專題18幾何壓軸題-2023年寧波中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（原卷版）

專題18幾何壓軸題1．（2022?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，分別為，，上的點，，，交于點，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，．若，，，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，與交于點，為上一點，交于點，交于點．若，平分，，求的長．2．（2021?寧波）【證明體驗】（1）如圖1，為的角平分線，，點在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，為上一點，連結(jié)交于點．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，，點在上，．若，，，求的長．3．（2020?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，為上一點，．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，為上一點，為延長線上一點，．若，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形中，是上一點，是內(nèi)一點，，，，，，求菱形的邊長．4．（2019?寧波）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在中，，是的角平分線，，分別是，上的點．求證：四邊形是鄰余四邊形．（2）如圖2，在的方格紙中，，在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形，使是鄰余線，，在格點上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取中點，連接并延長交于點，延長交于點．若為的中點，，，求鄰余線的長．5．（2018?寧波）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．（1）已知是比例三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的的長；（2）如圖1，在四邊形中，，對角線平分，．求證：是比例三角形．（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)時，求的值．6．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)一模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，為等腰直角三角形，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，分別在直角邊，上，，，求．7．（2022?寧波模擬）【證明體驗】（1）如圖①，在和中，，，，連接，．求證：；【思考探究】（2）如圖②，在①的條件下，若，，，，求的長；【拓展延伸】（3）如圖③，在四邊形中，，，，，，求的值．8．（2022?北侖區(qū)一模）【根底鞏固】（1）如圖，在中，為上一點，．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在菱形中，，分別為，上的點，且，射線交的延長線于點，射線交的延長線于點．若，，．求：①的長；②的長．【拓展進步】（3）如圖3，在菱形中，，，以點為圓心作半徑為3的圓，其中點是圓上的動點，請直接寫出的最小值．9．（2022?寧波模擬）【證明體驗】（1）如圖，中，，是延長線上一點，連結(jié)，為的中點，為的中點，連結(jié)．求證：．【思考探究】（2）如圖（2），在（1）的條件下，設(shè)交干點．若為的中點，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖③，在菱形中，對角線，相交于點，是邊的中點，在上，，連結(jié)交于點．是的中點，連結(jié)并延長交邊于點，若，求菱形的周長．10．（2022?寧波一模）對于平面直角坐標(biāo)系中的兩條直線，給出如下定義：若不平行的兩條直線與軸相交所成的銳角相等，則稱這兩條直線為“等腰三角線”．如圖1中，若，則直線與直線稱為“等腰三角線”；反之，若直線與直線為“等腰三角線”，則．（1）如圖1，若直線與直線為“等腰三角線”，且點、的坐標(biāo)分別為、，求直線的解析式；（2）如圖2，直線與雙曲線交于點、，點是雙曲線上的一個動點，點、的橫坐標(biāo)分別為、，直線、分別與軸于點、；①求證：直線與直線為“等腰三角線”；②過點作軸的垂線，在直線上存在一點，連結(jié)，當(dāng)時，求出線段的值（用含的代數(shù)式表示）．11．（2022?北侖區(qū)二模）如果兩個三角形的兩邊對應(yīng)相等，且它們的夾角互補．那么這兩個三角形叫做互補三角形，如圖1．是的中線，則和就是互補三角形．（1）根據(jù)定義判斷下面兩個命題的真假（填“真”或“假”①互補三角形一定不全等．命題②互補三角形的面積相等．命題（2）如圖2，和為互補三角形，，，是的中線．求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，若，，三點共線，連結(jié)，，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，當(dāng)時，求的值．12．（2022?鄞州區(qū)模擬）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點，分別在邊，上，于點，點，分別在邊，上，．①求證：；②推斷：的值為；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時，若，，求的長．13．（2022?海曙區(qū)一模）一個角的余角的兩倍稱為這個角的倍余角．（1）若，是的倍余角，則的度數(shù)為；若，是的倍余角，則的度數(shù)為；（用的代數(shù)式表示）（2）如圖1，在中，，在上截取，在上截取．求證：是的倍余角；（3）如圖2，在（2）的情況下，作交于點，將沿折疊得到，交于點，若，設(shè)，求的度數(shù)．14．（2022?寧波模擬）證明體驗（1）如圖1，在中，點在邊上，點在邊上，，，與相交于點．求證：．思考探究（2）如圖2，在（1）的條件下，過點作的平行線交于點，若，，求的長．拓展延伸（3）如圖3，在四邊形中，對角線與相交于點，，，，，求的長．15．（2022?海曙區(qū)校級一模）【證明體驗】（1）如圖1，正方形中，，分別是邊和對角線上的點，，．求證：．【思考探究】（2）如圖2，矩形中，，，，分別是邊和對角線上的點，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，菱形中，，對角線，交的延長線于點，，分別是線段和上的點，，，求的長．16．（2022?鄞州區(qū)校級一模）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形是“婆氏四邊形”，則四邊形是（填序號）；①矩形②菱形③正方形（2）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，為圓內(nèi)一點，，且，求證：四邊形為“婆氏四邊形”；（3）在（2）的條件下，，且．①當(dāng)時，求的長度；②當(dāng)?shù)拈L度最小時，請直接寫出的值．17．（2022?江北區(qū)一模）項目化學(xué)習(xí)：車輪的形狀．【問題提出】車輪為什么要做成圓形，這里面有什么數(shù)學(xué)原理？【合作探究】（1）探究組：如圖1，圓形車輪半徑為，其車輪軸心到地面的距離始終為．（2）探究組：如圖2，正方形車輪的軸心為，若正方形的邊長為，求車輪軸心最高點與最低點的高度差．（3）探究組：如圖3，有一個破損的圓形車輪，半徑為，破損部分是一個弓形，其所對圓心角為，其車輪軸心為，讓車輪在地上無滑動地滾動一周，求點經(jīng)過的路程．探究發(fā)現(xiàn)：車輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定．【拓展延伸】如圖4，分別以正三角形的三個頂點，，為圓心，以正三角形的邊長為半徑作圓弧，這個曲線圖形叫做“萊洛三角形”．（4）探究組：使“萊洛三角形”沿水平方向向右滾動，在滾動過程中，其每時每刻都有“最高點”，“中心點”也在不斷移動位置，那么在“萊洛三角形”滾動一周的過程中，其“最高點”和“中心點”所形成的圖案大致是．延伸發(fā)現(xiàn)：“萊洛三角形”在滾動時始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠保持平衡，但其車軸中心并不穩(wěn)定．18．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）定義：如果一個四邊形的一組對角互余，那么我們稱這個四邊形為“對角互余四邊形”．（1）如圖1，在“對角互余四邊形”中，，，，，，求四邊形的面積．（2）如圖2，在四邊形中，連接，，點是外接圓的圓心，連接，．求證：四邊形是“對角互余四邊形”；（3）在（2）的條件下，如圖3，已知，，，連接，求的值．（結(jié)果用帶有，的代數(shù)式表示）19．（2022?寧波模擬）新知學(xué)習(xí)：若一條線段把一個平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該平面圖形的二分線．解決問題：（1）①三角形的中線、高線、角平分線中，一定是三角形的二分線的是；②如圖1，已知中，是邊上的中線，點，分別在，上，連接，與交于點．若，則（填“是”或“不是”的一條二分線．（2）如圖2，四邊形中，平行于，點是的中點，射線交射線于點，取的中點，連接．求證：是四邊形的二分線．（3）如圖3，在中，，，，，分別是線段，上的點，且，是四邊形的一條二分線，求的長．20．（2022?寧波模擬）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖①，在中，于點，若，，求的值；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，點在的邊上，滿足．求證：；【拓展提高】（3）如圖③，已知點為斜邊上一點，過點作的垂線，交于點，點在的中垂線上，連結(jié)，若，求證：．21．（2022?鄞州區(qū)一模）如圖1，平行四邊形中，，，點是邊上的點，連結(jié)，以為對稱軸作的軸對稱圖形．（1）如圖2，當(dāng)點正好落在邊上時，判斷四邊形的形狀并說明理由；（2）如圖1，當(dāng)點是線段的中點且時，求的長；（3）如圖3，當(dāng)點，，三點共線時，恰有，求的長．22．（2022?慈溪市一模）證明體驗（1）如圖1，在和中，點、、在同一直線上，，求證：．（2）如圖2，圖3，，點線段上的點，，，連結(jié)，為中點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)．思考探究①如圖2，當(dāng)時，求的長．拓展延伸②如圖3，點是延長線上一點，且，連結(jié)，，求的長．23．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)二模）基礎(chǔ)鞏固（1）如圖1，在中，，，點為延長線上一點，連結(jié)，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．求證：；嘗試應(yīng)用（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，若交于點，已知，．求線段的長；拓展提高（3）如圖3，在正方形中，點是對角線延長線上的一點，連結(jié)，過點作的垂線交于點，交邊于點，若，，求的長．24．（2022?余姚市一模）若一個三角形的兩條邊的和等于第三條邊的兩倍，我們把這個三角形叫做和諧三角形．（1）已知是和諧三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的的長．（2）在中，，，為邊上一點，，連結(jié)，若為和諧三角形，求的長．（3）如圖，在等腰中，，為的中點，且，為上一點，滿足，連結(jié)，求證：為和諧三角形．25．（2022?江北區(qū)模擬）定義：若連結(jié)三角形一個頂點及其對邊上一點的線段將該三角形分割成的兩個小三角形中，有一個與原三角形相似，則稱該線段為三角形的相似分割線；若分割成的兩個小三角形都與原三角形相似，則稱該線段為全相似分割線．（1）如圖1，在中，為鈍角，相似分割線是邊上的中線，求證：．（2）如圖2，在中，是的全相似分割線，求證：；（3）在中，是的全相似分割線，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)到點，點旋轉(zhuǎn)到點，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，，，三點共線，恰好是的相似分割線，求值．26．（2022?寧波模擬）如圖，菱形的對角線，相交于點，過點作的垂線交的延長線于點，連結(jié)，交于點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求的值．27．（2022?寧波模擬）定義：若四邊形有一組對角的差為，則稱這個四邊形為余角四邊形．（1）判斷命題：“有一個內(nèi)角為的圓內(nèi)接四邊形是余角四邊形”是真命題還是假命題？（2）在網(wǎng)格中，，是如圖①，②所示的格點（小正方形的頂點），分別在圖①，圖②中各畫一個互不全等的格點四邊形，使它是一個余角四邊形．（3）如圖③，在中，，，分別是，上的點，且．①求證：四邊形為余角四邊形．②若，求的值．28．（2022?寧波模擬）定義：若一動點到一條線段的兩個端點的距離滿足，則稱點為線段的點，但點不是線段的點．（1）如圖1，在中，，，若點是線段的點，求的長．（2）如圖2，在中，是邊上一點，連結(jié)，若點分別是線段，線段的點，求證：點是線段的點．（3）如圖3，在菱形中，，，點，分別是，上的點，且滿足，連結(jié)．若點是線段的點，求的長．29．（2022?寧波模擬）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖①，在四邊形中，，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在平行四邊形中，點在上，與互補，，，求的長；【拓展提高】（3）如圖③，在菱形中，為其內(nèi)部一點，與互補，點在上，，且，，，求的長．30．（2018?長春一模）定義：若四邊形中某個頂點與其它三個頂點的距離相等，則這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂點叫做這個四邊形的等距點．（1）判斷：一個內(nèi)角為的菱形等距四邊形．（填“是”或“不是”（2）如圖2，在的網(wǎng)格圖中有、兩點，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找出、兩個格點，使得以、、、為頂點的四邊形為互不全等的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”，并寫出該等距四邊形的端點均為非等距點的對角線長．端點均為非等距點的對角線長為端點均為非等距點的對角線長為（3）如圖1，已知與都是等腰直角三角形，，連接，，，若四邊形是以為等距點的等距四邊形，求的度數(shù)．31．（2022?鄞州區(qū)校級三模）問題提出：（1）我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做“偏等積三角形”．如圖1，中，，，，為上一點，當(dāng)時，與是偏等積三角形；問題探究：（2）如圖2，與是偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數(shù)，過點作交的延長線于點，求的長度；問題解決：（3）如圖3，四邊形是一片綠色花園，、是等腰直角三角形，．①與是偏等積三角形嗎？請說明理由；②已知，的面積為．如圖4，計劃修建一條經(jīng)過點的筆直的小路，在邊上，的延長線經(jīng)過中點．若小路每米造價600元，請計算修建小路的總造價．32．（2022?鄞州區(qū)模擬）定義：若一個四邊形能被其中的一條對角線分割成兩個相似三角形，則稱這個四邊形為“友誼四邊形”，這條對角線稱為“友誼線”