線代課件等多個

第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性一線性相關(guān)性三應(yīng)用舉例二判別準則四小結(jié)課前復習１、定義ｎ個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個ｎ維向量，其中稱為第個分量（坐標）.記作ｎ維向量寫成一行稱為行向量，記作ｎ維向量寫成一列稱為列向量，２、幾種特殊向量實向量，復向量，零向量，單位向量，向量同型，向量相等.注意什么是向量的個數(shù)、什么是向量的維數(shù)，二者必須分清.３、矩陣與向量的關(guān)系

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．５、向量組６、向量空間設(shè)Ｖ為ｎ維非空向量組，且滿足①對加法封閉②對數(shù)乘封閉那么就稱集合Ｖ為向量空間.４、向量的運算向量的運算與采用矩陣的運算規(guī)律.一、向量的線性相關(guān)性1、基本概念定義Ⅰ

給定向量組，對于任何一組數(shù)，稱向量為向量組的一個線性組合（LinearCombination）.為組合的組合系數(shù)（CombinationCoefficient）.定義Ⅱ

設(shè)向量組及向量β有關(guān)系則β稱為向量組的一個線性組合，或稱β可由向量組Ａ線性表示（LinearExpression）.稱為β在該線性組合下的組合系數(shù).①若α＝kβ，則稱向量α與β成比例．②零向量Ｏ是任一向量組的線性組合．④任一ｎ維向量都是基本向量組的一個線性組合．⑤向量β可由線性表示，即方程組事實上，有③向量組中每一向量都可由該向量組線性表示．有解.定義Ⅲ設(shè)兩向量組若向量組Ａ中每一個向量皆可由向量組Ｂ線性表示，則稱向量組Ａ可以由向量組Ｂ線性表示.若兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩向量組等價.向量組之間的等價關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性.定義Ⅳ

設(shè)ｎ維向量組為零的數(shù)，使得則稱向量組，如果存在不全線性相關(guān)（LinearDependent）.反之，若當且僅當，才有則稱向量組線性無關(guān)（LinearIndependent）.即存在矩陣②單獨一個向量線性相關(guān)當且僅當它是零向量．③

單獨一個向量線性無關(guān)當且僅當它是非零向量．④一向量組中存在一個Ｏ向量，則一定線性相關(guān)．⑤一個向量組中若部分向量線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān)；一個向量組若線性無關(guān)，則它的任何一個部分組都線性無關(guān)．①對于一個向量組，不是線性相關(guān)就是線性無關(guān)．⑧幾何上：兩向量線性相關(guān)

兩向量共線；⑥兩向量線性相關(guān)

兩向量對應(yīng)成比例三向量線性相關(guān)

三向量共面.⑦兩向量線性無關(guān)

兩向量不對應(yīng)成比例二、線性相關(guān)性的判斷準則定理向量組線性無關(guān)

齊次線性方程組只有零解；定理向量組線性相關(guān)

齊次線性方程組有非零解.推論ｎ個ｎ維向量線性相關(guān)

.推論ｎ個ｎ維向量線性無關(guān)

.向量組線性無關(guān)

任何一個向量都不能由其向量線性表示．定理向量組線性相關(guān)

至少有一個向量可由其余向量線性表示．定理證∵Ａ線性相關(guān)，得證至少有一個系數(shù)不為零，不妨設(shè)定理如果向量組線性相關(guān)，則α可由Ａ唯一線性表示.線性無關(guān)，而向量組證設(shè)∵Ａ線性無關(guān)，而向量組Ｂ線性相關(guān)，∴ｋ≠０，（否則與Ａ線性無關(guān)矛盾）∴α可由Ａ線性表示.下證唯一性：兩式相減有∵Ａ線性無關(guān)，即表達式唯一.即有設(shè)定理設(shè)向量組若Ａ線性相關(guān),則向量組Ｂ也線性相關(guān)；反之，若向量組Ｂ線性無關(guān)，則向量組Ａ也線性無關(guān).定理設(shè)向量組若Ａ線性無關(guān)，則向量組Ｂ也線性無關(guān)；反之，若向量組Ｂ線性相關(guān)，則向量組Ａ也線性相關(guān).其中注意