專(zhuān)題2.11一元二次方程應(yīng)用-幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《考點(diǎn)解讀專(zhuān)題訓(xùn)練》（浙教版）

專(zhuān)題2.11一元二次方程應(yīng)用幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2022秋?拜泉縣校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著CB方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿著AC邊以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）若△PCQ的面積是△ABC面積的，求t的值？（2）△PCQ的面積能否與四邊形ABPQ面積相等？若能，求出t的值；若不能，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根據(jù)題意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，整理得：t2﹣4t+4＝0，解得：t1＝t2＝2．答：t的值為2．（2）△PCQ的面積不能與四邊形ABPQ面積相等，理由如下：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根據(jù)題意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，整理得：t2﹣4t+8＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．∴△PCQ的面積不能與四邊形ABPQ的面積相等．2．（2022秋?臨澧縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第幾秒時(shí)，△PBQ的面積等于8cm2？【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，△PBQ的面積等于8cm2，由題意得：（6﹣t）?2t＝8，解得：t＝2或t＝4，答：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第2秒或4秒時(shí)，△PBQ的面積等于8cm2．3．（2022秋?市校級(jí)月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，B→A→C向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1ms的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→B向終點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)t為何值時(shí)，S△PCQ＝4；（2）當(dāng)PC＝CQ時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求△PCQ的面積．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．∴PB＝2tm，CQ＝tm，∵S，∴，解得t＝2或t＝﹣2（不合題意，舍去），∴當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)t＝2s時(shí)，S△PCQ＝4；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝6m，BC＝8m，∴AC＝＝＝10（m），由題意得，當(dāng)Q停止時(shí)需要8秒，∵2×8＝16，AB+AC＝16m，∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止，∴PC＝（16﹣2t）m，CQ＝tm，當(dāng)PC＝CQ時(shí)，16﹣2t＝t，解得t＝，即當(dāng)PC＝CQ時(shí)，求t的值為s；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，作PE⊥BC于點(diǎn)E，∴PC＝5m，即16﹣2t＝5，解得t＝（m），∴CQ＝t＝m，∵PE⊥BC，∠B＝90°，∴PE∥AB，∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴PE＝AB＝3（m），∴△PCQ的面積為：＝m2．4．（2022秋?市北區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線(xiàn)段CB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線(xiàn)段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，（0≤t≤5）求：（1）當(dāng)t為多少秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？（2）用含t的代數(shù)式表示Rt△CPQ的面積S；（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，？【解答】解：（1）若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，則CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，∵∠C＝90°，PQ＝10cm，∴PC2+CQ2＝PQ2，即（20﹣4t）2+（2t）2＝102，解得t1＝3，t2＝5，答：當(dāng)t為3秒或5秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm；（2）若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，則CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，∴S＝CP?CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2，∴Rt△CPQ的面積S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）；（3）根據(jù)題意得：20t﹣4t2＝××20×15，解得t1＝2，t2＝3，答：當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，．5．（2022秋?商州區(qū)校級(jí)月考）如圖，A、B、C、D為矩形的4個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D移動(dòng)．（1）若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)2s時(shí)P、Q兩點(diǎn)之間的距離是多少cm？（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間△PBQ的面積為12cm2？【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，如圖：根據(jù)題意得EQ＝16﹣2×3﹣2×2＝6（cm），PE＝AD＝6cm，在Rt△PEQ中，PE2+EQ2＝PQ2，∴36+36＝PQ2，∴PQ＝6cm；∴經(jīng)過(guò)2s時(shí)P、Q兩點(diǎn)之間的距離是6cm；（2）連接BQ，設(shè)經(jīng)過(guò)ys后△PBQ的面積為12cm2，①當(dāng)P在A(yíng)B上，即0≤y≤時(shí)，則PB＝16﹣3y，∴PB?BC＝12，即×（16﹣3y）×6＝12，解得y＝4；②當(dāng)P在BC上，即＜y≤時(shí)，BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，∴BP?CQ＝（3y﹣16）×2y＝12，解得y1＝6，y2＝﹣（舍去）；綜上所述，經(jīng)過(guò)4s或6s，△PBQ的面積為12cm2．6．（2021秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，多少秒后三角形BPQ的面積等于5cm2？【解答】解：由題意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，則PB＝（6﹣t）cm，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵三角形PBQ的面積等于5cm2，∴?2t?（6﹣t）＝5，解得：t1＝1，t2＝5，當(dāng)t＝5s時(shí)，BQ＝2t＝10cm＞7cm，∴t＝5不符合題意，舍去，答：1秒后三角形BPQ的面積等于5cm2．7．（2022秋?漣水縣期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開(kāi)始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，點(diǎn)Q移動(dòng)到C點(diǎn)后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PBQ的面積為15cm2時(shí)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少秒？【解答】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm．依題意得：BQ?BP＝15，即×2t（8﹣t）＝15，整理得：t2﹣8t+15＝0，解得：t1＝3，t2＝5．當(dāng)t＝3時(shí)，BQ＝2t＝2×3＝6，符合題意；當(dāng)t＝5時(shí)，BQ＝2t＝2×5＝10＞6，不符合題意，舍去．答：當(dāng)△PBQ的面積為15cm2時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒．8．（2022春?福山區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．（1）若PQ＝4cm，求x的值．（2）若△DPQ的面積為31cm2，求x的值．【解答】解：（1）由題意可得：BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，根據(jù)勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，即：（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，解得：x＝或x＝2，答：PQ＝4cm，x的值為或2；（2）由題意可得：S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ＝AB?BC﹣AD?AP﹣CD?CQ﹣BP?BQ＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）?2x＝x2﹣6x+36＝31，解得：x1＝1，x2＝5，當(dāng)△DPQ的面積為31cm2，則x的值為1或5．9．（2022秋?興城市期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B即停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)C即停止運(yùn)動(dòng)）．（1）如果點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，△PBQ的面積等于△ABC面積的三分之一？（2）如果P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，點(diǎn)P，Q相距6cm？【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)xs后，△PBQ的面積等于△ABC面積的三分之一，依題意得：×2x（6﹣x）＝××6×8，解得：x1＝2，x2＝4．答：經(jīng)過(guò)2s或4s后，△PBQ的面積等于△ABC面積的三分之一．（2）設(shè)ys后，點(diǎn)P，Q相距6cm，依題意得：（6﹣y）2+（2y）2＝62，解得：y1＝0，y2＝．答：s后，點(diǎn)P，Q相距6cm．10．（2022秋?江都區(qū)期中）如圖所示，A、B、C、D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)（1）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2？（2）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是10cm？【解答】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．（1）依題意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，解得：t＝5．答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到5秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2．（2）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M，如圖所示．∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，解得：t1＝，t2＝（不合題意，舍去）．答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是10cm．11．（2022秋?港北區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿射線(xiàn)AC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P、C兩點(diǎn)之間的距離（6﹣2t）cm．（用含t的代數(shù)式表示）（2）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PQC的面積是△ABC面積的．若存在，求t的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴Rt△ABC中，AC＝6cm，又∵點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿射線(xiàn)AC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，∴AP＝2t，∴當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P、C兩點(diǎn)之間的距離（6﹣2t）cm；故答案為：（6﹣2t）；（2）△ABC的面積為S△ABC＝×6×8＝24，①當(dāng)0＜t＜3時(shí)，PC＝6﹣2t，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），∴t（6﹣2t）＝4，即t2﹣3t+4＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴該一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴該范圍下不存在；②當(dāng)3＜t≤8時(shí)，PC＝2t﹣6，QC＝t，∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），∴t（2t﹣6）＝4，即t2﹣3t﹣4＝0，解得t＝4或﹣1（舍去），綜上所述，存在，當(dāng)t＝4時(shí)，△PQC的面積是△ABC面積的．12.（2022?臺(tái)兒莊區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝?PB?QE．設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后△PBQ的面積等于4cm2，則PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．根據(jù)題意，?（6﹣t）?t＝4．t2﹣6t+8＝0．t1＝2，t2＝4．當(dāng)t＝4時(shí)，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，取t＝2．答：經(jīng)過(guò)2秒后△PBQ的面積等于4cm2．13．（2022?盂縣一模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)沿著CB邊以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿著AC邊以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P，