學生的最高身高大于或等于170cm．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）因式分解：x2y+2xy＝．12．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）寫出滿足不等式組x+2?12x?1<5的一個整數(shù)解13．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）若關于x的方程4x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為．14．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，則∠CAB＝．15．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）如圖，已知∠MAN，以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與AM、AN相交于點B，C；分別以B，C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)部相交于點P，作射線AP．分別以A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點D，E，作直線DE分別與AB，AP相交于點F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，則F到AN的距離為16．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次運算后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標系xOy中，將點（x，y）中的x，y分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標，其中x，y均為正整數(shù)．例如，點（6，3）經(jīng)過第1次運算得到點（3，10），經(jīng)過第2次運算得到點（10，5），以此類推．則點（1，4）經(jīng)過2024次運算后得到點．三、解答題：本題共7小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）（1）計算：+2﹣1﹣（﹣12）；（2）先化簡，再求值：(1?1a+3)÷18．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點P之間的距離．【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具【實踐活動】某班甲小組根據(jù)胡岸地形狀況，在岸邊選取合適的點B．測量A，B兩點間的距離以及∠PAB和∠PBA，測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．畫出示意圖，如圖1：（1）【問題解決】計算A，P兩點間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）（2）【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點D，E，F(xiàn)，使得A，D，E在同一條直線上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當F，D，P在同一條直線上時，只需測量EF即可．乙小組的方案用到了．（填寫正確答案的序號）①解直角三角形②三角形全等【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況選擇可實施的方案．19．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）某學校開展了“校園科技節(jié)”活動，活動包含模型設計、科技小論文兩個項目．為了解學生的模型設計水平，從全校學生的模型設計成績中隨機抽取部分學生的模型設計成績（成績?yōu)榘俜种疲脁表示），并將其分成如下四組：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．下面給出了部分信息：80≤x＜90的成績?yōu)椋?1，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）請補全頻數(shù)分布直方圖；（2）所抽取學生的模型設計成績的中位數(shù)是分；（3）請估計全校1000名學生的模型設計成績不低于80分的人數(shù)；（4）根據(jù)活動要求，學校將模型設計成績、科技小論文成績按3：2的比例確定這次活動各人的綜合成績．某班甲、乙兩位學生的模型設計成績與科技小論文成績（單位：分）如下：模型設計科技小論文甲的成績9490乙的成績9095通過計算，甲、乙哪位學生的綜合成績更高？20．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）列表法、表達式法、圖象法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對應關系．下表是函數(shù)y＝2x+b與y＝kxx?a12x+ba1____k________7（1）求a、b的值，并補全表格；（2）結合表格，當y＝2x+b的圖象在y＝kx的圖象上方時，直接寫出x21．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以點A為圓心，以AD為半徑作DE交AB于點E，以點B為圓心，以BE為半徑作EF所交BC于點F，連接FD交EF于另一點G，連接CG．（1）求證：CG為EF所在圓的切線；（2）求圖中陰影部分面積．（結果保留π）22．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）一副三角板分別記作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于點M，EN⊥DF于點N，如圖1．（1）求證：BM＝EN；（2）在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C，點A與點D重合，將圖2中的△DCF繞C按順時針方向旋轉α后，延長BM交直線DF于點P．①當α＝30°時，如圖3，求證：四邊形CNPM為正方形；②當30°＜α＜60°時，寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關系，并證明；當60°＜α＜120°時，直接寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關系．23．（2024·棗莊、聊城、臨沂、菏澤）在平面直角坐標系xOy中，點P（2，﹣3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝m．（1）求m的值；（2）若點Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的圖象上，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖象．當0≤x≤4時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；（3）設y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范圍．

答案解析部分1．【答案】A【知識點】有理數(shù)的乘方法則；有理數(shù)的大小比較-其他方法【解析】【解答】

A：32=9

B：（12）2=14

C：（?1）2．【答案】D【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形【解析】【解答】

A：是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，不合題意；

B：是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，不合題意；

C：是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，不合題意；

D：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；

故答案為：D

【分析】本題考查軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義，熟悉其定義，明確其區(qū)別即可得出結論。3．【答案】C【知識點】科學記數(shù)法表示大于10的數(shù)【解析】【解答】

解：61.9萬=619000=6.19×105

故答案為：C

【分析】本題考查科學記數(shù)法，熟練掌握科學記數(shù)法的定義可得答案。4．【答案】D【知識點】簡單組合體的三視圖【解析】【解答】

A：選項所給幾何體的主視圖是，不合題意；

B：選項所給幾何體的主視圖是，不合題意；

C：選項所給幾何體的主視圖是，不合題意；

D：選項所給幾何體的主視圖是，符合題意；

故答案為：D

【分析】本題考查立體圖形的投影與視圖，理解立體圖形的三視圖畫法是解題關鍵。5．【答案】D【知識點】整式的加減運算；單項式乘多項式；多項式乘多項式；冪的乘方運算【解析】【解答】

A：a4+a3不能合并，原選項錯誤，不合題意；

B：（a﹣1）2＝a2-2a+1，原選項錯誤，不合題意；

C：（a3b）2＝a6b2，原選項錯誤，不合題意；

D：a（2a+1）＝2a2+a，原選項正確，符合題意；

故答案為：D

【分析】本題考查整式的運算，冪的乘方，單項式多項式的乘法，乘法公式等知識，熟練掌握整式運算方法是解題關鍵。6．【答案】B【知識點】分式方程的實際應用-工程問題【解析】【解答】

解：設改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x件，依題意得：

600x=400x?100

600（x-100）=400x

200x=60000

x=300

經(jīng)檢驗，x=300是該分式方程的解，7．【答案】A【知識點】正多邊形的性質(zhì)【解析】【解答】

解：∵以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN

∴∠NBC=90°

∵ABN＝120°

∴∠ABC=360°-∠NBC-ABN＝150°

則正n邊形的一個內(nèi)角為150°

則正n邊形的一個外角為30°

∴n=360°30°=12

故答案為：A

【分析】本題考查正多邊形的知識，熟練正多邊形邊數(shù)與內(nèi)角，外角和的關系，正多邊形的邊數(shù)n=360°8．【答案】C【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式【解析】【解答】

解：甲、乙兩位同學各自任選其中一項參加的樹狀圖如下：

甲、乙兩位同學各自任選其中一項參加的所有情況共9種，其中選擇同一項活動的情況有3種，則他們選擇同一項活動的概率是39=13

9．【答案】B【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】

解：如圖所示，過點F作FH∥DC，交AC于H

∴∠DCE=∠FHE

∵DE=FE，∠DEC=∠FEH

∴?DCE??FHE（AAS）

∴CE=HE=1，DC=FH

∵?ABCD

∴DC∥AB，DC=AB，

∴FH∥AB，F(xiàn)H=AB，

∴四邊形AHFB為平行四邊形

∴BF=AH=AC-CE-HE=3

故答案為：B

【分析】本題考查特殊四邊形--平形四邊形的判定與性質(zhì)，”8“字型全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握此類知識是解題關鍵。作FH∥DC，證?DCE??FHE，得CE=HE=1，DC=FH，根據(jù)?ABCD的性質(zhì)，得四邊形AHFB為?，得BF值。10．【答案】C【知識點】一元一次不等式的應用；列一元一次不等式【解析】【解答】解：設1班同學的最高身高為xcm，最低身高為ycm，2班同學的最高身高為acm，最低身高為bcm，根據(jù)1班班長的對話，得x≤180，x+a＝350，∴x＝350﹣a，∴350﹣a≤180，解得a≥170，故③正確；1班學生的身高不超過180cm，最高未必是180cm，故無法判斷①；根據(jù)2班班長的對話，得b＞140，y+b＝290，∴b＝290﹣y，∴290﹣y＞140，∴y＜150，故②正確，故答案為：C．

【分析】本題考查不等式的應用，根據(jù)題意，找出數(shù)量關系，列出不等式，求解可得結論。11．【答案】xy（x+2）【知識點】因式分解﹣提公因式法【解析】【解答】

x2y+2xy＝xy（x+2）

【分析】本題考查因式分解提公因式，因式分解時，先提公因式，再考慮公式法或者十字相乘法等方法，直到不能分解。12．【答案】-1【知識點】一元一次不等式組的特殊解【解析】【解答】x+2?1①2x?1<5②

解不等式①得x≥?1，

解不等式②得x<3，

∴該不等式組的解集為?1≤x<3,

∴該不等式組得整數(shù)解為-1，0，1，2，

故答案為-1，0，1，2中其中一個即可.

【分析】先解得不等式①，②13．【答案】1【知識點】一元二次方程根的判別式及應用【解析】【解答】

解：∵關于x的方程4x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根

∴a=4，b=-2，c=m

?=b2?4ac=（?2）214．【答案】40°【知識點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理【解析】【解答】

解：如圖，連接OB

∴∠AOB=2∠ACB=50°

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA=65°

∵OA∥BC

∴∠OAC=∠ACB=25°

∴∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°

【分析】本題考查圓的知識，圓心角圓周角的數(shù)量關系，角度的計算，熟悉圓的基礎知識是解題關鍵。連接OB，得∠AOB=2∠ACB，OA=OB，∠OAB=∠OBA=65°，結合OA∥BC得∠CAB.15．【答案】2【知識點】等腰直角三角形；尺規(guī)作圖-作角的平分線；尺規(guī)作圖-垂直平分線；線段垂直平分線的應用；角平分線的應用【解析】【解答】

解：由題知：AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)為AB的中點

∴AF=12AB=2，EF⊥AF，∠BAC=2∠FAQ

∵∠PQE=67.5°

∴∠FAQ=90°-∠PQE=22.5°

∴∠BAC=45°

過點F作FP⊥AE，則?FAP為等腰直角三角形，F(xiàn)到AN的距離為FP

∴FP=sin45°AF=2×22=2

∴F到AN的距離為2

【分析】本題考查尺規(guī)作圖--角平分線，線段的垂直平分線，等腰三角形，點到直線的距離等知識，熟悉角平分線，線段的垂直平分線的作圖過程是解題關鍵，結合等腰三角形的性質(zhì)可得答案。由題知AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)為AB的中點，計算∠BAC=45°，作FP⊥AE，可得F到AN的距離為16．【答案】（2，1）【知識點】探索規(guī)律-點的坐標規(guī)律【解析】【解答】解：點（1，4）經(jīng)過1次運算后得到點為（1×3+1，4÷2），即為（4，2），經(jīng)過2次運算后得到點為（4÷2，2÷1），即為（2，1），經(jīng)過3次運算后得到點為（2÷2，1×3+1），即為（1，4），……，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點（1，4）經(jīng)過3次運算后還是（1，4），∵2024÷3＝674?2，∴點（1，4）經(jīng)過2024次運算后得到點（2，1），故答案為：（2，1）．

【分析】本題考查找規(guī)律，根據(jù)題目方法，對偶數(shù)奇數(shù)的運算要求，多次運算后，根據(jù)點的坐標，找出運行規(guī)律是解題的關鍵。由點（1，4）經(jīng)過3次運算后還是（1，4）可知三次一循環(huán)，據(jù)此可得答案。17．【答案】（1）解：原式＝2+1（2）解：原式＝a+2＝a+2＝a﹣3；將a＝1代入，得：原式＝1﹣3＝﹣2．【知識點】實數(shù)的混合運算（含開方）；分式的化簡求值-直接代入【解析】【分析】本題考查實數(shù)的運算和分式的化簡求值。

（1）掌握二次根式化簡，負整數(shù)指數(shù)冪及加減法則計算即可；

（2）分式化簡時，通分，約分，化為最簡，代入數(shù)值計算。18．【答案】（1）解：如圖，過B作BH⊥AP于H，∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，∴AH＝AB?cos79°≈60×0.19＝11.4（米），BH＝AB?sin79°≈60×0.98＝58.8（米），∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，∴tan∠APB=∴PH≈58∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；即A，P兩點間的距離為89.8米；（2）②【知識點】全等三角形的應用；背靠背模型【解析】【解答】解：（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當F，D，P在同一條直線上時，∴∠ADP＝∠EDF，∴△ADP≌△EFD（ASA），∴AP＝EF，∴只需測量EF即可得到AP長度；∴乙小組的方案用到了②；

【分析】本題銳角三角函數(shù)的應用，解直角三角形和全等三角形的判定與應用，找出所給角度，線段長之間的數(shù)量關系，利用三角函數(shù)求出所求線段是關鍵。

（1）過點B作BH⊥AP，由AB長，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，得AH，BH；結合∠APB，求出PH，最后求出AP；

（2）根據(jù)AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∠ADP＝∠EDF可證△ADP≌△EFD，可知乙用三角形全等的方法。19．【答案】（1）解：∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人，∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15，補全圖形如下：（2）83（3）解：全校1000名學生的模型設計成績不低于80分的人數(shù)為：1000×20+10（4）解：甲的成績?yōu)椋?4×3乙的成績?yōu)椋?0×3∴甲的綜合成績比乙高．【知識點】頻數(shù)（率）分布直方圖；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；中位數(shù)；用樣本的頻數(shù)估計總體的頻數(shù)【解析】【解答】

（2）解：本組數(shù)據(jù)共有50個，按照從小到大的順序排列，處于中間位置的兩個數(shù)在80-90之間，是83和83，83+832=83，則中位數(shù)是83.

【分析】本題考查統(tǒng)計圖，熟練掌握頻數(shù)分布直方圖，頻率，中位數(shù)，樣本總數(shù)，加權平均數(shù)等知識，根據(jù)直方圖和扇形圖，結合數(shù)量關系，用樣本估算整體情況是解題關鍵。（1）由60≤x＜70組人數(shù)為5人，占比10％，得樣本總數(shù)=50人，計算得70≤x＜80人數(shù)，補全即可；

（2）按照中位數(shù)的定義可得答案；

（3）根據(jù)樣本估算整體，”總人數(shù)×符合情況的占比即可；

20．【答案】（1）解：當x=?7當x＝a時，2x+b＝1，即2a+b＝1，∴a?b=?72a+b=1解得：a=?2b=5∴一次函數(shù)為y＝2x+5，當x＝1時，y＝7，∵當x＝1時，y=k∴反比例函數(shù)為：y=7當x=?72時，當y＝1時，x＝a＝﹣2，當x＝﹣2時，y=?7補全表格如下：x?﹣212x+b﹣217k﹣2?7故答案為：7；﹣2；?7（2）解：由表格信息可得：兩個函數(shù)的交點坐標分別為(?7∴當y＝2x+b的圖象在y=kx的圖象上方時，x的取值范圍為【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)與不等式（組）的關系；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)，反比例函數(shù)解析式，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點坐標，函數(shù)與不等式的關系，熟練掌握函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題關鍵。

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)（?72，a）（a，1），求出a，b值，可知一次函數(shù)解析式；根據(jù)（1，7）得k值，可得反比例函數(shù)解析式；

（2）求出兩個函數(shù)的交點坐標分別為(?72,?2)，（1，7），當y＝2x+21．【答案】（1）證明：連接BG，如圖1，根據(jù)題意可知：AD＝AE，BE＝BF，又∵AB＝BC，∴CF＝AE＝AD，∵BC＝2AD，∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，∵AD∥BC，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴∠BFD＝∠DAB＝60°，∵BG＝BF，∴△BFG是等邊三角形，∴GF＝BF，∴GF＝BF＝FC，∴G在以BC為直徑的圓上，∴∠BGC＝90°，∴CG為EF所在圓的切線；（2）解：過D作DH⊥AB于點H，連接BG，如圖2，由圖可得：S陰影＝S?ABFD﹣S扇AED﹣S扇BEG﹣S△BFG，在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°，∴DH=AD?sin∴S?ABFD由題可知：扇形ADE和扇形BGE全等，∴S扇形AED等邊三角形BFG的面積為：12∴S陰影【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算；平行四邊形的面積【解析】【分析】本題考查圓與扇形的知識，包括圓的切線判定與性質(zhì)，扇形的面積公式（S扇形=nπr2360），陰影的面積（整體-局部），三角函數(shù)的應用（計算三角形邊長），熟練掌握此類知識，正確運用輔助線來解決問題是關鍵。

（1）連接BG，由AB＝BC＝2AD＝2，AD=AE，BE=BF得ABFD是平行四邊形，可知△BFG是等邊三角形，則GF＝BF＝FC，則∠BGC＝90°，則CG為切線；

（2）過D作DH⊥AB于點H，連接BG，得DH，計算SABFD22．【答案】（1）證明：設AC＝DE＝a，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BM⊥AC，∴BM=AM=CM=1∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，∴EN=1∴BM＝EN；（2）解：①證明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°，∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°，∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°，∴四邊形PMCN為矩形，∵BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，∴CM＝CN，∴四邊形PMCN是正方形；②解：當30°＜α＜60°時，線段MP，DP，CD的數(shù)量關系為DP+MPCD=3如圖1，當30°＜α＜60°時，連接CP，由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，∵CP＝CP，∴△PMC≌△PNC（SAS），∴PM＝PN，∴MP+DP＝PN+DP＝DN，∵∠D＝30°，∴cos∠D=∴DP+MPCD如圖，當60°＜α＜120°時，MP?DP綜上，當30°＜α＜60°時，線段MP，DP，CD的數(shù)量關系為DP+MPCD=3