2023-2024學年遼寧省部分高中高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省部分高中2023-2024學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在等差數(shù)列中，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)得，所以.故選：A．2已知集合，則（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗不等式的解集為，，，所以，A錯誤；，B錯誤；，故C錯誤，D正確.故選：D．3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由得，所以，故可得；當時，取，則不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A4已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C．5.已知，且，則的最小值為（）A.3 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，，又，，當且僅當即，時等號成立.故選：B．6.已知直線是曲線的切線，則實數(shù)（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗，則，設切點坐標為，則①，又點既在直線上，又在曲線上，②，③，由①②③解得，.故選：A．7.若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法1：不等式化為，使成立，則，故選：A.方法2：將兩邊平方整理得，對恒成立，則有，解得，故選：A．8.若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因為在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，當顯然不出來；當時，，即，故選:C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由得，，，由，即，解得，故A正確；所以，，故B正確；所以，則，故C錯誤；因為，，，故D錯誤．故選：AB.10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C. D.數(shù)列的最小值為〖答案〗AC〖解析〗由得，所以，故A正確，所以，設函數(shù)，則，令得，令得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合，得當時，數(shù)列是遞減數(shù)列，當時，數(shù)列是遞增數(shù)列，故B錯誤，由當時，數(shù)列是遞增數(shù)列知，所以，故C正確，當時，，當時，，所以，故D錯誤．故選：AC.11.已知與x軸的三個交點依次為，且在這三個交點處的切線斜率分別記為，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗，由或；由.所以函數(shù)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值，又.所以函數(shù)的圖象關于點中心對稱.對A：因為，所以，故A正確；對B：因為的對稱中心為，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，故B不正確；對C：令，是方程其中的一個根，所以，則另兩個根分別為和，所以有，因為，又因為在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；對D：設A，B，C對應的橫坐標分別為，，，且，所以，，，則，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知關于x的方程的兩個實數(shù)根同號，則實數(shù)m的取值范圍為_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意得到，即，解得.故〖答案〗為：.13.在等比數(shù)列中，，則_______.〖答案〗〖解析〗由于，由等比數(shù)列性質(zhì)知道，則；由于，由等比數(shù)列性質(zhì)知道；則.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，若恒成立，則的最小值為_______；則若在的圖象上有且僅有一對點關于軸對稱，則實數(shù)的取值范圍為_______．〖答案〗①②〖解析〗①由題意，當時，對于恒成立，滿足條件；當時，由得對于恒成立，令，則，在時，，即，所以在單調(diào)遞增，故，所以的最小值為.②在的圖象上有且僅有一對點關于軸對稱，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有且僅有一個交點，則在有唯一解，令，兩邊取對數(shù)，所以，令，恒成立，所以在單調(diào)遞增，且，所以在有唯一解，令，則，令，則，即單調(diào)遞增；令，則，即單調(diào)遞減；如圖所示，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以實數(shù)的取值為.故〖答案〗為：①，②.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在點處的切線與x軸平行．（1）求a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值．解：（1）因為，所以，即，（2）因為的定義域為，由（1）知，所以，當時，，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當時，取得極小值，函數(shù)無極大值．16.設為數(shù)列的前n項和，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設的前n項和，求證：．解：（1）因為，所以，故，當時，，所以，所以，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以．（2）因為，所以，①②①②得，所以所以．17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：不等式有實數(shù)解．解：（1）因為.①當時，，所以在上單調(diào)遞減；②當時，，所以，若，，所以在上單調(diào)遞減，若，，所以在上單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）要證不等式有實數(shù)解，只需證明即可.由（1）得，則只要證明即可，即證.令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以當時，不等式有實數(shù)解.18.已知數(shù)列滿足．（1）計算，猜想的通項公式并加以證明；（2）設，求使數(shù)列取得最大值時n的值．解：（1）由題意得，，猜想，式子可化為，因為，所以，因此數(shù)列的通項公式為，得證．（2）由得，，所以，若，當且僅當成立，則當時，，當時，，故時，取最大值.19.已知函數(shù)，數(shù)列滿足正整數(shù)（1）求的最大值；（2）求證：；（3）求證：．解：（1）因為的定義域為，所以當時，，上遞增，當時，，在上遞減，所以在時有最大值，所以，即的最大值為0；（2）由（1）知，，所以，所以，即，所以，，，累加得，即.（3）因為，所以，得，，，，所以，即，所以，所以，，，所以，，所以得證．遼寧省部分高中2023-2024學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在等差數(shù)列中，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)得，所以.故選：A．2已知集合，則（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗不等式的解集為，，，所以，A錯誤；，B錯誤；，故C錯誤，D正確.故選：D．3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由得，所以，故可得；當時，取，則不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A4已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C．5.已知，且，則的最小值為（）A.3 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，，又，，當且僅當即，時等號成立.故選：B．6.已知直線是曲線的切線，則實數(shù)（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗，則，設切點坐標為，則①，又點既在直線上，又在曲線上，②，③，由①②③解得，.故選：A．7.若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法1：不等式化為，使成立，則，故選：A.方法2：將兩邊平方整理得，對恒成立，則有，解得，故選：A．8.若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因為在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，當顯然不出來；當時，，即，故選:C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由得，，，由，即，解得，故A正確；所以，，故B正確；所以，則，故C錯誤；因為，，，故D錯誤．故選：AB.10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C. D.數(shù)列的最小值為〖答案〗AC〖解析〗由得，所以，故A正確，所以，設函數(shù)，則，令得，令得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合，得當時，數(shù)列是遞減數(shù)列，當時，數(shù)列是遞增數(shù)列，故B錯誤，由當時，數(shù)列是遞增數(shù)列知，所以，故C正確，當時，，當時，，所以，故D錯誤．故選：AC.11.已知與x軸的三個交點依次為，且在這三個交點處的切線斜率分別記為，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗，由或；由.所以函數(shù)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值，又.所以函數(shù)的圖象關于點中心對稱.對A：因為，所以，故A正確；對B：因為的對稱中心為，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，故B不正確；對C：令，是方程其中的一個根，所以，則另兩個根分別為和，所以有，因為，又因為在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；對D：設A，B，C對應的橫坐標分別為，，，且，所以，，，則，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知關于x的方程的兩個實數(shù)根同號，則實數(shù)m的取值范圍為_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意得到，即，解得.故〖答案〗為：.13.在等比數(shù)列中，，則_______.〖答案〗〖解析〗由于，由等比數(shù)列性質(zhì)知道，則；由于，由等比數(shù)列性質(zhì)知道；則.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，若恒成立，則的最小值為_______；則若在的圖象上有且僅有一對點關于軸對稱，則實數(shù)的取值范圍為_______．〖答案〗①②〖解析〗①由題意，當時，對于恒成立，滿足條件；當時，由得對于恒成立，令，則，在時，，即，所以在單調(diào)遞增，故，所以的最小值為.②在的圖象上有且僅有一對點關于軸對稱，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有且僅有一個交點，則在有唯一解，令，兩邊取對數(shù)，所以，令，恒成立，所以在單調(diào)遞增，且，所以在有唯一解，令，則，令，則，即單調(diào)遞增；令，則，即單調(diào)遞減；如圖所示，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以實數(shù)的取值為.故〖答案〗為：①，②.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在點處的切線與x軸平行．（1）求a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值．解：（1）因為，所以，即，（2）因為的定義域為，由（1）知，所以，當時，，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當時，取得極小值，函數(shù)無極大值．16.設為數(shù)列的前n項和，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設的前n項和，求證：．解：（1）因為，所以，故，當時，，所以，所以，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以．（2）因為，所以，①②①②得，所以所以．17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：不等式有實數(shù)解．解：（1）因為.①當時，，所以在上單調(diào)遞減；②當時，，所以，若，，所以在上單調(diào)遞減，若，，所以在上單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）要證不等式有實數(shù)解，只需證明即可.由（1）得，則只要證明即可，即證.令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以當時，不等式有實數(shù)解.18.已知數(shù)列滿足．（1）計算，猜想的通項公