數(shù)學(xué)同步測控：指數(shù)函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基，我達(dá)標(biāo)1.下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是()A.y=(—4)xB.y=πxC。y=—4xD.y=ax+2（a＞0且a≠1）解析：從指數(shù)函數(shù)的定義出發(fā)解決此題.答案：B2.圖3-1—2是指數(shù)函數(shù)①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的圖象.則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是()圖3—1-2A。a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC。1＜a＜b＜c＜dD。a＜b＜1＜d＜c解析：直線x=1與四個指數(shù)函數(shù)圖象交點的坐標(biāo)分別為（1,a）、（1，b）、（1,c）、(1，d)，由圖象可知縱坐標(biāo)的大小關(guān)系.答案:B3.當(dāng)x〉0時，函數(shù)f（x)=（a2-1)x的值總大于1，則實數(shù)a的取值范圍是(）A.1<|a|<B.|a|<1C。｜a|〉1D.|a|>解析：由指數(shù)函數(shù)的圖象，可得a2—1>1，即a2>2，∴｜a|>2.答案：D4.若函數(shù)y=ax+b-1（a〉0且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則一定有（）A.a〉1且b〈1B.0<a<1且b<0C.0〈a<1且b〉0解析:函數(shù)y=ax+b—1（a>0且a≠1）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則必有a〉1；進(jìn)而可知答案:D5.設(shè)y1=40.9,y2=80.44,y3=（)-1。5，則(）A.y3>y1〉y2B。y2〉y1>y3C。y1>y2>y3D.y1〉y3解析：把給出的三個函數(shù)化為同底的指數(shù)式，y1=21。8，y2=21。32,y3=21。5，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2x是增函數(shù)即可得出y1＞y3＞y2.答案：D6.函數(shù)y=ax—3+3（a〉0且a≠1）恒過定點_____________.解析：a3—3+3=a0+3=4.答案：（3，4）7.已知函數(shù)f（x）=ax+a-x（a>0且a≠1），f（1)=3，則f(0）+f（1）+f（2）的值為_________。解析：f(0）=a0+a0=2，f（1）=a+a—1=3，f(2）=a2+a-2=（a+a-1）2-2=9—2=7.∴f（0）+f(1)+f（2）=12.答案：128.函數(shù)y=(2m-1）x是指數(shù)函數(shù),則m的取值范圍是___________。解析:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，y=ax中的底數(shù)a約定a＞0且a≠1.故此2m—1＞0且2m—1≠1,所以m＞且m≠1.答案：m＞且m≠19.函數(shù)y=3的值域為__________。解析:考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)值域的求法.由于x2+1≥1,而y=3x在(—∞，+∞）上是增函數(shù)，所以y=3+1≥3，即y=3+1的值域為［3，+∞）.答案：[3，+∞）10.求函數(shù)y=f（x）=（）x—（)x+1，x∈［—3,2]的值域。分析:將(）x看作一個未知量t，把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解.解：∵f(x）=[（）x]2—(）x+1，x∈［-3，2］,∴（）2≤(）x≤（）-3，即≤（）x≤8.設(shè)t=（)x，則≤t≤8。將函數(shù)化為f（t)=t2—t+1，t∈[，8］?！遞（t）=（t）2+,∴f（)≤f（t）≤f（8）?！唷躥(t)≤57?！嗪瘮?shù)的值域為［，57］。我綜合,我發(fā)展11。已知f(x）=x（+).（1）判斷函數(shù)的奇偶性;（2）求證：f（x）〉0。分析：以復(fù)合函數(shù)為載體判斷函數(shù)的奇偶性,并利用函數(shù)的奇偶性證明不等式。（1）解：函數(shù)的定義域為｛x｜x≠0｝.f（x)=x·,f(-x）=—x·=-x·=x·=f（x）.∴函數(shù)為偶函數(shù).（2）證明：當(dāng)x>0時,2x〉1.∴2x—1>0?！鄁（x）>0。又f（x）是偶函數(shù)，∴當(dāng)x<0時，f（x）=f（—x）>0,即對于x≠0的任何實數(shù)x，均有f(x）〉0。12.已知f(x）=＞0，當(dāng)x∈（—∞，1］時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.分析：利用轉(zhuǎn)化的思想，原題化為1+2x+4x·a＞0,再分離參變量得a＞,最后用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值。解：f(x）＞0在（-∞，1］上恒成立,即1+2x+4x·a＞0在（-∞，1]上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為a＞在（-∞,1］上恒成立。當(dāng)且僅當(dāng)a大于函數(shù)g(x）=的最大值時，a＞恒成立.而g（x)=在(-∞,1］上是增函數(shù)，∴當(dāng)x=1時，g（x）max==。因此，所求a的取值范圍為a＞.13.關(guān)于x的方程(）x=有負(fù)根，求實數(shù)a的取值范圍。分析:靈活運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.應(yīng)注意當(dāng)?shù)贸觯?時,不能化簡成3a+2>5-a，而應(yīng)化簡成〈0,從而求出實數(shù)a的取值范圍。解：∵方程(）x=有負(fù)根,∴x＜0?！選＜0，0＜＜1，∴（)x＞1?！啵?，解得＜a＜5.1.4已知a、b∈R+，且a≠b，試求函數(shù)f(x）=［a2x+(ab）x—2b2x］的定義域.分析：求函數(shù)的定義域,就是求使函數(shù)表達(dá)式有意義的字母x的取值范圍，因此，函數(shù)f（x)的定義域就是不等式a2x+(ab)x—2b2x＞0的解集。解：a2x+（ab）x-2b2x＞0等價于(）2x+()x—2＞0?！郲（）x+2］［（）x-1］＞0.∵（）x+2恒為正，∴(）x—1＞0?！啵ǎ﹛＞1.①當(dāng)a＞b時，＞1,∴x＞0.∴函數(shù)f（x）的定義域為R+.②當(dāng)a＜b時,0＜＜1,∴x＜0?！嗪瘮?shù)f(x）的定義域為{x|x＜0}。15。設(shè)a是實數(shù),f(x）=(x∈R），求證：對于任意a，f(x)均為增函數(shù).分析:問題形式較為復(fù)雜,也應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性的定義進(jìn)行證明。如果只要求指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間則不一定用單調(diào)性定義來證明,要注意不同要求時各類問題的解答方法的差別.證明：設(shè)x1、x2∈R，且x1〈x2，則f（x1）-f（x2）===?！咧笖?shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),x1<x2，∴2〈2，即2-2〈0.∵2x〉0,∴2+1>0，2+1>0.∴<0.∴f(x1）-f(x2)〈0，即f（x1)<f(x2）。∵此結(jié)論與a的取值無關(guān)，∴對于a取任意實數(shù)，f（x)均為增函數(shù)。16。已知函數(shù)f（x)是定義在［-1，1]上的奇函數(shù)，且f(1）=1，若m,n∈［-1，1］,m+n≠0,>0。（1)求證：f（x)在[—1,1］上是增函數(shù)；（2)解不等式f(x+)〈f（）;（3）若f(x)≤4t-3·2t+3對所有x∈［—1,1］恒成立,求實數(shù)t的取值范圍。分析：(1)利用定義法證明單調(diào)性；（2）利用函數(shù)f（x)的單調(diào)性解不等式；(3)轉(zhuǎn)化為求f(x)的最大值.(1）證明：任取-1≤x1〈x2≤1.∵f(x）為奇函數(shù)，∴f(x1）-f(x2）=f(x1）+f(-x2）=·(x1-x2)。∵>0,x1—x2<0，∴f（x1)〈f（x2）.∴f(x)在［—1，1]上是增函數(shù).(2)解：f（x+）〈f（)解得≤x〈-1.（3）解：由（1）知f(x）在［-1,1]上是增函數(shù)，且f（1)=1，∴x∈［-1，1］時，f（x)≤1.∵f(x）≤4t-3·2t+3對所有x∈［—1,1]恒成立，∴4t—3·2t+3≥1恒成立.∴(2t）2-3·2t+2≥0，即2t≥2或2t≤1.∴t≥1或t≤0.我創(chuàng)新，我超越1.7設(shè)f（x）=，若0<a<1,則（1)f（a）+f（1—a）=____________；（2）f（）+f(）+f（）+…+f（)=__________.解析：（1）f（a)+f（1—a）=+=+=+==1。(2）f()+f(）+f()+…+f（）=［f（）+f（）］+［f（）+f（）]+…+［f（）+f（）］=500×1=500。答案：（1)1（2）50018.定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x>0時,f（x）〉1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b)=f(a)·f（b).(1)求證:f（0)=1；（2）求證：對任意的x∈R,恒有f（x）>0；（3)求證:函數(shù)y=f（x）是R上的增函數(shù).分析：本題抽象函數(shù)的原型函數(shù)即為指數(shù)函數(shù)，可借助y=2x理清解答的思路和方法。解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是（3）中利用“f（x2）=f［(x2—x1）+x1］”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵,這里體現(xiàn)了構(gòu)造條件式向條件化歸的策略。證明：(1)取a=b=0，則f（0）=f2（0).∵f（0）≠0，∴f（0)=1.(2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥1>0成立,當(dāng)x<0時,—x>0，f（0)=f（x-x）=f(x）·f（-x）=1，∴f（x）=〉0。∴x∈R時，恒有f（x）>0.（3）證法一：設(shè)x1<x2，則x2-x1>0?！鄁（x2）=f(x2-x