2023-2024學年廣東省潮洲市高二下學期期末檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省潮洲市2023-2024學年高二下學期期末檢測數(shù)學試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號填寫在答題卡上.2．選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上斷的〖答案〗；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回.一、選擇題（本題共11道小題，其中1至8小題為單項選擇題，9至11小題為多項選擇題）（一）單項選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.函數(shù)在處的切線斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，則，，所以函數(shù)在處的切線斜率為，故選：B.2.某校高二級學生參加某次考試，其數(shù)學成績，試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，所以，所以．故選：B3.已知隨機變量的分布列為：123450.10.30.10.1則（）．A.0.4 B.1.2 C.1.6 D.2.8〖答案〗D〖解析〗依題意可得，所以．故選：D.4.的展開式中的系數(shù)為（）．A.60 B.120 C.15 D.30〖答案〗A〖解析〗二項式展開式的通項為：（且），故該展開式中的系數(shù)為．故選：A5.已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞減．則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即，得在上恒成立，令，易得在單調(diào)遞增，所以，即，所以．故選：B.6.橢圓的左、右焦點分別為，，過點且與長軸垂直的直線交橢圓于，兩點．若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設，因為為等邊三角形，則，，因為，所以橢圓的離心率為．故選：A.7.近年來，潮州以其品種繁多的美味小吃、獨特的文化魅力和民俗風情吸引八方游客.據(jù)統(tǒng)計，潮州古城區(qū)2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人數(shù)（十萬人）的數(shù)據(jù)如下表：123451215192430由此得到關于的回歸直線方程為，則可以預測潮州古城區(qū)2024年接待的游客人數(shù)約為（）十萬人A.36.5 B.37 C.35.2 D.35.6〖答案〗D〖解析〗由題意得，，代入，得，解得，所以關于的回歸直線方程為，當時，．故選：D8.把外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個.其中，第一個盒子中有7個球標有字母A,3個球標有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個.試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，則試驗成功的概率為（）A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64〖答案〗A〖解析〗設A＝“從第一個盒子中取得標有字母A的球”，B＝“從第一個盒子中取得標有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是紅球”，則容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.（二）多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題有多個選項正確，每小題全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9.定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是的極小值，是的極大值B.是的極大值，是的極小值C.在上單調(diào)遞增D.在上單調(diào)遞減〖答案〗BD〖解析〗由圖知，，，當時，；當時，；當時，；當時，.所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為，．故選：BD10.某所高中的辯論隊要從5名高一學生和4名高二學生中選出4人去參加一場辯論比賽．下列說法正確的是（）A.被選中的4人中恰有1名高一學生的概率為B.被選中的4人中恰有1名高二學生的概率為C.如果高一學生中的甲和高二學生中的乙至多有1人入選，則有105種選法D.如果高一學生中的甲和高二學生中的乙至多有1人入選，則有140種選法〖答案〗AC〖解析〗被選中的4人中恰有1名高一學生的概率為，A正確；被選中的4人中恰有1名高二學生的概率為，B錯誤；如果高一學生中的甲和高二學生中的乙至多有1人入選，包含兩種情況，第一種情況，甲和乙都不入選，有種；第二種情況，甲乙恰有1人入選，有種選法，則如果高一學生中的甲和高二學生中的乙至多有1人入選，共有種選法，C正確，D錯誤．故選：AC11.如圖、在長方體中，，，，，分別是，，的中點．則下列說法正確的是（）A.平面B.C.三棱錐的體積為D.若點在平面內(nèi)，且平面，則線段長度的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，連結(jié)，．，分別是，的中點．則，平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面，∴A正確；對于B，由題意知四邊形為正方形，則，又平面，平面，故，平面，∴平面．又∵平面，∴，故B選項正確；對于C，，∴C選項是正確的；對于D，因為平面，而平面平面，且點在平面內(nèi)，則點的軌跡是平面與平面的交線，即直線，所以的最小值在時取到．此時在中，，，，上的高為，∵，∴，故D錯誤．故選：ABC二、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.有2名老師和3名學生站成一排照相，若這2名老師都不站在兩端，則不同的站法共有________種．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗2名老師都不站在兩端，故有種站法；剩下3個位置，站3名學生，有種站法，故不同的站法共有種．故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)的圖象為曲線，若曲線存在與直線垂直的切線，則實數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗，∴，∵曲線存在與直線垂直的切線，∴有解，∴，故實數(shù)的取值范圍是．故〖答案〗為：14.“楊輝三角”最早出現(xiàn)在中國數(shù)學家楊輝所著的《詳析九章算法》中，是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一.如圖，在由二項式系數(shù)所構成的“楊輝三角”中，記第2行的第3個數(shù)字為，第3行的第3個數(shù)字為、?，第行的第3個數(shù)字為，則________，數(shù)列的前項和________．〖答案〗①②〖解析〗由題意知，．故〖答案〗為：，.三、解答題（本題共5小題，第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.在公差為3的等差數(shù)列中，，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求的前項和．解：（1）∵等差數(shù)列滿足，公差為3，所以，所以，則，∴數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）知，，∴所以?，所以16.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．解：（1）由題意得的定義域，且因為函數(shù)在處取值得極值，所以解得此時，，令得或，令得，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意，所以．（2）由（1）得，，令，得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極小值，所以當時，的最小值為17.致敬百年，讀書筑夢，某學校組織全校學生參加“學黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡知識競賽”活動．并對某年級100位學生競賽成績進行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表．規(guī)定：成績在內(nèi)，為成績優(yōu)秀．成績?nèi)藬?shù)510152520205（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為此次競賽成績與性別有關；優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男10女35合計（2）某班級實行學分制，為鼓勵學生多讀書，推出“讀書抽獎額外賺學分”趣味活動方案：規(guī)定成績達到優(yōu)秀的同學，可抽獎2次，每次中獎概率為（每次抽獎互不影響，且的值等于成績分布表中不低于80分的人數(shù)頻率），中獎1次學分加5分，中獎2次學分加10分．若學生甲成績在內(nèi)，請列出其本次讀書活動額外獲得學分數(shù)的分布列并求其數(shù)學期望．參考公式：，．附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879解：（1）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男104050女153550合計2575100假設:此次競賽成績與性別無關.,所以沒有90%的把握認為此次競賽成績與性別有關；（2）p,P(X=0)=P(X=5)=,P(X=10)=,X的分布列為：X0510P期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）18.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面是正三角形，，點、分別在、上，且，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值．解：（1）在線段上取一點，使，連結(jié)、，在中，因為，，所以，所以且，因為，，且，所以，且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標系，因為底面是正三角形，，所以點，點，點，點，點，因為，所以點，則，，，設平面的一個法向量為．由，令，得平面的一個法向量為，設直線與平面所成角的大小為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為?19.已知拋物線的焦點到點的距離為，，為拋物線上兩個動點，且線段的中點在直線上．（1）求拋物線的方程；（2）求面積的取值范圍．解：（1）焦點，，由焦點到點的距離為，得，解得，所以拋物線方程為．（2）如圖所示，顯然，直線的斜率不為0，設直線的方程為：，，，聯(lián)立方程組，消去得,所以，，且（*）,所以線段的中點的縱坐標為,因為點在直線上，所以，所以,因為，，所以，即,將，代入上式，所以,代入（*）得，化簡得，所以,點到的距離,,所以,將代入上式，得,因為所以.廣東省潮洲市2023-2024學年高二下學期期末檢測數(shù)學試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號填寫在答題卡上.2．選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上斷的〖答案〗；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回.一、選擇題（本題共11道小題，其中1至8小題為單項選擇題，9至11小題為多項選擇題）（一）單項選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.函數(shù)在處的切線斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，則，，所以函數(shù)在處的切線斜率為，故選：B.2.某校高二級學生參加某次考試，其數(shù)學成績，試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，所以，所以．故選：B3.已知隨機變量的分布列為：123450.10.30.10.1則（）．A.0.4 B.1.2 C.1.6 D.2.8〖答案〗D〖解析〗依題意可得，所以．故選：D.4.的展開式中的系數(shù)為（）．A.60 B.120 C.15 D.30〖答案〗A〖解析〗二項式展開式的通項為：（且），故該展開式中的系數(shù)為．故選：A5.已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞減．則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即，得在上恒成立，令，易得在單調(diào)遞增，所以，即，所以．故選：B.6.橢圓的左、右焦點分別為，，過點且與長軸垂直的直線交橢圓于，兩點．若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設，因為為等邊三角形，則，，因為，所以橢圓的離心率為．故選：A.7.近年來，潮州以其品種繁多的美味小吃、獨特的文化魅力和民俗風情吸引八方游客.據(jù)統(tǒng)計，潮州古城區(qū)2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人數(shù)（十萬人）的數(shù)據(jù)如下表：123451215192430由此得到關于的回歸直線方程為，則可以預測潮州古城區(qū)2024年接待的游客人數(shù)約為（）十萬人A.36.5 B.37 C.35.2 D.35.6〖答案〗D〖解析〗由題意得，，代入，得，解得，所以關于的回歸直線方程為，當時，．故選：D8.把外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個.其中，第一個盒子中有7個球標有字母A,3個球標有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個.試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，則試驗成功的概率為（）A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64〖答案〗A〖解析〗設A＝“從第一個盒子中取得標有字母A的球”，B＝“從第一個盒子中取得標有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是紅球”，則容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.（二）多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題有多個選項正確，每小題全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9.定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是的極小值，是的極大值B.是的極大值，是的極小值C.在上單調(diào)遞增D.在上單調(diào)遞減〖答案〗BD〖解析〗由圖知，，，當時，；當時，；當時，；當時，.所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為，．故選：BD10.某所高中的辯論隊要從5名高一學生和4名高二學生中選出4人去參加一場辯論比賽．下列說法正確的是（）A.被選中的4人中恰有1名高一學生的概率為B.被選中的4人中恰有1名高二學生的概率為C.如果高一學生中的甲和高二學生中的乙至多有1人入選，則有105種選法D.如果高一學生中的甲和高二學生中的乙至多有1人入選，則有140種選法〖答案〗AC〖解析〗被選中的4人中恰有1名高一學生的概率為，A正確；被選中的4人中恰有1名高二學生的概率為，B錯誤；如果高一學生中的甲和高二學生中的乙至多有1人入選，包含兩種情況，第一種情況，甲和乙都不入選，有種；第二種情況，甲乙恰有1人入選，有種選法，則如果高一學生中的甲和高二學生中的乙至多有1人入選，共有種選法，C正確，D錯誤．故選：AC11.如圖、在長方體中，，，，，分別是，，的中點．則下列說法正確的是（）A.平面B.C.三棱錐的體積為D.若點在平面內(nèi)，且平面，則線段長度的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，連結(jié)，．，分別是，的中點．則，平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面，∴A正確；對于B，由題意知四邊形為正方形，則，又平面，平面，故，平面，∴平面．又∵平面，∴，故B選項正確；對于C，，∴C選項是正確的；對于D，因為平面，而平面平面，且點在平面內(nèi)，則點的軌跡是平面與平面的交線，即直線，所以的最小值在時取到．此時在中，，，，上的高為，∵，∴，故D錯誤．故選：ABC二、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.有2名老師和3名學生站成一排照相，若這2名老師都不站在兩端，則不同的站法共有________種．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗2名老師都不站在兩端，故有種站法；剩下3個位置，站3名學生，有種站法，故不同的站法共有種．故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)的圖象為曲線，若曲線存在與直線垂直的切線，則實數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗，∴，∵曲線存在與直線垂直的切線，∴有解，∴，故實數(shù)的取值范圍是．故〖答案〗為：14.“楊輝三角”最早出現(xiàn)在中國數(shù)學家楊輝所著的《詳析九章算法》中，是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一.如圖，在由二項式系數(shù)所構成的“楊輝三角”中，記第2行的第3個數(shù)字為，第3行的第3個數(shù)字為、?，第行的第3個數(shù)字為，則________，數(shù)列的前項和________．〖答案〗①②〖解析〗由題意知，．故〖答案〗為：，.三、解答題（本題共5小題，第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.在公差為3的等差數(shù)列中，，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求的前項和．解：（1）∵等差數(shù)列滿足，公差為3，所以，所以，則，∴數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）知，，∴所以?，所以16.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．解：（1）由題意得的定義域，且因為函數(shù)在處取值得極值，所以解得此時，，令得或，令得，故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意，所以．（2）由（1）得，，令，得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取極小值，所以當時，的最小值為17.致敬百年，讀書筑夢，某學校組織全校學生參加“學黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡知識競賽”活動．并對某年級100位學生競賽成績進行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表．規(guī)定：成績在內(nèi)，為成績優(yōu)秀．成績?nèi)藬?shù)510152520205（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為此次競賽成績與性別有關；優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男10女35合計（2）某班級實行學分制，為鼓勵學生多讀書，推出