第18講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)雙變量問(wèn)題(提升訓(xùn)練)(解析版)-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)考點(diǎn)專(zhuān)題訓(xùn)練

第18講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)雙變量問(wèn)題

【提升訓(xùn)練】

一、單選題

i.在許多實(shí)際問(wèn)題中，一個(gè)因變量往往與幾個(gè)自變量有關(guān)，即因變量的值依賴于幾個(gè)自變

量，這樣的函數(shù)稱(chēng)為多元函數(shù).例如，某種商品的市場(chǎng)需求量不僅僅與其市場(chǎng)價(jià)格有關(guān)，而

且與消費(fèi)者的收入以及這種商品的其它代用品的價(jià)格等因素有關(guān)，即決定該商品需求量的因

素不止一個(gè)而是多個(gè)我們常常用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)研究多元函數(shù)以下是計(jì)算二元函數(shù)

z=f(x,y)=2x2+y+3xy2在(1,2)處偏導(dǎo)數(shù)的全過(guò)程:

￡(x,y)=4x+3y2/'(x,y)=l+6犯，所以

/；,，(l,2)=4xl+3x22=16,//(h2)=1+6x1x2=13.由上述過(guò)程，二元函數(shù)

z=f(x,y)=ln(x2+y2),則工'(1,2)+4'(1,2)=()

6

A.29B.-

5

21

C.—D.一

55

【答案】B

【分析】

根據(jù)題目給出的運(yùn)算法則，計(jì)算得到答案.

【詳解】

z=/(x,y)=ln(x2+/)

則￡(》/)=-3^2)=|；=../'(1,2)=:

x-\-y5x+y5

￡(1,2)+方(1,2)=4

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.

3

2.定義在R上的函數(shù)y=/(x),滿足/(3—x)=/(x),(x-1)/'(x)<0,若如氣2,且

X|+X2>3,

則有

A./(%,)</(%2)B./(%1)>/(x2)C./(%!)=/(x2)D.不確定

【答案】B

【詳解】

3

分析：/（3-x）=/（x）對(duì)稱(chēng)軸為X=5，若玉<吃且玉+/>3'離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)，

（x-m]f'（x）<0可知f'（x）<0在x>T，故單調(diào)遞減.

詳解：/（3-x）=.f（x）對(duì)稱(chēng)軸為x=5，若苞艮玉+W>3,4離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)，

、'1x<2時(shí)，f'（x）〉O,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>±時(shí)，f'（x）<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

故/（Xl）>/（%2）?選B.

點(diǎn)睛：利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小，可以利用數(shù)形結(jié)合法.

3.若直線歹=^與曲線C：y=lnx相交于不同的兩點(diǎn)工（看,必），8（X1,必），曲線

C:y=lnx在點(diǎn)A,8處的切線相交于點(diǎn)尸（%,%）,則（）

A.a<-B.exx=xC.k+k>2aD,k+k<2a

e}20APBPAPBP

【答案】C

【分析】

A選項(xiàng)根據(jù)圖像可以得出結(jié)論；

B選項(xiàng)：設(shè)43,寫(xiě)出48點(diǎn)處的切線程聯(lián)立并化簡(jiǎn)得（馬―須）（叼/―x）=0,從而得

出結(jié)論；

,11In-Inx.

C選項(xiàng)：要證明G+L>2a即工+五>2下:'化簡(jiǎn)得

(\

三-2x強(qiáng)/n強(qiáng)-l>0,設(shè)/=—>1，可得/_2xf.ln/-l>0令

7

A（Z）=Z2-2x/.ln/-l,通過(guò)求導(dǎo)判斷秋。的單調(diào)性，進(jìn)一步得到陽(yáng)。>0,從而得證;

D選項(xiàng)，根據(jù)C選項(xiàng)的結(jié)論得出結(jié)論.

【詳解】

A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，直線丁=如與曲線C：y=lnx只有個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

可得ox】=\nxx,ax2=lnx2,

LXiixx..xx

ln12.lnX[=---------lnx,,(7x=lnx

①一②得,將辦]=22代入得cix2-ax1=---------

X}x2X]x2

化簡(jiǎn)（％2—石）（辦】工2一工）=0，〈WM?*?辦|工2-X

故。工1工2=工0，故B錯(cuò)誤;

11cInX,—InX]L

C選項(xiàng):要證明人在+^P>2a即一+—>2-=-------

4x2x2-玉

/\2/\

化簡(jiǎn)得寇-2x^.ln±-1>0,

玉

設(shè)￡=寇>1,可得1>0

令h(t)-t2-2z-ln/-l

h'(t)=2t-2\nt-2

i(t)=h\t)=2t-2\nt-2

f(0=2--=2—,

tt

t-\

當(dāng)"1,，⑺=2——>0,i(。在上單調(diào)遞增,所以i(f)>i(l)=0,

t

所以〃”)>0,〃?)在(>1上單調(diào)遞增,所以〃(。>〃(1)=0,

所以選-2x^ln包-1>0,即儲(chǔ)戶+左8戶>2。，故C正確；

(xjx,(xj

D選項(xiàng)，根據(jù)C選項(xiàng)可得D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

X-,

導(dǎo)數(shù)中雙變量問(wèn)題，此時(shí)處理的方式是通過(guò)變形，把.看作一個(gè)未知數(shù),從而把兩個(gè)自變量轉(zhuǎn)

芭

化為一個(gè)未知量，這是一種比較常見(jiàn)的解題方法.

4.若e*=lnx2，令，=X2一須，貝山的最小值屬于()

【答案】C

【分析】

設(shè)。=e*'=lnx2，把參數(shù)f表示成”的函數(shù)即f=%-七=e"-Ina,構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)

研究函數(shù)最小值及最小值的取值范圍.

【詳解】

x,aa

設(shè)a=e=inx2,則玉=Ina,x2-e,/=x,-x,=e-Ina,

令〃(x)=e*-lnx,h\x)=ex,易知力'(=單增,

x

旦〃(_L)=G—2<0,〃'(l)=e-l〉0,則存在x°e(Ll),使l(Xo)=*-'=O,

22%

即X￡(O,Xo),hr(x)<0,/i(x)單減；1￡(Xo，+8),h\x)>0,7?(x)單增；

x<,

又“(Xo)=e%---=0=>e=—,lnx0=-x0,

X。x0

v<,

則h(x)>h(x0)=e-Inx0=x0+—,x0e(l,l)

/2

易知久x0)=%+:在X。e(1,1)單減，即A(l)=2<h(xn)<加;)=|

故選：c

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：把雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究最值情況及參數(shù)取值范圍.

X.InX.一x.InX.八

5.若對(duì)于任意的0<%<吃<〃，都有‘一'~!一->2,則。的最大值為（）

x]-x2

11

A.1B-eC.-D.—

e2

【答案】C

【分析】

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為她二〈史%，構(gòu)造函數(shù)/'（》）="a，易得"X）在定義域（0,4）上單調(diào)

X]x2X

遞增，所以/'（x）20在（0,4）上恒成立，進(jìn)而可求出。的最大值.

【詳解】

解：,??0<再<工2<。，.二玉一/〈0，

/.x2lnx}-xjnx2<2（玉—x2）,

lnxlnx22

----l--------2<---------,

X,x2x2Xj

lnX[+2lnx+2

,?<2,

再X2

...函數(shù)〃刈=h絲ix+士2在定義域（0,0、上單調(diào)遞增，

X

f（x）=1一（配：+2）=20在（0,0上恒成立，

XX

由—Inx—120,解得0<x<一,故。的最大值是一.

ee

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是將原式變形為"「也<如■必，從而構(gòu)造函數(shù)

%x2

/nY4-2

/3）=絲=且/（》）在定義域（0,4上單調(diào)遞增.

X

6.己知。>b>0,b\na=a\nb,有如下四個(gè)結(jié)論：

?b<e；?b>e；③全/滿足</；?a-b>e1-

則正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】C

【分析】

由由blna=alnb，則等=半，設(shè)〃x)=笥，利用函數(shù)/'(x)的單調(diào)性結(jié)合圖象

\na\nb[Ina=ma

可判斷①，②.設(shè)一=—=^>0,則<7…兩式相減、相加，然后可得

ab[In/7=mb

\na+\nb=^~”出，設(shè)人(/)=(l+/)ln/-2。-1),利用單調(diào)性可得q/Aez得出

---1

b

答案.

【詳解】

,,,,,,,,IntzIn65、Inx、1-lnx

由blna=aInb,則---=>設(shè)/(x)=---，則rnlfr(lxl)=；—

abxx

當(dāng)0cx<e時(shí)，/'(x)>0,當(dāng)x>e時(shí)，/<x)<0

所以/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

乂/(1)=0,當(dāng)x〉l時(shí)，有/")〉0,則〃x)的圖象如圖.

所以a>e>6>0,所以①正確，②錯(cuò)

誤;

,InaIn6InQ=ma

設(shè)n---=----=m>0,則<

ab\nb=mb

ln-

兩式相減得lnQ-lnb=〃?(Q-b),得

m=———

a-h

(a+b)ln￡

兩式相加得lnQ+lnb=m(a+b)=

a-b

設(shè)f=/>1

b

A(z)=(l+z)ln/-2(r-l),則/a)=ln/+(-2=lnf+；-l

/?〃(f)=lnf+『_2=；一"=；(1_；)〉0

所以“(f)在(l,+￥)上單調(diào)遞增，則力'(f)>'(1)=0

所以/?(7)在(1，+￥)上單調(diào)遞增，/?(。>〃(1)=0,即(1+小11/>2?-1)

一(1+/)皿I"部吟

所以-7—->2,即In=Ina+Inb=---------->2

(I)￡,1

b

所以a-b>e2,故④正確，③錯(cuò)誤；

綜上，正確的命題是①④，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的圖性質(zhì)判斷數(shù)值大小的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵

是將條件變形為=納，構(gòu)造函數(shù)/'(x)=a±,利用其單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題，然后設(shè)設(shè)

abx

\naln/)fIna=ma,、./、

---==加>0,則1，然后構(gòu)造/(。zx=。z+。111，-2(，-1)來(lái)證明4.6>e2，

ab----------［Inn=mb

從而解決問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力.屬于中檔題.

7.函數(shù)/(尤)和g(x)都是定義在(一8刁上的單調(diào)減函數(shù)，且/⑺=g(f)=河，若對(duì)于

任意左〉〃，存在玉，工2(玉〉》2)，使得/(而)=g(x2)=左成立，則稱(chēng)g(x)是/(X)在

(F,4上的“被追逐函數(shù)”，若〃X)=X2,則下列結(jié)論中正確的序號(hào)為()

①g(x)=-2x-l是/(X)在(-8,-1］上的“被追逐函數(shù)；

②若g(x)和函數(shù)〃(x)=2、-l關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則g(x)是/(X)在(-8,-1］上的“被追逐函

數(shù)”；

③若g(x)=In(-X)+“2是/(X)在(-8,T］上的“被追逐函數(shù)”，則加=1；

④存在加2/,使得g(x)=—+加是/(x)在(-oo,-l］上的“被追逐函數(shù)”.

A.①③B.②③C.②④D.①④

【答案】A

【分析】

先判斷了(X)與g(X)是否單調(diào)遞減，并求得最小值，再根據(jù)若g(X)是“X)在(-8旬上的

“被追逐函數(shù)=g(》2)=左，則占應(yīng)可用人表示，利用演>x2，代入判斷其是否恒成立,

即可判斷是否滿足“被追逐函數(shù)''，由此依次判斷①②③④

【詳解】

對(duì)于①J(x)=X2和g(x)=-2x-l在(一00,-1］上單調(diào)遞減，且/(-1)=g(-l)=l,

若g(x)=-2x-l是〃x)=x?在(-00,-1］上的“被追逐函數(shù)”,

則對(duì)于任意左>1,存在花，々(玉>工2),使得/(%)=8(々)=左成立，

xi=一&

即X：=—2》2—1=左,所以《后+1，

I2

此時(shí)〃<—，即人<笥上，構(gòu)造函數(shù)%(x)=x—嚀1(x>l)，

y?1

則"(x)=1—5—<0，則h(x)在(1,-Ko)上單調(diào)遞減，又力(1)=0,則/?(*)<0恒成立，

即x<(上1)..，故對(duì)任意左>1,存在x,,x2(x,>x2)，使得/(%)=g(w)=左成立,故①正

4

確；

對(duì)于②，依題意g(x)=(；)一1,則/(》)=%2和g(x)=(；J-1在上單調(diào)遞減，

且〃T)=g(T)=l,

若g(X)=-1是〃X)=在(-8,-1］上的“被追逐函數(shù)”，

則對(duì)于任意k>1，存在玉，％2(玉>X2)，使得/(玉)=g(%2)=左成立，即X：=—1=左，

X］--y［k.,

所以.x,=log］(后+1),當(dāng)％=100時(shí),不存在修，々(%>々)，使得/(%)=8(々)=左成立,

.2

故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若g(x)=ln(-x)+m是/(x)=/在(—8,一1］上的“被追逐函數(shù)，，，此時(shí)必有

/'(-1)=8(-1)=1,解得心=1,

當(dāng)加=1時(shí),g(x)=In(-x)+1和/(x)=X2在(―吟-1]上單調(diào)遞減，

若g(x)=ln(—x)+1是/(x)=x2在(-oo,-l)上的“被追逐函數(shù)”，

則對(duì)于任意%>1,存在為，X2(%>%2),使得/(芯)=8(%2)=左成立，

即X；=In(―5)+1=左，所以卜L一當(dāng)即_〃>_小,則k<e2k-2,

乂=-e

構(gòu)造函數(shù)/?(x)=x—e2z，則h'(x)=l-2e2x-2<0.則A(x)在(1,+s)上單調(diào)遞減，又

〃⑴=0,則〃(x)<0恒成立，

2

即x<e?",故對(duì)任意k>1,存在再,x2(x,>x2)，使得/(xI)=g(x2)=A：成立，故③正確;

對(duì)于④，當(dāng)xe時(shí),g(x)='+加G[-1+m，機(jī))，而當(dāng)xe

時(shí),/(x)=x2e[l,+oo),

由上的任意性，不存在mN/,使得g(x)=g+加是/(x)=x2在上的“被追逐函數(shù)”,

故④錯(cuò)誤，

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理恒成立問(wèn)題,考查運(yùn)算能力.屬于難題.

8.已知函數(shù)/(x)=-x2+a,g(x)=x2",若對(duì)任意的X2e[-1,1],存在唯一的王,

2],使得/(再)=8(々)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

,111

A.(e,4]B.(eH—,4]C.(ze-l—,4)D.(z一,4]

444

【答案】B

【分析】

求得/(x)在(g,2]的值域A,以及函數(shù)y=g(x)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求在「1,1]的值域B,

由題意可得B包含于A,可得。的不等式，解不等式可得所求范圍.

【詳解】

解：/(x)=--+a在[_g,2]的值域?yàn)閇a-4，a],

但〃x)在(1,2］遞減,此時(shí)/(力可4-4,a-1).

g(x)=x2/的導(dǎo)數(shù)為g,x)=2xe，+/e*=x(x+2)e*,

可得g(x)在［T,0］遞減,(0,1］遞增，

則g(x)在「川的最小值為g(0)=0,最大值為g(l)=e,即值域?yàn)椋?,e］.

對(duì)任意的吃e［T，l］，存在唯一的王［一；，2］,使得/(xj=g(x2)，

可得［0,e］oa-4,a-；),

可得a-4W0Ve<a-L,

4

解得en—V。<4.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

9.若方程x-2加x+a=0存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xi和及，貝U()

【答案】B

【分析】

%,和4是方程x-2/〃x+a=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)玉>々，代入方程消去。得到

x,1111

々，石關(guān)系，令馬，石用f表示，進(jìn)而將一+一用f表示，構(gòu)造函數(shù)判斷一+一

工2X］"2

與1的大小關(guān)系，即可求出結(jié)論.

【詳解】

x\和X2是方程x-2lnx+a=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

不妨設(shè)%>x2>0,x]-2lnx1+a=Q,x2^2lnx2+a=0,

兩式相減得演—W—2/=0,令，=~~>19X]=Z%2,

x2x2

2t\nt

/.x2(Z-l)=21n/,.\x2

—1I1=-t--\-1--/--l=-。---1)-?+-1)=-t-\

X,x22In/2/In/2/In/2tIn/

令g(。=J-1-2/Int.t>l,gV)=2/-2In/-2,

2

令夕(。=2/-2In￡-2,9”)=2——,t>1,>0恒成立,

(p(t)在(L+8)是單調(diào)遞增，(p(t)>(p(l)=0,??.gr(t)>0恒成立,

???g(t)在(1,+8)是單調(diào)遞增，.二g(0>g(l)=0/>1恒成立,

/2—1

.?.廣9一1—2/In，>0,/7—1>2/In/>0,------->1?

2t\nt

—+—>1

*x2

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)零點(diǎn)、單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.

10.已知函數(shù)/(工)二一工2一61一3,g(x)=2x3+3x2-12x+9,加<一2,若V玉￡［加,一2),

3X2G(0,+OO),使得/(xJ=g(X2)成立，則〃?的最小值為

A.-5B.-4C.-2>j5D.-3

【答案】A

【分析】

g'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)，則當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x〉1時(shí)，

g'(x)>0,.\g(x)mm=g⑴=2,/(x)=—(x+3)2+6K6.作函數(shù)y=/(x)的圖像如圖所

當(dāng)/(x)=2時(shí)，方程兩根分別為-5和—1,則加的最小值為-5.故選A

點(diǎn)晴:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，任意性與存在性問(wèn)題，可利用數(shù)形結(jié)合的辦法解決，如果

函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.對(duì)于方程的有

解，恒成立問(wèn)題以及可轉(zhuǎn)化為有解、恒成立問(wèn)題的問(wèn)題，注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

設(shè)實(shí)數(shù)/1>0,若對(duì)任意xe(0,+co),不等式

11.T一In4x20恒成立，則4的取值范圍

是()

A.0<2<-B.0<A<e-1C.0<2<eD.0<2<e2

e

【答案】C

【分析】

令/"(%)=J—ln4x，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷/(x)的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理易知

A

rx

3x0€(0,+8)使/(x0)=0,此時(shí)2=Xoe°,進(jìn)而討論f(x)的單調(diào)性可知/(x)>/(x0),

*

要使題沒(méi)不等式恒成立，即/(%)=］：—In^—ln/NO成立，構(gòu)造

g(Xo)=-—21nx0-Xo利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性確定g(Xo)NO的區(qū)間，進(jìn)而求九的范圍.

【詳解】

令/(x)=—-InAx，只需要X€(0,+8)上/(x)>0恒成立，

4

ex1

Vf(x)=------且；1〉0,

Ax

/〃(X)=￡1+4>0,即/'(X)在X€(0,+8)上單調(diào)遞增，

4X

?/limf\x)=-oo,limf\x)=+oo,

?x->o+XT+X

3x0e(0,+oo),使/'(%)=0,即4=/e與，

.?.”G(0,演)時(shí)，/'(乃<。f(x)單調(diào)遞減;XG(/,E)時(shí)，八x)>0,f(x)單調(diào)遞

增；

,X。px01

故只需/(x)Z/(x0)=——InAx0=——ln/1-lnx^O，令g(x(>)=——

AA%

1i

.?.g'(Xo)=-(—+l)-<0,故g(Xo)在/e(0,+8)上遞減，而g(l)=o,

工0

x

玉)e(0,1］時(shí)，g(x0)>0恒成立，可知4=xoe°G(0,e］.

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究/(X)的單調(diào)性并確定極小值點(diǎn)范圍，根據(jù)/'(%)=0有

%=/爐。，結(jié)合/（x）2/（X。）構(gòu)造新函數(shù)，求/（演）20成立時(shí)X。的區(qū)間，進(jìn)而求參數(shù)范

圍.

12.己知大于1的正數(shù)。，6滿足華,則正整數(shù)〃的最大值為（）

e

A.7B.8C.9D.11

【答案】C

【分析】

空等價(jià)于孕＜＜，令〃力=吟，g（x）=q，分別求了（X）,g（x）的

eacixx

導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性,可求得了（X）有最大值g（x）有最小值

,,

根據(jù)題意，即求/（HaWga）.，代入為六；，等價(jià)于

f21n；,令夕（x）==^-ln,即求夕（x）＞0的最大的正整數(shù).對(duì)夕（x）求尋求單調(diào)

性，可知8（x）單調(diào)遞減，代入數(shù)值計(jì)算即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：由題干條件可知：華＜貴等價(jià)于電2＜Q

a"b"a"

令/(》)=咤，(x>l)，則/(x)=""nW：—〃lnx)\nx(2-n\nx)

XX

/'(x)=。，—，

/2\

當(dāng)/時(shí),nXGe〃，+8

(x)>0XGl9e,當(dāng)/(x)<0時(shí),

\/I7

(2A（2、

所以/(x)在l,e"上單調(diào)遞增，在G,+8上單調(diào)遞減，則/（元）有最大值

\7/

7

令g(x)=q,(x〉l),則g'(x)="(2：：〃),當(dāng)時(shí)，此題無(wú)解，所以2>1,

xx22

MMM

則g'(x)=°，x=5，當(dāng)g'(x)>°，x>5，當(dāng)g'(x)<0,1<x<5，

所以g(x)在1,］上單調(diào)遞減，在后,+8上單調(diào)遞增，則g(x)有最小值

g

22a

Inbe即e"+2叫J

右.-<--J-成立，只需fe-<g-

bna"I)⑴

n-I-7n

兩邊取對(duì)數(shù)可得：〃+2N(〃—2)ln-."=2時(shí)，等式成立，當(dāng)〃23時(shí)，有——>ln-,

2〃一22

V*_1_2V*

令=,本題即求e(x)>0的最大的正整數(shù).

-41

e'(x)=7―F一一<。恒成立，則9(尤)在［3,+oo)上單調(diào)遞減，

(X—2)x

(p(8)=-5-ln4>0,^(9)=y1-1ln-?Q1.5714-1.51>0,(p(10)=13-ln5<0,

所以夕(x)>0的最大正整數(shù)為9.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查構(gòu)造函數(shù)法解決恒成立問(wèn)題.

方法點(diǎn)睛：雙變?cè)暮愠闪?wèn)題，經(jīng)常采用構(gòu)造成兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(xJ<g(X2),若

/(Xjmax<g(x2%,，則復(fù)合恒成立的情況?

13.己知直線歹=-x+2分別與函數(shù)y=e*和y=lnx的圖象交于點(diǎn)Z(x，yJ,B(x2,y2),

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

B.e"+eX2>2eC.^+xlnx<0.vx,>—

A.%+%2=222D

玉122

【答案】D

【分析】

對(duì)A,分別作出函數(shù)y=-x+2,y=ex,y=lnx的圖象，通過(guò)圖象觀察易得玉+々=2

成立；利用基本不等式可證B成立；構(gòu)造函數(shù)/")=生'可證C成立；構(gòu)造函數(shù)

g(x)=2-x-lnx可得1<X2<G，再利用函數(shù)歹=xlnx的單調(diào)性，可證得D不成立;

【詳解】

對(duì)A,如圖，作出函數(shù)y=eX、y=lnx和y=x的草圖，因?yàn)?,8關(guān)于C對(duì)稱(chēng),且0<x1l<X2,

因?yàn)镃(1,1),所以玉+/=2,故A正確；

對(duì)B,由基本不等式，/'+*2=2e，因?yàn)轫?xiàng)力工2，所以等號(hào)不成立，故B正

確；

對(duì)C,因?yàn)?<再彳2<(土產(chǎn))=1.所以0<玉</-<1記〃力=皿

X

則/。)=匕"，故0<x<l時(shí)，/(x)〉0,所以((切=.在(0,1)上單調(diào)遞增,

XX

In—

(1、^<—^-=-x,lnx,即上五+x,lnx,<0,故c正確;

所以/(再)</—,即2

\X27玉_L-/

X2

12

對(duì)D,記g(x)=2-x_lnx,則g(l)=l>0,g^4e^=2-4e--=--\[e<0,則

I<x2<4e又玉馬二(2-、2)々=X2In%，易知V=xlnx在(l,e)上單調(diào)遞增，故

x1x2=x2lnx2<4e\n>fe=當(dāng),故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想,

考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意函數(shù)構(gòu)造法的應(yīng)用.

14.已知/(x)=xe-*(xeA),若須力4，且/(不)=/(馬)，則占+馬與2的關(guān)系為

A.x{+x2>2B.xl+x2>2C.xt+x2<2D.大小不確定

【答案】A

【分析】

先求導(dǎo)求出〃x)的極大值點(diǎn)為1,再比較/(1-幻和/(1+x)的大小得出

/(l+x)>/(l-x),再根據(jù)當(dāng)X>1時(shí)，/'(x)<0,“X)單調(diào)遞減可得須+々>2.

【詳解】

由題，/'(x)=(l—x)e-J令/'(x)=o則有x=l,所以當(dāng)x>l時(shí),/'(x)<0

當(dāng)x<l時(shí)，f\x)>0,所以，在x=l時(shí)，(x)取得極大值和最大值.

又當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí),/(x)正向趨近于0,且/(0尸0,所以，如果存在不工x2

使得/(/)=/(X2)，不失一般性令不<匕，則0<X]<1,々>1，

對(duì)于任意的xe(0,l),分別取兩點(diǎn)l-x、1+X,

現(xiàn)在比較/(1-x)和/(I+x)的大小.

1+x1—x1+x—(1-x)e-“

/(1+x)-,/-(1-%)=

令分子部分為g(x)=l+x-(l-x)e2x,xe(0,1).

求導(dǎo)有g(shù)?)=l+(2x-l)e2，,xe(0,l)

當(dāng)x=0時(shí),g'(x)=0；當(dāng)x>0時(shí)，又g"(x)=4xe2">0,g'(x)故單調(diào)遞增且大于0.所以,

在(0,1)上g(x)是單調(diào)增函數(shù)，旦g(x)>g(0)=0,故/(I+x)-/(I-x)>0,即

/(l+x)>/(l-x),因?yàn)?<l—x<l，l+x>l,在[1,+8)上單調(diào)遞減且

/(I+X)>/(1-X)，所以在1+X點(diǎn)的右側(cè)必能找到一點(diǎn)X2，使得/(1-X)=/(X,)，且

x2>1+x,故1一%+X2>1-》+1+》=2,令1-x=X1,則有X]+々>2,故選A.

【點(diǎn)睛】

該題考查極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，可以求導(dǎo)求單調(diào)性，先畫(huà)出/(x)=xer(xeR)的圖像，直觀上

觀察出玉+々>2,再構(gòu)造函數(shù)分析比較/(1-x)和/、(l+x)的大小，進(jìn)而證明得出不等式.

二、多選題

2

15.關(guān)于函數(shù)/(x)=—+lnx,下列判斷正確的是()

x

A.x=2是/(x)的極大值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/(x)-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在正實(shí)數(shù)%,使得/(x)>Ax成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)玉，々，且芭>%2，若/(占)=/(々)，則玉+工2>4.

【答案】BD

【分析】

A選項(xiàng)借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值情況；BC選項(xiàng)，構(gòu)造新函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題以及參數(shù)

取值范圍；D選項(xiàng)根據(jù)新函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，從而得到雙變量的關(guān)系.

【詳解】

對(duì)于A,函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

...在(0,2)上，/(%)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

(2,+oo)±,f(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

，x=2是/(x)的極小值點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B,y=/(%)-%=—+Inx-x,

x

函數(shù)在(0,+00)上單調(diào)遞減，

且/⑴—l=2+lnl—1=1>0,

/(2)-2=l+ln2-2=ln2-l<0,

二函數(shù)V=/(x)-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確；

對(duì)于C,若f(x)>kx,可得----,

XX

人/2Inx-4+x-xlnx

令g(X)---，貝！Jg，(X)=-------------，

XXX

令〃(x)=-4+x-xlnx,則〃'(x)=-lnx,

???在(0,1)上，函數(shù)力(%)單調(diào)遞增，

工日(1,+00)上函數(shù)力(X)單調(diào)遞減，

：.h(x)<A(1)<0,：.gf(x)<0,

；?g(x)=-7+工￡在(0，+8)上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無(wú)最小值,

XX

...不存在正實(shí)數(shù)使得/(x)>h恒成立，即C不正確;

對(duì)于D,令te(0,2),則2-后(0,2),2+t>2,

22

令g(。=/(2+/)-/(2-Z)=-—+ln(2+0---—ln(2-)

2+￡2.—t

4t2+r

F----Vin----

Z2-42-t

4?2_4)_8/2-t2-t+2+t

則g'(f)=

(產(chǎn)―4)2-^7；(2一)2

-4Z2-164-8/2-

=9+三~'亍*^0,

(Z2-4)24一產(chǎn)?2—4)2

：.g(?)在(0,2)上單調(diào)遞減，

則g(r)<g(0)=0,令xi=2-z,

由/(Xl)—f(X2)?得X2>2+f,

則XI+X2>2-t+2+t=4,

當(dāng)X2>4時(shí)，X|+X2>4顯然成立，

對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)Xl,X2)且X2>X1,

若/(Xl)=f(X2)1則Xl+X2>4,故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值情況，構(gòu)造新函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題以及參數(shù)取值范

圍；可以將自變量的大小比較通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小比較，從而

得到自變量間的關(guān)系.

16.己知函數(shù)/(x)=x(e“+1),g(x)=(x+l)lnx,則()

A.函數(shù)/(x)在R上無(wú)極值點(diǎn)

B.函數(shù)g(x)在(0,+8)上存在唯一極值點(diǎn)

C.若對(duì)任意x〉0,不等式/(6)2/(卜丁)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為:

In/1

D.若/(xJ=g(X2)=，0>。)，則*卜+1)的最大值為、

【答案】AD

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)可求得f'(x"f'(-2)>0,得到在R上單調(diào)遞增,知A正確；

利用導(dǎo)數(shù)可求得g'(x)2g'(l)>o,得到g(x)在(0,+力)上單調(diào)遞增，知B錯(cuò)誤;

由/.(X)在火上單調(diào)遞增得到ax2Inf,利用分離變量的方法可得=y,利

2

用導(dǎo)數(shù)可求得g)mx=/可求得”的范圍，知C錯(cuò)誤；

易得6同=%2，一嚴(yán)ln［：(e+?］=絲,令加住)="，利用導(dǎo)數(shù)可求得

2x,(x2+l)x(e』+l)k')k

m(左)max=〃?(e)，可知D正確.

【詳解】

對(duì)于A,/'(x)=(x+l)e*+1,/"(x)=(x+2)e”,

當(dāng)x<-2時(shí)，/”(x)<0：當(dāng)x>-2時(shí)，/ff(x)>0；

在(—8,—2)上單調(diào)遞減，在(—2,+8)上單調(diào)遞增，

.?./'(力2/'(-2)=-6-2+1〉0,，/(可在尺上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，A正確；

對(duì)于B,g,(x)=lnx+l+—■g"(x)=，--V=-

XXXX

當(dāng)0<x<l時(shí)，g"(x)<0；當(dāng)x〉l時(shí)，g"(x)〉O；

???g'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增，.?.g'(x)?g'⑴=2〉0,

；.g(x)在(0,+向上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn),B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由A知：〃x)在R上單調(diào)遞增，則由/(ax)Z/(lnx2)得：ax>inx^

*、八1、In/21nx

【x>0時(shí)，a>----=-----，

xx

人7/、21nx.I7〃\2-21nx2(l-lnx)

令//(x)=------,則/(x)=-----；—==~.

XXX

..?當(dāng)0<x<e時(shí)，當(dāng)x>e時(shí)，力'(％)<0：

22

.,?力(%)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(%+8)上單調(diào)遞減，=〃(')=—，,。之一，

2

則。的最小值為一，無(wú)最大值，C錯(cuò)誤；

e

對(duì)于D,玉(e、i+1)=(吃+1)出/=，，：/>0，；?X］〉0，々>1，由A知=(x+1)ex

In?M

是增函數(shù)，所以e同=》2,

x,(%2+1)%(4+1)

/、In/In左

設(shè)《“S+i),則本同=下，

inA:e1-ln^

W=---，則〃？(％)=---1—,

kK

..?當(dāng)0<左<e時(shí)，機(jī)'(左)>0；當(dāng)k>e時(shí)，m'(k)<0；

.?.他(左)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

二加(左)max=〃?(e)=L此時(shí)e=Xj(e$+l)=(x2+l)lnx2,

In?1

/----n的最大值為一，D正確.

xG+l)e

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合應(yīng)用問(wèn)題，選項(xiàng)D中，對(duì)于多個(gè)變量的式

子最值的求解關(guān)鍵是能夠通過(guò)等價(jià)代換的方式，將所求式子化簡(jiǎn)為關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)的形

式，從而利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值得到結(jié)果.

17.關(guān)于函數(shù)/(x)='+lnx,下列判斷正確的是()

x

A.x=l是/(x)的極小值點(diǎn)

B.函數(shù)歹=/(x)—x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在正實(shí)數(shù)左，使得y=/(x)>丘恒成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)X1,X2,且》2〉再，若/(須)=/(刀2)則X|+工2>2

【答案】ABD

【分析】

A：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)極值的定義進(jìn)行判斷：

B：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷即可：

C：利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)g(x)=[+皿，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極

XX

值進(jìn)行判斷即可；

D-.令g")=/(l+f)-/(l-/),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明即可.

【詳解】

A：函數(shù)f(x)的的定義域?yàn)?0,+力)，/V)=—r+-=^F->

XXX

當(dāng)(0,1)時(shí)，ff(x)<0,/(X)單調(diào)遞減,

當(dāng)xw(l,+8)時(shí)，f\x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

??.x=l是/(、)的極小值點(diǎn)，即4正確；

B：y=g(x)=f(x)-x=-4-lnx-x,

x

???g，(x)=一廠+JT<0,函數(shù)g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，且g(l)=O,

X

工函數(shù)y=/(x)-x.有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即8正確；

C：若/(x)>左恒成立，即左<4+小恒成立.

XX

人/、1Inx，/、x-xlnx-2

令g(x)==+—，nWIJg(x)=-------i——，

XXX

令人(x)=x-xlnx-2,則〃(x)=—lnx,

當(dāng)(0,1)時(shí)，h\x)>0,當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，h\x)<0,

???在X￡(0,l)上，函數(shù)〃(X)單調(diào)遞增，X￡(l,+8)上函數(shù)〃(X)單調(diào)遞減，

/.h(x)<h(l)<0,gr(x)<0,

.?.g(x)=U+曲二在(o,+力)上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無(wú)最小值，

XX

當(dāng)X->+8時(shí)，g(x)->0,

不存在正實(shí)數(shù)左，使得/(》)>履恒成立，即C不正確；

D由單調(diào)性可知，X,e(0,1),x2e(l,+00),

令fw(o,i),則i-tc(o,i),i+r>i,

令g(/)=/(l+，)_/(l_/)=±+ln(l+0_占_ln(l_/)=2+ln考，

，/、2(廠—1)—4廠\—t1—Z+1+Z—2/"—22—4/_.

則g⑺=,,—+-----------------=———-+——-=———-<0，

(t2-I)21+/(I-/)2(/-I)?I-/2(/2-1)2

g(0在(0,1)上單調(diào)遞減，則g(o<g(0)=o,

.?"€(0,1)時(shí)，/(i-z)>/(1+r)

令X]=1—乙由/(X1)=/(X2)>/(1+Z),得》2>1+/，

則-f+l+f=2,故。一正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

(I)已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的2個(gè)要領(lǐng)

①列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

②驗(yàn)證：因?yàn)槟滁c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于。不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求

解后必須驗(yàn)證根的合理性.

(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法

直接法：令/(x)=0,則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

圖像法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)易畫(huà)出圖象的函數(shù)，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可

定理法：利用零點(diǎn)存在性定理判定，可結(jié)合最值、極值去解決

(3)利用分離參數(shù)法來(lái)確定不等式/(x,A)>O(xeD,2為實(shí)參數(shù))恒成立問(wèn)題中參數(shù)取值范圍的

基本步驟：

①將參數(shù)與變量分離，化為力口)渺