第二章 一元二次方程全單元教案-2022秋北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)

2.1認(rèn)識一元二次方程

第1課時一元二次方程

1.了解一元二次方程的概念；（重點(diǎn)）

2.掌握一元二次方程的一般形式加+公+。=03,b,c為常數(shù)，aWO）,能分清二次

項、一次項與常數(shù)項以及二次項系數(shù)、一次項系數(shù)等，會把一元二次方程化成一般形式；（重

點(diǎn)）

3.能根據(jù)具體問題的數(shù)量關(guān)系，建立方程的模型.（難點(diǎn)）

一、情景導(dǎo)入

一個面積為120m2的矩形苗畫，它的長比寬多2m,苗圃的長和寬各是多少？

設(shè)苗圃的寬為xm,則長為（x+2）m.

根據(jù)題意，得x（x+2）=120.

所列方程是否為一元一次方程？

（這個方程便是即將學(xué)習(xí)的一元二次方程.）

二、合作探究

探究點(diǎn)一：一元二次方程的概念

［類型一］判定一元二次方程

砸1下列方程中，是一元二次方程的是（填入序號即可）.

V21

②2?_彳_3=0；（3>^=3；

④/=2+3x；⑤A3—x+4=0；⑥產(chǎn)=2；

⑦/+3x--=0；?yjx1—x=2.

X

解析：由一元二次方程的定義知③⑤⑦⑧不是，答案為①②④⑥.

方法總結(jié)：判斷一個方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再對它

進(jìn)行整理，若能整理為a?+法+C=0（mb,。為常數(shù)，aHO）的形式，則這個方程就是一元

二次方程.

【類型二】根據(jù)一元二次方程的概念求字母的值

圓?a為何值時，下列方程為一元二次方程？

(\)ax1—x=2x1—ax—3\

(2)(a—1W］+2x—7=0.

解析：(1)將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，得(。-2)/+伍-1)小+3=0,所以當(dāng)a-2W0,即aW2

時，原方程是一元二次方程；(2)由⑷+1=2,且。一1片0知，當(dāng)。=一1時，原方程是一元

二次方程.

解：(1)當(dāng)。工2時，方程加一工二??？一如一3為一元二次方程；

(2)因為⑷+1=2,所以。=±1.當(dāng)a=l時，a—1=0,不合題意，舍去.所以當(dāng)°=一1

時，原方程為一元二次方程.

方法總結(jié)：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2,

列出關(guān)于某個字母的方程，再排除使二次項系數(shù)等于0的字母的值.

［類型三］一元二次方程的一般形式

砸1把下列方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和

常數(shù)項：

(1)x(x—2)=4?—3x：

x2x+1-x~1

⑵:

322

(3)關(guān)于x的方程如2一代+如+加=4一〃(旭+〃力0).

解析：首先對上述三個方程進(jìn)行整理，通過“去分母，去括號，移項，合并同類項”等

步驟將它們化為一般形式，再分別指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

解：(1)去括號，得^一右二3一?尤移項、合并同類項，得*2—彳=0.二次項系數(shù)為3,

一次項系數(shù)為一1,常數(shù)項為0;

(2)去分母，得2?—3伏+1)=3(一為一1).去括號、移項、合并同類項，得2?=0.二次

項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為0,常數(shù)項為0：

(3)移項、合并同類項，得(zn+kk+S?—〃)x+p—q=0.二次項系數(shù)為〃?+〃，一次項系

數(shù)為小一〃，常數(shù)項為p—q.

方法總結(jié)：(1)在確定一元二次方程各項系數(shù)時，首先把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一般形式，

如果在一般形式中二次項系數(shù)為負(fù)，那么最好在方程左右兩邊同乘一1,使二次項系數(shù)變?yōu)?/p>

正數(shù)；

(2)指出一元二次方程的各項系數(shù)時，一定要帶上前面的符號；

(3)一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式后，若沒有出現(xiàn)一次項加，則方=0;若沒有出現(xiàn)常數(shù)

項c,則c=0.

探究點(diǎn)二：建立一元二次方程模型

硒1如圖，現(xiàn)有一張長為19cm,寬15cm的長方形紙片，需要在四個頂角處剪去邊長

是多少的小正方形，才能將其做成底面積為81cm2的無蓋長方體紙盒？請根據(jù)題意列出方程.

解析：小正方形的邊長即為紙盒的高，中間虛線部分則為紙盒底面，設(shè)出未知數(shù)，利用

長方形面積公式可列出方程.

AD

R

解：設(shè)需要剪去的小正方形邊長為xcm,則紙盒底面的長方形的長為(19-2x)cm,寬為

(15—2r)cm.

根據(jù)題意，得(19-2x)(15-20=81.整理，得％2—17x+51=0(x＜冷).

方法總結(jié)：列方程最重要的是審題，只有理解題意，才能恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)，準(zhǔn)確地找

出已知量和未知量之間的等量關(guān)系，正確地列出方程.在列出方程后，還應(yīng)根據(jù)實際需求,

注明自變量的取值范圍.

三、板書設(shè)計

〃概念：只含有一個未知數(shù)X的整式方

程，并且都可以化成組2+隊+。

=0(a,b,c為常數(shù)，aWO)的形式

一般形式：o^+bx+cu。(a,b,c為常

一元二次方程5

數(shù)，a#0),其中奴bx,c

分別稱為二次項、一次項和

常數(shù)項，/b分別稱為二次

、項系數(shù)和一次項系數(shù)

本課通過豐富的實例，讓學(xué)生觀察、歸納出一元二次方程的有關(guān)概念，并從中體會方程

的模型思想.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，應(yīng)該讓學(xué)生進(jìn)一步體會一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界的

一個有效數(shù)學(xué)模型，初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀

點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

第二章元二次方程

2.1認(rèn)識一元二次方程

第1課時一元二次方程

1、經(jīng)歷抽象一元二次方程的概念的過程，進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界

教學(xué)

g的一個有效數(shù)學(xué)模型。

日杯_______________________________________________________________________

2、經(jīng)歷方程解的探索過程，增進(jìn)對方程解的認(rèn)識，發(fā)展估算意識和能力。

重點(diǎn)：認(rèn)識產(chǎn)生一元二次方程知識的必要性

難點(diǎn)：列方程的探索過程

【教學(xué)過程】

一、學(xué)前準(zhǔn)備：

1、什么叫方程？

2、什么叫一元一次方程?

二、問題探究：

探究一：根據(jù)題意，列出方程

1、藝術(shù)設(shè)計

一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如圖所示，它的長為8m,寬為5m。

如果地毯中央長方形圖案的面積為18m2,那么花邊有多寬？

如果設(shè)所求的寬度為xm,你能列出怎樣的方程？om

2、梯子移動

一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8mo

如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米？

如果設(shè)梯子底端滑動xm,你能列出怎樣的方程？

探究二:

備注

1、上述兩個方程有什么共同特點(diǎn)？

2、你還能寫出具備上述特征的方程嗎？

綜上有：

一元二次方程的定義：______________________________________

一元二次方程的一般式：____________________________________

三、課堂檢測：

（一）、判斷題（是一無二次方程的在括號內(nèi)劃“巾‘，不是一元二次方程

的，在括號內(nèi)劃“x”）

1.5^+1=0()2.3^+-+1=0()

x

3.4f=or（其中a為常數(shù)）（）4.2X2+3X=0()

53x*2+l

=2x()6.yj(x2+x)2=2x()

5

（二）、填空題.

1.方程5a2一亞/1）二一3亞戶2的一般形式是,其二次項是

，一次項是,常數(shù)項是.

2.如果方程加+5=（x+2）（x—1）是關(guān)于x的一元二次方程，則a.

3.關(guān)于x的方程（m—4）x2+（m+4）x+2m+3=0,當(dāng)m時，是一元二次

方程，當(dāng)m時，是一元一次方程。

四、學(xué)習(xí)體會：

五、課后作業(yè)

第2課時一元二次方程的解及其估算

鰭I

1.經(jīng)歷一元二次方程的解或近似解的探索過程，增進(jìn)對方程解的認(rèn)識；（重點(diǎn)）

2.會用“夾逼法”估算方程的解，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識和能力.（難點(diǎn)）

一、情景導(dǎo)入

在上一課時情境導(dǎo)入中，苗圃的寬滿足方程工。+2）=120,你能求出該方程的解嗎?

二、合作探究

探究點(diǎn)一：一元二次方程的解

的U下列哪些數(shù)是方程F—6x+8=0的根？

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

解析：把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分別代入方程如一6工+8=0中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)

x=2和x=4時，方程6x+8=0成立，所以x=2,x=4是方程x2—6x+8=0的根.

解：2,4是方程x2—6x+8=0的根.

方法總結(jié)：（1）使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也

叫一元二次方程的根.

（2）判斷一個數(shù)是否為某個一元二次方程的根，我們只需要將這個數(shù)當(dāng)作未知數(shù)的值分

別代入原方程的左右兩邊，看左右兩邊代數(shù)式的值是否相等，若相等，則這個數(shù)是一元二次

方程的根；若不相等，則這個數(shù)不是一元二次方程的根.

探究點(diǎn)二：估算一元二次方程的近似解

畫?請求出一元二次方程好一公一1=0的正數(shù)根（精確到0.1）.

解析：先列表取值，初步確定正數(shù)根%在哪兩個整數(shù)之間，然后再用類似的方法逐步確

定出丫的近似正數(shù)根.

解：（1）列表，依次取x=0,1,2,3,…

X0123…

X2-2X-1-1-2-12…

由上表可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)2VxV3時，-IVr—2x-lV2；

（2）繼續(xù)列表，依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…

X2.12.22.32.42.5…

^2—2x—1-0.79-0.56-0.31-0.040.25…

由上表可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)2.4VxV2.5時，一0.04〈/一法一1<0.25；

（3）取x=2.45,則/一2%—1Q0.1025.

A2.4<x<2.45,：.x^2A.

方法總結(jié)：（1）利用列表法估算一元二次方程根的取值范圍的步驟是：首先列表，利用

未知數(shù)的取值，根據(jù)一元二次方程的一般形式公2+云+°=0（小兒C為常數(shù)，。#0）分別計

算加+區(qū)+c的值，在表中找到使d+加+c可能等于0的未知數(shù)的大致取值范圍，然后

再進(jìn)一步在這個范圍內(nèi)取值，逐步縮小范圍，直到所要求的精確度為止.

(2)在估計一元二次方程根的取值范圍時，當(dāng)加+公+以。"。)的值由正變負(fù)或由負(fù)變正

時，x的取值范圍很重要，因為只有在這個范圍內(nèi)，才能存在使"十陵十。=0成立的x的

值，即方程的根.

三、板書設(shè)計

一元二次方程的解的估算，采用“夾逼法”：

(1)先根據(jù)實際問題確定其解的大致范圍；

(2)再通過列表，具體計算，進(jìn)行兩邊“夾逼”，逐步獲得其近似解.

“估算”在求解實際生活中一些較為復(fù)雜的方程時應(yīng)用廣泛.在氐節(jié)課中讓學(xué)生體會用

“夾逼”的思想解決一元二次方程的解或近似解的方法.教學(xué)設(shè)計上.強(qiáng)調(diào)自主學(xué)習(xí)，注重

合作交流，在探究過程中獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，提高探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的能力.

第2課時一元二次方程的解及其估算

教學(xué)工、會用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解

目標(biāo)2、經(jīng)歷方程解的探索過程，增進(jìn)對方程解的認(rèn)識，發(fā)展估算意識和能力。

重點(diǎn)：探索一元二次方程的解或近似解

難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生的估算意識和能力

【教學(xué)過程】備注

一、溫故而知新

1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：,

2、指出下列方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項。

(l)2x2-x+l=0(2)-x2+l=0(3)x2-x=0⑷3x2=0

二、問題探究：

探索1：上節(jié)我們列出了與地毯的花邊寬度有關(guān)的方程。

地毯花邊的寬x(m),滿足方程(8-2x)(5-2x)=18

也就是：2x2-13x+ll=0

你能估算出地毯花邊的寬度x嗎？

(1)x可能小于0嗎？說說你的理由；,

(2)x可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？為什么？

(3)完成下表

X00.511.522.5

2x2-13x+ll

(4)你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴

交流。

備注

探索2：梯子底端滑動的距離x（m）滿足方程（x+6產(chǎn)+乃=1。2,也就是

x2+12x—15=0

（1）你能猜出滑動距離x（m）的大致范圍嗎？

（2）x的整數(shù)部分是?十分位是?

X0

x2+12x-15

所以___<x<

進(jìn)一步計算

X

X2+12X-15

所以—<x<_

因此X的整數(shù)部分是_r十分位是

三、當(dāng)堂訓(xùn)練：

完成課本34頁隨堂練習(xí)

四、學(xué)習(xí)體會:

五、課后作業(yè)

2.2用配方法求解一元二次方程

第1課時用配方法求解簡單的一元二次方程

1.會用直接開平方法解形如(X+機(jī))2=〃(〃>0)的方程；(重點(diǎn))

2.理解配方法的基本思路；(難點(diǎn))

3.會用配方法解二次項系數(shù)為I的一元二次方程.(重點(diǎn))

一、情景導(dǎo)入

一塊石頭從20m高的塔上落下，石頭離地面的高度力(m)和下落時間Ms)大致有如下關(guān)

系：〃=20—5/,問石頭經(jīng)過多長時間落到地面？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：用直接開平方法解一元二次方程

砸1用直接開平方法解下列方程：

(1)^-16=0;(2)3/—27=0；

(3)。-2)2=9;(4)(2y-3)2=16.

解析：用直接開平方法解方程時，要先將方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊

是非負(fù)數(shù)的形式，再根據(jù)平方根的定義求解.注意開方后，等式的右邊取“正、負(fù)”兩種情

況.

解：(1)移項，得r=16.根據(jù)平方根的定義，得工=±4,即川=4,及=-4；

(2)移項，得3f=27.兩邊同時除以3,得/=9.根據(jù)平方根的定義，得％=±3,即沏=3,

X2=—3；

(3)根據(jù)平方根的定乂，得x-2=±3,即x-2=3或x—2=-3,所以％i=5,xz=-1；

(4)根據(jù)平方根的定義，得2廠3=±4,即2廠3=4或2廠3=—4,所以川=多”=一

1

2,

方法總結(jié)：直接開平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理論依據(jù)是平方根的

定義，它的可解類型有如下幾種：①f=a(a20);②(x+〃)2=〃S20)；③(tu+b)2=c(c20)；

④(如+b)2=(以+d)2(|a|W期).

探究點(diǎn)二：用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程

用配方法解方程：/+〃-1=0.

解析：方程左邊不是一個完全平方式，需將左邊配方.

解：移項，得9+2x=l.

配方，得/+2^+($2=1+(守，

即一+1)2=2.

開平方，得x+l=±Vl

解得的=?一1,M=一木―1.

方法總結(jié)：用配方法解一元二次方程時，應(yīng)按照步驟嚴(yán)格進(jìn)行，以免出錯.配方添加時，

記住方程左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

三、板書設(shè)計

用配方法解簡單的一元二次方程：

1.直接開平方法：形如(x+卅)2=〃(〃20)用直接開平方法解.

2.用配方法解一元二次方程的基本思路是將方程轉(zhuǎn)化為a+m)2=〃(〃20)的形式，再用

直接開平方法，便可求出它的根.

3.用配方法解二次項系數(shù)為1的元二次方程的?般步驟：

(1)移項，把方程的常數(shù)項移到方程的右邊，使方程的左邊只含二次項和一次項；

(2)配方，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把原方程化為(1+機(jī))2=〃(〃20)的形

式；

(3)用直接開平方法求出它的解.

通過觀察，思考，對比獲得一元二次方程的解法一一直接開平方法、配方法，領(lǐng)會降次

一一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生從不同角度進(jìn)行探究的習(xí)慣和能力，使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中形

成實事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.

2.2用配方法求解一元二次方程

第1課時用配方法求解簡單的一元二次方程

1.會用開平方法解形如(x+m)2=n(n2O)的方程；理解配方法，會用配方法解簡單的

教數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

學(xué)

目2.經(jīng)歷列方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一

標(biāo)

個有效數(shù)學(xué)模型,增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識和能力.

3.體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

重點(diǎn)：利用配方法解一元二次方程.

難點(diǎn)：把一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n(n20)的形式.

知識鏈接：求一元二次方程的近似解

備注

一、【自學(xué)感知】

在上一節(jié)的問題中，梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程x2+12x-15=O.我們已

經(jīng)求出了X的近似值，你能求出它的精確值嗎？

二、合作交流

活動一：

(1)你能解哪些特殊的一元二次方程？

(2)你會解下列一元二次方程嗎？你是怎么做的？

x2=5,2x2+3=5,x2+2x+l=5,(x+6)2+72=IO2

(3)你能解方程x2+12x-15=O嗎？你遇到的困難是什么？你能設(shè)法將這個方程轉(zhuǎn)

化成上面方程的形式嗎？與同伴進(jìn)行交流。

活動二：

做一做：

填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立

(1)x2+12x+_________=(x+6)2

(2)x2-4x+_________=(x-_____)2

(3)x2+8x+__________=(x+__)2

在上面等式的左邊，常數(shù)項和一次項有什么關(guān)系

解一元二次方程的思路是什么？

備注

活動三:

例1、解方程:x2+8x-9=0

你能用語言總結(jié)配方法嗎?

課本37頁隨堂練習(xí)

課時作業(yè)：

第2課時用配方法求解較復(fù)雜的一元二次方程

鰭I

1.會用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程；(重點(diǎn))

2.能夠熟練地、靈活地應(yīng)用配方法解一元二次方程.(難點(diǎn))

一、情景導(dǎo)入

某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s(m)和時間/(s)之間的關(guān)系為：s=10z+3凡那

么行駛200m需要多長時間？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程

的U用配方法解方程：一聶+|r-1=0.

解析：先把方程二次項的系數(shù)化為1,再配方成(1+〃?)2=〃(〃20)的形式，最后開平方

即可.

解：方程兩邊同除以一看得/一5葉尹0.

移項，得/-5%=一/

配方，得X2—5x+(一京=-,+(一m2,

即(%-m2=呈

兩邊開平方，得乎.

日n5V13-5亞^

即X-2=2-x~2=一"2"

在z5+遮5—遮

所以汨=-2-，X2=-2一?

易錯提醒：用配方法解一元二次方程時，易出現(xiàn)以下錯誤：(。方程一邊忘記加常數(shù)項；

(2)忘記將二次項系數(shù)化為1;(3)在二次項系數(shù)化為1時，常數(shù)項忘記除以二次項系數(shù)；(4)

配方時，只在一邊加上一次項系數(shù)一半的平方.

探究點(diǎn)二：配方法的應(yīng)用

【類型一］利用配方法求代數(shù)式的值

畫國已知々2—3。+〃一，+和=0,求4—4、傷的值.

解析：觀察方程可以知道，原方程可以用配方法轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)的平方和等于。的形式,

得到這兩個數(shù)都為0,從而可求出a,b的值，再代入代數(shù)式計算即可.

解：原等式可以寫成：3一當(dāng)2+S—()2=0.

3131

；?a—2=0,6—工=0,解得a=i，b=［

方法總結(jié)：這類題目主要是配方法和非負(fù)數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，通過配方把等式轉(zhuǎn)化為兩

個數(shù)的平方和等于0的形式是解題的關(guān)鍵.

［類型二］利用配方法求代數(shù)式的最值或判定代數(shù)式的值與0的關(guān)系

砸1請用配方法說明：不論X取何值，代數(shù)式/—5x+7的值恒為正.

解析：本題是要運(yùn)用配方法將代數(shù)式化為一個平方式加上一個常數(shù)的膨式.

解：,?2-5x+7=A5工+胡+7—g)2=(x—分+點(diǎn)而(L%2。，

?/5、-3、3

??(%_］)-+汽.

???代數(shù)式/-5彳+7的值恒為正.

方法總結(jié)：對于代數(shù)式是一個關(guān)于x的二次式且含有一次項，在求它的最值時，常常采

用配方法，將原代數(shù)式變形為一個平方式加一個常數(shù)的形式，根據(jù)一人數(shù)的平方是一個非負(fù)

數(shù)，從而就可以求出原代數(shù)式的最值.

［類型三］利用配方法解決一些簡單的實際問題

硒1如圖，一塊矩形土地，長是48m,寬是24m,現(xiàn)要在它的中央劃一塊矩形草地,

四周鋪上花破路，路面寬都相等，草地面積占矩形土地面積的,，求花磚路面的寬.

解析；若設(shè)花席路面寬為xm,則草地的長與寬分別為(48-2x)m及(24-2r)m,根據(jù)等

量關(guān)系：矩形草地的面積=^X矩形土地的面積，即可列一元二次方程求解.

解：設(shè)花磚路面的寬為xm.根據(jù)題意，得(48—2；0(24—2%)="4*24.

整理，得/-36x=-128.

配方?得X2—36x+(—18)2=—128+(—18)2,

即(%—18)2=196.

兩邊開平方，得x—18=±14.

即x—18=14,或x—18=—14.

所以xi=32(不合題意，舍去卜％2=4.

故花磚路面的寬為4m.

方法總結(jié)：列一元二次方程解決實際問題時，一定要檢驗方程的根，這些根雖然滿足所

列的一元二次方程，但未必符合實際問題，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合

實際問題的解舍去.

三、板書設(shè)計

用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的步驟：

(1)把原方程化為一般形式；

(2)二次項系數(shù)化為1,方程兩邊都除以二次項系數(shù)；

(3)移項，把常數(shù)項移到右邊，使方程左邊只含二次項和一次項；

(4)配方，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；

(5)用直接開平方法解方程.

通過對比用配方法解二次項系數(shù)是1的一元二次方程，發(fā)現(xiàn)解二次項系數(shù)不是1的一元

二次方程的方法,經(jīng)歷從簡單到復(fù):雜的過程，對配方法全面認(rèn)識.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，

通過學(xué)生親自解方程的感受與經(jīng)驗，總結(jié)成文，幫助學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

第2課時用配方法求解較復(fù)雜的一元二次方程

課題第2課時用配方法求解較星雜的一元二次方程課型新授課

1.會用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程..

教學(xué)目標(biāo)

2.了解用配方法解一元二次方程的基本步驟.

教學(xué)重點(diǎn)用配方法求解一元二次方程.

教學(xué)難點(diǎn)理解配方法.

教學(xué)方法講練結(jié)合法

教學(xué)后記

教學(xué)內(nèi)容及過程學(xué)生活動

1、復(fù)習(xí)：

.1、什么叫配方法？

2、怎樣配方？方程兩邊同加上一次項系數(shù)一半的平學(xué)生回答

方。

3、解方程:演板

（1）x2+4x+3=X）（2）X2—4x+2=0

二、新授：.

1、例題講析：

例3：解方程,：3x2+8x-3=0

分析：將二次項系數(shù)化為1后，用配方法解此方程。

O

解：兩邊都除以3,得：X2+5X-1=0

o

移項，得：X=1

844

配方，得：x+（§）2=1+（3戶（方程兩邊都加

上一次項系數(shù)一半的平方）

（X+1）2=（|）2

451

即：x+§=±§所以,X2=—3

2、用配方法解一元二次方程的步驟.：由學(xué)生共同小結(jié)

（1）把二次項，系數(shù)化為1;

（2）移項，方程的一邊為二次項和一次項，另一邊為

常數(shù)項。

,（3）方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方。

（4）用直接開平方法求出方程的根。

3、做一做：

一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中

的高度h(m)與時間t(s)滿足,關(guān)系：h=15t-5t2

小球何M能N到10m高？

三、鞏固：

練習(xí):P39隨堂練習(xí)

四、小結(jié)：這節(jié)課我們利用配,方法解

用配方法解一元二次方程的步驟。決了二次項系數(shù)不為1或者

(1)化二次項系數(shù)為1;一次項系數(shù)不為偶數(shù)等較復(fù)

(2)移項,；雜的一元二次方程，由此我們

(3)配方：歸納出配方法的基本步驟

(4)求根。

五、作業(yè)

課本P40習(xí)題2.41、2

板書設(shè)計：

一、解方程

二、做一做，讀一讀

三、課時小結(jié)

四、課后作業(yè)

2.3用公式法求解一元二次方程

第1課時用公式法求解一元二次方程

1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

2.會用公式法解一元二次方程；(重點(diǎn))

3.會用根的判別式從一4訛判斷一元二次方程根的情況及相關(guān)應(yīng)用.(難點(diǎn))

一、情景導(dǎo)入

如果這個一元二次方程是一般形式加+bx+c=03N0),你能否用配方法的步驟求出

它們的兩根？請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個問題.

問題：已知6+法+。=0340),且按一4砒20,試推導(dǎo)它的兩個根x尸二4訛,

-b—皿2一4ac

二、合作探究

探究點(diǎn)一：用公式法解一元二次方程

［例U方程3X2—8=7］化為一?般形式是,其中。=,b=,

c=,方程的根為.

解析：將方程移項可化為3/—7%—8=0.其中。=3,方=-7,c=-8,因為拄一而。=(一

7)2—4X3X(—8)=145>0,代入求根公式可得上=,"^詬.

7±\/145

故答案分別為3r-7x—8=0,3,—7,—8,—.

方法總結(jié)：一元二次方程ad+bx+cuOQWO)的根是由方程的系數(shù)a,b,c確定的，只

要確定了系數(shù)〃，Ac的值，代入公式就可求得方程的根.

砸用公式法解下列方程：

(1)一3/—54+2=0;(2)2r2+3x+3=0；

解析：先確定a,8，c,及加一4ac,的值，再代入公式求解即可.

解：(1)—3爐一5x+2=0,3x?+5x—2=0.

Va=3,b=5,c=-2,

???〃-4ac=52—4X3X(—2)=49>0,

.~5±>/49~5±7

2X36

?X2=-2；

(2)Va=2,b=3,c=3,

???加-4m=32—4X2X3=9-24=-15V0,

???原方程沒有實數(shù)根；

(3)Va=l,b=-2,c=l,

工護(hù)一4“C=(—2)2—4X1X1=0,

.2±^02±0

**J=2X1=-F*

/?Xl=X2=1.

方法總結(jié)：用公式法解一元二次方程時，首先應(yīng)將其變形為一般形式，然后確定公式中

mb,。的值，再求出爐一4加的值與“0”比較，最后利用求根公式求出方程的根(或說明其

沒有實數(shù)根).

探究點(diǎn)二：一元二次方程根的判別式

［類型—］用根的判別式判斷一元二次方程根的情況

已知?元二次方程人2+冗=1,下列判斷正確的是()

A.該方程有兩個相等的實數(shù)根

B.該方程有兩個不相等的實數(shù)根

C.該方程無實數(shù)根

D.該方程根的情況不確定

解析：原方程變形為r+工一1=0.??"2—4農(nóng)=12—4乂1乂(-1)=5>0,???該方程有兩個

不相等的實數(shù)根，故選B.

方法總結(jié)：判斷一元二次方程根的情況的方法：利用根的判別式判斷一元二次方程根的

情況時，要先把方程轉(zhuǎn)化為一般形式公2+加+。=0(。=0).當(dāng)〃一4〃c>0時，方程有兩個

不相等的實數(shù)根；當(dāng)按一4訛=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)4acV0時，方程無

實數(shù)根.

［類型二］根據(jù)方程根的情況確定字母的取值范圍

硒1若關(guān)于x的一元二次方程立一2r—1=0,有兩個不相等的實數(shù)根，則攵的取值范

圍是()

A.k>~\B.上一1且M0

C.k<\D.女<1且攵W0

解析：由根的判別式知，方程有兩個不相等的實數(shù)根，則尻-4的>0,同時要求二次項

［(—2)2-4&(-1)>0,

系數(shù)不為0,即解得攵>一1且kW0,故選B.

［AWO.

易錯提醒：利用從一4〃。判斷一元二次方程根的情況時，容易忽咚二次項系數(shù)不能等于

0這一條件，本題中容易誤選A.

［類型三］根的判別式與三角形的綜合應(yīng)用

碉己知a,h,c分別是△A8C的三邊長，當(dāng)加>0時，關(guān)于x的一元二次方程c(f+

m)+Kv2—nt)—2y/mor=0有兩個相等的實數(shù)根，請判斷△ABC的形狀.

解析：先將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，再根據(jù)根的判別式確定。，兒，之間的關(guān)系，即可判

定△ABC的形狀.

解：將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式，得(b+c)%2—2、師ai+(c—力機(jī)=0.

*.*原方程有兩個相等的實數(shù)根，

—2y[ma)?—4(b+c)(c—?dú)v6=0,

即4〃1(4+從-/)=0.

又/?a2-F^—c2=0,即/+護(hù)=/.

根據(jù)勾股定理的逆定理可知AA8C為直角三角形.

方法總結(jié)：根據(jù)一元二次方程根的情況，利用判別式得到關(guān)于一元二次方程系數(shù)的等式

或不等式，再結(jié)合其他條件解題.

三、板書設(shè)計

用

公

式「出出〔八沖一出/12-4訛

法求根公式：x=-------------------(aWO,b2~4ac^0)

解①化為一般形式

②確定a,b,c的值

元③求出爐一4訛

(④利用求根公式求解

次I一元二次方程根的判別式

方

程

經(jīng)歷從用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程到解字母系數(shù)的一元二次方程，探索求根公

式，發(fā)展學(xué)生合情合理的推理能力，并認(rèn)識到配方法是理解求根公式的基礎(chǔ).通過對求根公

式的推導(dǎo)，認(rèn)識到一元二次方程的求根公式適用于所有的一元二次方程，操作簡單.體會數(shù)

式通性，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.提高學(xué)生的運(yùn)算能力，并養(yǎng)成良好的運(yùn)算

習(xí)慣.

2.3用公式法求解一元二次方程

第1課時用公式法求解一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會熟練應(yīng)用公式法解一元

二次方程.

復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=O（aNO）國的求根公

式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）用配方法解下列方程

(1)6x2-7x+l=0(2)4x2-3x=52

（老師點(diǎn)評）（1）移項，得：6x2-7x=-l

7|

二次項系數(shù)化為1,得：x2--x=--

66

配方，得：x2--x+(―)2=--+

6126

(7、225

(X---)2=----

12144

x-l=±Ax577+5

1=—+—=----=1

1212121212

577-51

X2=---+-=-----=—

1212126

（2）略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評）.

（1）移項；

（2）化二次項系數(shù)為1；

（3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；

（4）原方程變形為（x+m）Jn的形式；

（5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元

二次方程無解.

二、探索新知

如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（aWO）,你能否月上面配方法的步驟求

出它們的兩根，請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個問題.

-b+\jb2-4ac

問題：已知ax2+bx+c=O（aWO）且b2-4ac>0?試推導(dǎo)它的兩個根刈=

-b-yjb2-4ac

分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c0乜當(dāng)成一個具體數(shù)字,

根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.

解：移項，得：ax2+bx=-c

hr

二次項系數(shù)化為1，得X?+2X=

aa

*z■,b.b..c,b、)

酉31n己方，得H：x2+—x+(一)2=--+(—)2

a2aa2a

￡-4OC

即(X+±)2=

2a荷

Vb2-4ac>0且4a2>0

b2-4ac

20

4a2

直接開平方，得：x+9士勺竺

-b±yJb2-4ac

即x=--------------

2a

-b+"2-44c-b-yjb2-4ac

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當(dāng)b-4ac20時，0

將a、b、c代入式子就得到方程的根.

(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.

例1.用公式法解下列方程.

(1)2x2-4x-l=0(2)5x+2=3x2

(3)(x-2)(3x-5)=0(4)4x2-3x+l=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可.

解：(1)a=2,b=-4,c=-l

b2-4ac=(-4)2-4X2X(-1)=24>0

-(-4)土扃4±2、62±V6

x=--------------------=-------------=-----------

2+x/62-瓜

/.Xi=------------，X2=-------------

22

(2)將方程化為一般形式

3x2-5x30

a=3,b=-5>c=-2

b2-4ac=(-5)2-4X3X(-2)=49>0

-(-5)±>/495±7

-2x3~6

1

Xi=2,X2=--

3

(3)將方程化為一般形式

3x2-llx+9=0

a=3,b=-ll>c=9

b2-4ac=(-11)2-4X3X9=13>0

.-(-H)±V1311±>/13

?.x=------------------------=----------------

2x36

11+V1311-VF3

Xi=---------------，X2=----------------

66

（3）a=4,b=-3?c=l

b2-4ac=（-3）2-4X4Xl=-7<0

因為在實數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開平方，所以方程無實數(shù)根.

三、鞏固練習(xí)

教材P43隨堂練習(xí)

四、應(yīng)用拓展

例.某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程（m+1）xm2+2+（m-2）x-l=0提出了下列問題.

（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.

（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出.

你能解決這個問題嗎？

分析：能.（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+l=2,同時還要滿足（m+1）W0.

（2）要使它為一元一次方程，必須滿足：

—m2+1=1-［療+1=0-（加+1=0

①！或②〈或③〈

。九+1）+（陽一2）工0［加一2Ho［m-2^0

解：（1）存在.根據(jù)題意，得：m2+l=2

m2=lm=±l

當(dāng)m=l時，m+l=l+l=2^0

當(dāng)m=-l時，m+l=-l+l=0（不合題意，舍去）

，當(dāng)m=l時，方程為2x2-l-x=0

a=2>b=-l?c=-l

b2-4ac=(-1)2-4X2X(-1)=1+8=9

-(-l)±>/91±3

x=-----------------=-------

2x24

1

Xl=,X2=--

2

因此，該方程是一元二次方程時，m=l,兩根刈=1,x2=--.

2

(2)存在.根據(jù)題意，得：①m2+l=l,m2=0?m=0

因為當(dāng)m=0時,(m+1)+(m-2)=2m?l=?l#0

所以m=0滿足題意.

②當(dāng)m2+l=O,m不存在.

③當(dāng)m+l=O,即m=?l時,m-2=-3#0

所以m=-l也滿足題意.

當(dāng)m=0時，一元一次方程是x-2x-l=0,

解得：x=-l

當(dāng)m=-l時，元次方程是-3x-l=0

解得x=」

3

因此，當(dāng)m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當(dāng)m=0時，其根為x=-l；

當(dāng)m-01時，其一元一次方程的根為乂=-』.

3

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

<1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；

(2)公式法的概念；

(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程：

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

六、布置作業(yè)

1.教材P43習(xí)題2.51、2

2.選用作業(yè)設(shè)計：

一、選擇題

1.用公式法解方程4x，12x=3,得到().

-3±V63±>/6-3±263±26

A.x=---------B.x=———C.x=-----------D.x=.........-

2222

2.方程近x2+4Gx+60=0的根是().

A.Xi=\/2,X2=J5；B.X1=6,X2=V2；C.Xi=2\/2,X2=&；D.X1=X2=->/6

3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,則mZ-rP的值是().

A.4B.-2C.4或?2D.?4或2

二、填空題

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式是,條件是.

2.當(dāng)乂=時，代數(shù)式"-8X+12的值是?4.

3.若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根為0,則m的值是.

三、綜合提高題

1.用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.

2.設(shè)xi，X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的兩根，(1)試推導(dǎo)XI+X2=-2,Xrx2=

a

—；(2)團(tuán)求代數(shù)式a(XI3+X23)+b(XI2+X22)+C(X1+X2)的值.

a

3.某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時，回那么這戶居

民這個月只交10元電費(fèi)，如果超過A千瓦時，那么這個月除了交10才元用電費(fèi)外超過部分

A

還要按每千瓦時一元收費(fèi).

100

(1)若某戶2月份用電90千瓦時，超過規(guī)定A千瓦時，則超過部分電費(fèi)為多少元？

(囹用A表示)

(2)下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況

月份用電量(千瓦時)