專題18幾何壓軸題-2023年寧波中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（原卷版）

專題18幾何壓軸題1．（2022?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，分別為，，上的點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，．若，，，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，與交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，平分，，求的長．2．（2021?寧波）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，為上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對(duì)角線平分，，點(diǎn)在上，．若，，，求的長．3．（2020?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，為上一點(diǎn)，．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，為上一點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，．若，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形中，是上一點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，求菱形的邊長．4．（2019?寧波）定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在中，，是的角平分線，，分別是，上的點(diǎn)．求證：四邊形是鄰余四邊形．（2）如圖2，在的方格紙中，，在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形，使是鄰余線，，在格點(diǎn)上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，，，求鄰余線的長．5．（2018?寧波）若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形．（1）已知是比例三角形，，，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的的長；（2）如圖1，在四邊形中，，對(duì)角線平分，．求證：是比例三角形．（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的值．6．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)一模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，為等腰直角三角形，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，分別在直角邊，上，，，求．7．（2022?寧波模擬）【證明體驗(yàn)】（1）如圖①，在和中，，，，連接，．求證：；【思考探究】（2）如圖②，在①的條件下，若，，，，求的長；【拓展延伸】（3）如圖③，在四邊形中，，，，，，求的值．8．（2022?北侖區(qū)一模）【根底鞏固】（1）如圖，在中，為上一點(diǎn)，．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在菱形中，，分別為，上的點(diǎn)，且，射線交的延長線于點(diǎn)，射線交的延長線于點(diǎn)．若，，．求：①的長；②的長．【拓展進(jìn)步】（3）如圖3，在菱形中，，，以點(diǎn)為圓心作半徑為3的圓，其中點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的最小值．9．（2022?寧波模擬）【證明體驗(yàn)】（1）如圖，中，，是延長線上一點(diǎn)，連結(jié)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連結(jié)．求證：．【思考探究】（2）如圖（2），在（1）的條件下，設(shè)交干點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖③，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，在上，，連結(jié)交于點(diǎn)．是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交邊于點(diǎn)，若，求菱形的周長．10．（2022?寧波一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的兩條直線，給出如下定義：若不平行的兩條直線與軸相交所成的銳角相等，則稱這兩條直線為“等腰三角線”．如圖1中，若，則直線與直線稱為“等腰三角線”；反之，若直線與直線為“等腰三角線”，則．（1）如圖1，若直線與直線為“等腰三角線”，且點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，求直線的解析式；（2）如圖2，直線與雙曲線交于點(diǎn)、，點(diǎn)是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，直線、分別與軸于點(diǎn)、；①求證：直線與直線為“等腰三角線”；②過點(diǎn)作軸的垂線，在直線上存在一點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求出線段的值（用含的代數(shù)式表示）．11．（2022?北侖區(qū)二模）如果兩個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)相等，且它們的夾角互補(bǔ)．那么這兩個(gè)三角形叫做互補(bǔ)三角形，如圖1．是的中線，則和就是互補(bǔ)三角形．（1）根據(jù)定義判斷下面兩個(gè)命題的真假（填“真”或“假”①互補(bǔ)三角形一定不全等．命題②互補(bǔ)三角形的面積相等．命題（2）如圖2，和為互補(bǔ)三角形，，，是的中線．求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，若，，三點(diǎn)共線，連結(jié)，，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，當(dāng)時(shí)，求的值．12．（2022?鄞州區(qū)模擬）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．①求證：；②推斷：的值為；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，若，，求的長．13．（2022?海曙區(qū)一模）一個(gè)角的余角的兩倍稱為這個(gè)角的倍余角．（1）若，是的倍余角，則的度數(shù)為；若，是的倍余角，則的度數(shù)為；（用的代數(shù)式表示）（2）如圖1，在中，，在上截取，在上截取．求證：是的倍余角；（3）如圖2，在（2）的情況下，作交于點(diǎn)，將沿折疊得到，交于點(diǎn)，若，設(shè)，求的度數(shù)．14．（2022?寧波模擬）證明體驗(yàn)（1）如圖1，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，，與相交于點(diǎn)．求證：．思考探究（2）如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，若，，求的長．拓展延伸（3）如圖3，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，，求的長．15．（2022?海曙區(qū)校級(jí)一模）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，正方形中，，分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，，．求證：．【思考探究】（2）如圖2，矩形中，，，，分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，菱形中，，對(duì)角線，交的延長線于點(diǎn)，，分別是線段和上的點(diǎn)，，，求的長．16．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)一模）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形是“婆氏四邊形”，則四邊形是（填序號(hào)）；①矩形②菱形③正方形（2）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，為圓內(nèi)一點(diǎn)，，且，求證：四邊形為“婆氏四邊形”；（3）在（2）的條件下，，且．①當(dāng)時(shí)，求的長度；②當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．17．（2022?江北區(qū)一模）項(xiàng)目化學(xué)習(xí)：車輪的形狀．【問題提出】車輪為什么要做成圓形，這里面有什么數(shù)學(xué)原理？【合作探究】（1）探究組：如圖1，圓形車輪半徑為，其車輪軸心到地面的距離始終為．（2）探究組：如圖2，正方形車輪的軸心為，若正方形的邊長為，求車輪軸心最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差．（3）探究組：如圖3，有一個(gè)破損的圓形車輪，半徑為，破損部分是一個(gè)弓形，其所對(duì)圓心角為，其車輪軸心為，讓車輪在地上無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，求點(diǎn)經(jīng)過的路程．探究發(fā)現(xiàn)：車輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定．【拓展延伸】如圖4，分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，為圓心，以正三角形的邊長為半徑作圓弧，這個(gè)曲線圖形叫做“萊洛三角形”．（4）探究組：使“萊洛三角形”沿水平方向向右滾動(dòng)，在滾動(dòng)過程中，其每時(shí)每刻都有“最高點(diǎn)”，“中心點(diǎn)”也在不斷移動(dòng)位置，那么在“萊洛三角形”滾動(dòng)一周的過程中，其“最高點(diǎn)”和“中心點(diǎn)”所形成的圖案大致是．延伸發(fā)現(xiàn)：“萊洛三角形”在滾動(dòng)時(shí)始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠保持平衡，但其車軸中心并不穩(wěn)定．18．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）定義：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，那么我們稱這個(gè)四邊形為“對(duì)角互余四邊形”．（1）如圖1，在“對(duì)角互余四邊形”中，，，，，，求四邊形的面積．（2）如圖2，在四邊形中，連接，，點(diǎn)是外接圓的圓心，連接，．求證：四邊形是“對(duì)角互余四邊形”；（3）在（2）的條件下，如圖3，已知，，，連接，求的值．（結(jié)果用帶有，的代數(shù)式表示）19．（2022?寧波模擬）新知學(xué)習(xí)：若一條線段把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該平面圖形的二分線．解決問題：（1）①三角形的中線、高線、角平分線中，一定是三角形的二分線的是；②如圖1，已知中，是邊上的中線，點(diǎn)，分別在，上，連接，與交于點(diǎn)．若，則（填“是”或“不是”的一條二分線．（2）如圖2，四邊形中，平行于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，射線交射線于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接．求證：是四邊形的二分線．（3）如圖3，在中，，，，，分別是線段，上的點(diǎn)，且，是四邊形的一條二分線，求的長．20．（2022?寧波模擬）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖①，在中，于點(diǎn)，若，，求的值；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，點(diǎn)在的邊上，滿足．求證：；【拓展提高】（3）如圖③，已知點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，點(diǎn)在的中垂線上，連結(jié)，若，求證：．21．（2022?鄞州區(qū)一模）如圖1，平行四邊形中，，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，連結(jié)，以為對(duì)稱軸作的軸對(duì)稱圖形．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)正好落在邊上時(shí)，判斷四邊形的形狀并說明理由；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)且時(shí)，求的長；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，恰有，求的長．22．（2022?慈溪市一模）證明體驗(yàn)（1）如圖1，在和中，點(diǎn)、、在同一直線上，，求證：．（2）如圖2，圖3，，點(diǎn)線段上的點(diǎn)，，，連結(jié)，為中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)．思考探究①如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長．拓展延伸②如圖3，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，連結(jié)，，求的長．23．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)二模）基礎(chǔ)鞏固（1）如圖1，在中，，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．求證：；嘗試應(yīng)用（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，若交于點(diǎn)，已知，．求線段的長；拓展提高（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，，求的長．24．（2022?余姚市一模）若一個(gè)三角形的兩條邊的和等于第三條邊的兩倍，我們把這個(gè)三角形叫做和諧三角形．（1）已知是和諧三角形，，，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的的長．（2）在中，，，為邊上一點(diǎn)，，連結(jié)，若為和諧三角形，求的長．（3）如圖，在等腰中，，為的中點(diǎn)，且，為上一點(diǎn)，滿足，連結(jié)，求證：為和諧三角形．25．（2022?江北區(qū)模擬）定義：若連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上一點(diǎn)的線段將該三角形分割成的兩個(gè)小三角形中，有一個(gè)與原三角形相似，則稱該線段為三角形的相似分割線；若分割成的兩個(gè)小三角形都與原三角形相似，則稱該線段為全相似分割線．（1）如圖1，在中，為鈍角，相似分割線是邊上的中線，求證：．（2）如圖2，在中，是的全相似分割線，求證：；（3）在中，是的全相似分割線，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，，，三點(diǎn)共線，恰好是的相似分割線，求值．26．（2022?寧波模擬）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求的值．27．（2022?寧波模擬）定義：若四邊形有一組對(duì)角的差為，則稱這個(gè)四邊形為余角四邊形．（1）判斷命題：“有一個(gè)內(nèi)角為的圓內(nèi)接四邊形是余角四邊形”是真命題還是假命題？（2）在網(wǎng)格中，，是如圖①，②所示的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），分別在圖①，圖②中各畫一個(gè)互不全等的格點(diǎn)四邊形，使它是一個(gè)余角四邊形．（3）如圖③，在中，，，分別是，上的點(diǎn)，且．①求證：四邊形為余角四邊形．②若，求的值．28．（2022?寧波模擬）定義：若一動(dòng)點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離滿足，則稱點(diǎn)為線段的點(diǎn)，但點(diǎn)不是線段的點(diǎn)．（1）如圖1，在中，，，若點(diǎn)是線段的點(diǎn)，求的長．（2）如圖2，在中，是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，若點(diǎn)分別是線段，線段的點(diǎn)，求證：點(diǎn)是線段的點(diǎn)．（3）如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且滿足，連結(jié)．若點(diǎn)是線段的點(diǎn)，求的長．29．（2022?寧波模擬）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖①，在四邊形中，，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在平行四邊形中，點(diǎn)在上，與互補(bǔ)，，，求的長；【拓展提高】（3）如圖③，在菱形中，為其內(nèi)部一點(diǎn)，與互補(bǔ)，點(diǎn)在上，，且，，，求的長．30．（2018?長春一模）定義：若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其它三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則這個(gè)四邊形叫做等距四邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的等距點(diǎn)．（1）判斷：一個(gè)內(nèi)角為的菱形等距四邊形．（填“是”或“不是”（2）如圖2，在的網(wǎng)格圖中有、兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出、兩個(gè)格點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為互不全等的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”，并寫出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長．端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長為端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長為（3）如圖1，已知與都是等腰直角三角形，，連接，，，若四邊形是以為等距點(diǎn)的等距四邊形，求的度數(shù)．31．（2022?鄞州區(qū)校級(jí)三模）問題提出：（1）我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做“偏等積三角形”．如圖1，中，，，，為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與是偏等積三角形；問題探究：（2）如圖2，與是偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數(shù)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，求的長度；問題解決：（3）如圖3，四邊形是一片綠色花園，、是等腰直角三角形，．①與是偏等積三角形嗎？請(qǐng)說明理由；②已知，的面積為．如圖4，計(jì)劃修建一條經(jīng)過點(diǎn)的筆直的小路，在邊上，的延長線經(jīng)過中點(diǎn)．若小路每米造價(jià)600元，請(qǐng)計(jì)算修建小路的總造價(jià)．32．（2022?鄞州區(qū)模擬）定義：若一個(gè)四邊形能被其中的一條對(duì)角線分割成兩個(gè)相似三角形，則稱這個(gè)四邊形為“友誼四邊形”，這條對(duì)角線稱為“友誼線”