專題2.11一元二次方程應(yīng)用-幾何動點問題（專項訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊《考點解讀專題訓(xùn)練》（浙教版）

專題2.11一元二次方程應(yīng)用幾何動點問題（專項訓(xùn)練）1．（2022秋?拜泉縣校級期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一動點P從點C出發(fā)沿著CB方向以2cm/s的速度運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC邊以4cm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，運動時間為t（s）．（1）若△PCQ的面積是△ABC面積的，求t的值？（2）△PCQ的面積能否與四邊形ABPQ面積相等？若能，求出t的值；若不能，說明理由．【解答】解：（1）當(dāng)運動時間為ts時，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根據(jù)題意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，整理得：t2﹣4t+4＝0，解得：t1＝t2＝2．答：t的值為2．（2）△PCQ的面積不能與四邊形ABPQ面積相等，理由如下：當(dāng)運動時間為ts時，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根據(jù)題意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，整理得：t2﹣4t+8＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴該方程沒有實數(shù)根．∴△PCQ的面積不能與四邊形ABPQ的面積相等．2．（2022秋?臨澧縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A出發(fā)沿AB邊向點B以1cm/s的速度運動，同時，點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，且當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止移動．問點P運動開始后第幾秒時，△PBQ的面積等于8cm2？【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，設(shè)點P運動開始后第t秒時，△PBQ的面積等于8cm2，由題意得：（6﹣t）?2t＝8，解得：t＝2或t＝4，答：點P運動開始后第2秒或4秒時，△PBQ的面積等于8cm2．3．（2022秋?市校級月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，動點P以2m/s的速度從點B出發(fā)，B→A→C向終點B運動，同時動點Q以1ms的速度從點C出發(fā)，沿C→B向終點B移動，當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動，設(shè)運動時間為t．（1）當(dāng)點P在AB上運動時，當(dāng)t為何值時，S△PCQ＝4；（2）當(dāng)PC＝CQ時，求t的值；（3）當(dāng)點P運動到AC的中點時，求△PCQ的面積．【解答】解：（1）當(dāng)點P在AB上運動時，設(shè)運動時間為t．∴PB＝2tm，CQ＝tm，∵S，∴，解得t＝2或t＝﹣2（不合題意，舍去），∴當(dāng)點P在AB上運動時，當(dāng)t＝2s時，S△PCQ＝4；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝6m，BC＝8m，∴AC＝＝＝10（m），由題意得，當(dāng)Q停止時需要8秒，∵2×8＝16，AB+AC＝16m，∴P點運動到C點停止，∴PC＝（16﹣2t）m，CQ＝tm，當(dāng)PC＝CQ時，16﹣2t＝t，解得t＝，即當(dāng)PC＝CQ時，求t的值為s；（3）如圖，當(dāng)點P運動到AC的中點時，作PE⊥BC于點E，∴PC＝5m，即16﹣2t＝5，解得t＝（m），∴CQ＝t＝m，∵PE⊥BC，∠B＝90°，∴PE∥AB，∵點P是AC的中點，∴點E是BC的中點，∴PE＝AB＝3（m），∴△PCQ的面積為：＝m2．4．（2022秋?市北區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設(shè)運動的時間為ts，（0≤t≤5）求：（1）當(dāng)t為多少秒時，P、Q兩點之間的距離是10cm？（2）用含t的代數(shù)式表示Rt△CPQ的面積S；（3）當(dāng)t為多少秒時，？【解答】解：（1）若運動的時間為ts，則CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，∵∠C＝90°，PQ＝10cm，∴PC2+CQ2＝PQ2，即（20﹣4t）2+（2t）2＝102，解得t1＝3，t2＝5，答：當(dāng)t為3秒或5秒時，P、Q兩點之間的距離是10cm；（2）若運動的時間為ts，則CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，∴S＝CP?CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2，∴Rt△CPQ的面積S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）；（3）根據(jù)題意得：20t﹣4t2＝××20×15，解得t1＝2，t2＝3，答：當(dāng)t為2秒或3秒時，．5．（2022秋?商州區(qū)校級月考）如圖，A、B、C、D為矩形的4個頂點，AB＝16cm，BC＝6cm，動點P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點A、C同時出發(fā)，點Q從點C向點D移動．（1）若點P從點A移動到點B停止，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，問經(jīng)過2s時P、Q兩點之間的距離是多少cm？（2）若點P從點A移動到點C停止，點Q隨點P的停止而停止移動，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，問經(jīng)過多長時間△PBQ的面積為12cm2？【解答】解：（1）過點P作PE⊥CD于E，如圖：根據(jù)題意得EQ＝16﹣2×3﹣2×2＝6（cm），PE＝AD＝6cm，在Rt△PEQ中，PE2+EQ2＝PQ2，∴36+36＝PQ2，∴PQ＝6cm；∴經(jīng)過2s時P、Q兩點之間的距離是6cm；（2）連接BQ，設(shè)經(jīng)過ys后△PBQ的面積為12cm2，①當(dāng)P在AB上，即0≤y≤時，則PB＝16﹣3y，∴PB?BC＝12，即×（16﹣3y）×6＝12，解得y＝4；②當(dāng)P在BC上，即＜y≤時，BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，∴BP?CQ＝（3y﹣16）×2y＝12，解得y1＝6，y2＝﹣（舍去）；綜上所述，經(jīng)過4s或6s，△PBQ的面積為12cm2．6．（2021秋?天山區(qū)校級期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，當(dāng)點Q運動到點C時，兩點停止運動，設(shè)運動時間為ts，多少秒后三角形BPQ的面積等于5cm2？【解答】解：由題意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，則PB＝（6﹣t）cm，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵三角形PBQ的面積等于5cm2，∴?2t?（6﹣t）＝5，解得：t1＝1，t2＝5，當(dāng)t＝5s時，BQ＝2t＝10cm＞7cm，∴t＝5不符合題意，舍去，答：1秒后三角形BPQ的面積等于5cm2．7．（2022秋?漣水縣期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，點Q移動到C點后停止，點P也隨之停止運動，當(dāng)△PBQ的面積為15cm2時，則點P運動的時間是多少秒？【解答】解：當(dāng)運動時間為t秒時，AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm．依題意得：BQ?BP＝15，即×2t（8﹣t）＝15，整理得：t2﹣8t+15＝0，解得：t1＝3，t2＝5．當(dāng)t＝3時，BQ＝2t＝2×3＝6，符合題意；當(dāng)t＝5時，BQ＝2t＝2×5＝10＞6，不符合題意，舍去．答：當(dāng)△PBQ的面積為15cm2時，點P運動的時間是3秒．8．（2022春?福山區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B運動，同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C運動．設(shè)運動時間為xs．（1）若PQ＝4cm，求x的值．（2）若△DPQ的面積為31cm2，求x的值．【解答】解：（1）由題意可得：BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，根據(jù)勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，即：（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，解得：x＝或x＝2，答：PQ＝4cm，x的值為或2；（2）由題意可得：S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ＝AB?BC﹣AD?AP﹣CD?CQ﹣BP?BQ＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）?2x＝x2﹣6x+36＝31，解得：x1＝1，x2＝5，當(dāng)△DPQ的面積為31cm2，則x的值為1或5．9．（2022秋?興城市期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動（到達點B即停止運動），點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動（到達點C即停止運動）．（1）如果點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ的面積等于△ABC面積的三分之一？（2）如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，幾秒鐘后，點P，Q相距6cm？【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過xs后，△PBQ的面積等于△ABC面積的三分之一，依題意得：×2x（6﹣x）＝××6×8，解得：x1＝2，x2＝4．答：經(jīng)過2s或4s后，△PBQ的面積等于△ABC面積的三分之一．（2）設(shè)ys后，點P，Q相距6cm，依題意得：（6﹣y）2+（2y）2＝62，解得：y1＝0，y2＝．答：s后，點P，Q相距6cm．10．（2022秋?江都區(qū)期中）如圖所示，A、B、C、D是矩形的四個頂點，AB＝16cm，AD＝6cm，動點P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達點B為止，點Q以2cm/s的速度向點D移動（1）P，Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2？（2）P，Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點Q的距離第一次是10cm？【解答】解：當(dāng)運動時間為t秒時，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．（1）依題意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，解得：t＝5．答：P，Q兩點從出發(fā)開始到5秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2．（2）過點Q作QM⊥AB于點M，如圖所示．∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，解得：t1＝，t2＝（不合題意，舍去）．答：P，Q兩點從出發(fā)開始到秒時，點P和點Q的距離第一次是10cm．11．（2022秋?港北區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，點P從點A開始沿射線AC向點C以2cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點C開始沿邊CB向點B以1cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、C同時出發(fā)，運動的時間為ts，當(dāng)點Q運動到點B時，兩點停止運動．（1）當(dāng)點P在線段AC上運動時，P、C兩點之間的距離（6﹣2t）cm．（用含t的代數(shù)式表示）（2）在運動的過程中，是否存在某一時刻，使得△PQC的面積是△ABC面積的．若存在，求t的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴Rt△ABC中，AC＝6cm，又∵點P從點A開始沿射線AC向點C以2cm/s的速度移動，∴AP＝2t，∴當(dāng)點P在線段AC上運動時，P、C兩點之間的距離（6﹣2t）cm；故答案為：（6﹣2t）；（2）△ABC的面積為S△ABC＝×6×8＝24，①當(dāng)0＜t＜3時，PC＝6﹣2t，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），∴t（6﹣2t）＝4，即t2﹣3t+4＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴該一元二次方程無實數(shù)根，∴該范圍下不存在；②當(dāng)3＜t≤8時，PC＝2t﹣6，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），∴t（2t﹣6）＝4，即t2﹣3t﹣4＝0，解得t＝4或﹣1（舍去），綜上所述，存在，當(dāng)t＝4時，△PQC的面積是△ABC面積的．12.（2022?臺兒莊區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度向B點移動，點Q從B點出發(fā)，以2cm/s的速度向C點移動，當(dāng)一個點到達終點時，另一個點也隨即停止運動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【解答】解：如圖，過點Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝?PB?QE．設(shè)經(jīng)過t秒后△PBQ的面積等于4cm2，則PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．根據(jù)題意，?（6﹣t）?t＝4．t2﹣6t+8＝0．t1＝2，t2＝4．當(dāng)t＝4時，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，取t＝2．答：經(jīng)過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．13．（2022?盂縣一模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動點P從C出發(fā)沿著CB邊以1cm/s的速度運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC邊以2cm/s的速度運動，P，