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文檔簡(jiǎn)介
專(zhuān)題18幾何壓軸題1.(2022?寧波)【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1,在中,,,分別為,,上的點(diǎn),,,交于點(diǎn),求證:.【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2,在(1)的條件下,連結(jié),.若,,,求的值.【拓展提高】(3)如圖3,在中,,與交于點(diǎn),為上一點(diǎn),交于點(diǎn),交于點(diǎn).若,平分,,求的長(zhǎng).2.(2021?寧波)【證明體驗(yàn)】(1)如圖1,為的角平分線(xiàn),,點(diǎn)在上,.求證:平分.【思考探究】(2)如圖2,在(1)的條件下,為上一點(diǎn),連結(jié)交于點(diǎn).若,,,求的長(zhǎng).【拓展延伸】(3)如圖3,在四邊形中,對(duì)角線(xiàn)平分,,點(diǎn)在上,.若,,,求的長(zhǎng).3.(2020?寧波)【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1,在中,為上一點(diǎn),.求證:.【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2,在中,為上一點(diǎn),為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),.若,,求的長(zhǎng).【拓展提高】(3)如圖3,在菱形中,是上一點(diǎn),是內(nèi)一點(diǎn),,,,,,求菱形的邊長(zhǎng).4.(2019?寧波)定義:有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱(chēng)為鄰余四邊形,這兩個(gè)角的夾邊稱(chēng)為鄰余線(xiàn).(1)如圖1,在中,,是的角平分線(xiàn),,分別是,上的點(diǎn).求證:四邊形是鄰余四邊形.(2)如圖2,在的方格紙中,,在格點(diǎn)上,請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形,使是鄰余線(xiàn),,在格點(diǎn)上.(3)如圖3,在(1)的條件下,取中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn).若為的中點(diǎn),,,求鄰余線(xiàn)的長(zhǎng).5.(2018?寧波)若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形.(1)已知是比例三角形,,,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng);(2)如圖1,在四邊形中,,對(duì)角線(xiàn)平分,.求證:是比例三角形.(3)如圖2,在(2)的條件下,當(dāng)時(shí),求的值.6.(2022?鎮(zhèn)海區(qū)一模)【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1,為等腰直角三角形,,求證:.【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2,在(1)的條件下,連結(jié),,求的長(zhǎng).【拓展提高】(3)如圖3,在中,,分別在直角邊,上,,,求.7.(2022?寧波模擬)【證明體驗(yàn)】(1)如圖①,在和中,,,,連接,.求證:;【思考探究】(2)如圖②,在①的條件下,若,,,,求的長(zhǎng);【拓展延伸】(3)如圖③,在四邊形中,,,,,,求的值.8.(2022?北侖區(qū)一模)【根底鞏固】(1)如圖,在中,為上一點(diǎn),.求證:.【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2,在菱形中,,分別為,上的點(diǎn),且,射線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),射線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).若,,.求:①的長(zhǎng);②的長(zhǎng).【拓展進(jìn)步】(3)如圖3,在菱形中,,,以點(diǎn)為圓心作半徑為3的圓,其中點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值.9.(2022?寧波模擬)【證明體驗(yàn)】(1)如圖,中,,是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),連結(jié),為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),連結(jié).求證:.【思考探究】(2)如圖(2),在(1)的條件下,設(shè)交干點(diǎn).若為的中點(diǎn),,,求的長(zhǎng).【拓展延伸】(3)如圖③,在菱形中,對(duì)角線(xiàn),相交于點(diǎn),是邊的中點(diǎn),在上,,連結(jié)交于點(diǎn).是的中點(diǎn),連結(jié)并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn),若,求菱形的周長(zhǎng).10.(2022?寧波一模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的兩條直線(xiàn),給出如下定義:若不平行的兩條直線(xiàn)與軸相交所成的銳角相等,則稱(chēng)這兩條直線(xiàn)為“等腰三角線(xiàn)”.如圖1中,若,則直線(xiàn)與直線(xiàn)稱(chēng)為“等腰三角線(xiàn)”;反之,若直線(xiàn)與直線(xiàn)為“等腰三角線(xiàn)”,則.(1)如圖1,若直線(xiàn)與直線(xiàn)為“等腰三角線(xiàn)”,且點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、,求直線(xiàn)的解析式;(2)如圖2,直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)、,點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、,直線(xiàn)、分別與軸于點(diǎn)、;①求證:直線(xiàn)與直線(xiàn)為“等腰三角線(xiàn)”;②過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn),在直線(xiàn)上存在一點(diǎn),連結(jié),當(dāng)時(shí),求出線(xiàn)段的值(用含的代數(shù)式表示).11.(2022?北侖區(qū)二模)如果兩個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)相等,且它們的夾角互補(bǔ).那么這兩個(gè)三角形叫做互補(bǔ)三角形,如圖1.是的中線(xiàn),則和就是互補(bǔ)三角形.(1)根據(jù)定義判斷下面兩個(gè)命題的真假(填“真”或“假”①互補(bǔ)三角形一定不全等.命題②互補(bǔ)三角形的面積相等.命題(2)如圖2,和為互補(bǔ)三角形,,,是的中線(xiàn).求證:;(3)如圖3,在(2)的條件下,若,,三點(diǎn)共線(xiàn),連結(jié),,四邊形為圓內(nèi)接四邊形,當(dāng)時(shí),求的值.12.(2022?鄞州區(qū)模擬)(1)證明推斷:如圖(1),在正方形中,點(diǎn),分別在邊,上,于點(diǎn),點(diǎn),分別在邊,上,.①求證:;②推斷:的值為;(2)類(lèi)比探究:如圖(2),在矩形中,為常數(shù)).將矩形沿折疊,使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處,得到四邊形,交于點(diǎn),連接交于點(diǎn).試探究與之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)拓展應(yīng)用:在(2)的條件下,連接,當(dāng)時(shí),若,,求的長(zhǎng).13.(2022?海曙區(qū)一模)一個(gè)角的余角的兩倍稱(chēng)為這個(gè)角的倍余角.(1)若,是的倍余角,則的度數(shù)為;若,是的倍余角,則的度數(shù)為;(用的代數(shù)式表示)(2)如圖1,在中,,在上截取,在上截取.求證:是的倍余角;(3)如圖2,在(2)的情況下,作交于點(diǎn),將沿折疊得到,交于點(diǎn),若,設(shè),求的度數(shù).14.(2022?寧波模擬)證明體驗(yàn)(1)如圖1,在中,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在邊上,,,與相交于點(diǎn).求證:.思考探究(2)如圖2,在(1)的條件下,過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn),若,,求的長(zhǎng).拓展延伸(3)如圖3,在四邊形中,對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn),,,,,求的長(zhǎng).15.(2022?海曙區(qū)校級(jí)一模)【證明體驗(yàn)】(1)如圖1,正方形中,,分別是邊和對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn),,.求證:.【思考探究】(2)如圖2,矩形中,,,,分別是邊和對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn),,,求的長(zhǎng).【拓展延伸】(3)如圖3,菱形中,,對(duì)角線(xiàn),交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),,分別是線(xiàn)段和上的點(diǎn),,,求的長(zhǎng).16.(2022?鄞州區(qū)校級(jí)一模)婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家,他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則,二次方程等方面均有建樹(shù),他也研究過(guò)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的圓內(nèi)接四邊形,我們把這類(lèi)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱(chēng)為“婆氏四邊形”.(1)若平行四邊形是“婆氏四邊形”,則四邊形是(填序號(hào));①矩形②菱形③正方形(2)如圖,四邊形內(nèi)接于圓,為圓內(nèi)一點(diǎn),,且,求證:四邊形為“婆氏四邊形”;(3)在(2)的條件下,,且.①當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng)度;②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.17.(2022?江北區(qū)一模)項(xiàng)目化學(xué)習(xí):車(chē)輪的形狀.【問(wèn)題提出】車(chē)輪為什么要做成圓形,這里面有什么數(shù)學(xué)原理?【合作探究】(1)探究組:如圖1,圓形車(chē)輪半徑為,其車(chē)輪軸心到地面的距離始終為.(2)探究組:如圖2,正方形車(chē)輪的軸心為,若正方形的邊長(zhǎng)為,求車(chē)輪軸心最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差.(3)探究組:如圖3,有一個(gè)破損的圓形車(chē)輪,半徑為,破損部分是一個(gè)弓形,其所對(duì)圓心角為,其車(chē)輪軸心為,讓車(chē)輪在地上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周,求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程.探究發(fā)現(xiàn):車(chē)輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車(chē)輪軸心是否穩(wěn)定.【拓展延伸】如圖4,分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),,為圓心,以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑作圓弧,這個(gè)曲線(xiàn)圖形叫做“萊洛三角形”.(4)探究組:使“萊洛三角形”沿水平方向向右滾動(dòng),在滾動(dòng)過(guò)程中,其每時(shí)每刻都有“最高點(diǎn)”,“中心點(diǎn)”也在不斷移動(dòng)位置,那么在“萊洛三角形”滾動(dòng)一周的過(guò)程中,其“最高點(diǎn)”和“中心點(diǎn)”所形成的圖案大致是.延伸發(fā)現(xiàn):“萊洛三角形”在滾動(dòng)時(shí)始終位于一組平行線(xiàn)之間,因此放在其上的物體也能夠保持平衡,但其車(chē)軸中心并不穩(wěn)定.18.(2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬)定義:如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余,那么我們稱(chēng)這個(gè)四邊形為“對(duì)角互余四邊形”.(1)如圖1,在“對(duì)角互余四邊形”中,,,,,,求四邊形的面積.(2)如圖2,在四邊形中,連接,,點(diǎn)是外接圓的圓心,連接,.求證:四邊形是“對(duì)角互余四邊形”;(3)在(2)的條件下,如圖3,已知,,,連接,求的值.(結(jié)果用帶有,的代數(shù)式表示)19.(2022?寧波模擬)新知學(xué)習(xí):若一條線(xiàn)段把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分,我們把這條線(xiàn)段叫做該平面圖形的二分線(xiàn).解決問(wèn)題:(1)①三角形的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)中,一定是三角形的二分線(xiàn)的是;②如圖1,已知中,是邊上的中線(xiàn),點(diǎn),分別在,上,連接,與交于點(diǎn).若,則(填“是”或“不是”的一條二分線(xiàn).(2)如圖2,四邊形中,平行于,點(diǎn)是的中點(diǎn),射線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接.求證:是四邊形的二分線(xiàn).(3)如圖3,在中,,,,,分別是線(xiàn)段,上的點(diǎn),且,是四邊形的一條二分線(xiàn),求的長(zhǎng).20.(2022?寧波模擬)【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖①,在中,于點(diǎn),若,,求的值;【嘗試應(yīng)用】(2)如圖②,點(diǎn)在的邊上,滿(mǎn)足.求證:;【拓展提高】(3)如圖③,已知點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),交于點(diǎn),點(diǎn)在的中垂線(xiàn)上,連結(jié),若,求證:.21.(2022?鄞州區(qū)一模)如圖1,平行四邊形中,,,點(diǎn)是邊上的點(diǎn),連結(jié),以為對(duì)稱(chēng)軸作的軸對(duì)稱(chēng)圖形.(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)正好落在邊上時(shí),判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由;(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)且時(shí),求的長(zhǎng);(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn),,三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),恰有,求的長(zhǎng).22.(2022?慈溪市一模)證明體驗(yàn)(1)如圖1,在和中,點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上,,求證:.(2)如圖2,圖3,,點(diǎn)線(xiàn)段上的點(diǎn),,,連結(jié),為中點(diǎn),將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連結(jié).思考探究①如圖2,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng).拓展延伸②如圖3,點(diǎn)是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且,連結(jié),,求的長(zhǎng).23.(2022?鎮(zhèn)海區(qū)二模)基礎(chǔ)鞏固(1)如圖1,在中,,,點(diǎn)為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),連結(jié),將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段,連結(jié).求證:;嘗試應(yīng)用(2)如圖2,在(1)的條件下,連結(jié),若交于點(diǎn),已知,.求線(xiàn)段的長(zhǎng);拓展提高(3)如圖3,在正方形中,點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn),連結(jié),過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn),交邊于點(diǎn),若,,求的長(zhǎng).24.(2022?余姚市一模)若一個(gè)三角形的兩條邊的和等于第三條邊的兩倍,我們把這個(gè)三角形叫做和諧三角形.(1)已知是和諧三角形,,,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng).(2)在中,,,為邊上一點(diǎn),,連結(jié),若為和諧三角形,求的長(zhǎng).(3)如圖,在等腰中,,為的中點(diǎn),且,為上一點(diǎn),滿(mǎn)足,連結(jié),求證:為和諧三角形.25.(2022?江北區(qū)模擬)定義:若連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上一點(diǎn)的線(xiàn)段將該三角形分割成的兩個(gè)小三角形中,有一個(gè)與原三角形相似,則稱(chēng)該線(xiàn)段為三角形的相似分割線(xiàn);若分割成的兩個(gè)小三角形都與原三角形相似,則稱(chēng)該線(xiàn)段為全相似分割線(xiàn).(1)如圖1,在中,為鈍角,相似分割線(xiàn)是邊上的中線(xiàn),求證:.(2)如圖2,在中,是的全相似分割線(xiàn),求證:;(3)在中,是的全相似分割線(xiàn),將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí),,,三點(diǎn)共線(xiàn),恰好是的相似分割線(xiàn),求值.26.(2022?寧波模擬)如圖,菱形的對(duì)角線(xiàn),相交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),連結(jié),交于點(diǎn).(1)求證:四邊形為平行四邊形;(2)求的值.27.(2022?寧波模擬)定義:若四邊形有一組對(duì)角的差為,則稱(chēng)這個(gè)四邊形為余角四邊形.(1)判斷命題:“有一個(gè)內(nèi)角為的圓內(nèi)接四邊形是余角四邊形”是真命題還是假命題?(2)在網(wǎng)格中,,是如圖①,②所示的格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn)),分別在圖①,圖②中各畫(huà)一個(gè)互不全等的格點(diǎn)四邊形,使它是一個(gè)余角四邊形.(3)如圖③,在中,,,分別是,上的點(diǎn),且.①求證:四邊形為余角四邊形.②若,求的值.28.(2022?寧波模擬)定義:若一動(dòng)點(diǎn)到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離滿(mǎn)足,則稱(chēng)點(diǎn)為線(xiàn)段的點(diǎn),但點(diǎn)不是線(xiàn)段的點(diǎn).(1)如圖1,在中,,,若點(diǎn)是線(xiàn)段的點(diǎn),求的長(zhǎng).(2)如圖2,在中,是邊上一點(diǎn),連結(jié),若點(diǎn)分別是線(xiàn)段,線(xiàn)段的點(diǎn),求證:點(diǎn)是線(xiàn)段的點(diǎn).(3)如圖3,在菱形中,,,點(diǎn),分別是,上的點(diǎn),且滿(mǎn)足,連結(jié).若點(diǎn)是線(xiàn)段的點(diǎn),求的長(zhǎng).29.(2022?寧波模擬)【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖①,在四邊形中,,,求證:;【嘗試應(yīng)用】(2)如圖②,在平行四邊形中,點(diǎn)在上,與互補(bǔ),,,求的長(zhǎng);【拓展提高】(3)如圖③,在菱形中,為其內(nèi)部一點(diǎn),與互補(bǔ),點(diǎn)在上,,且,,,求的長(zhǎng).30.(2018?長(zhǎng)春一模)定義:若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其它三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,則這個(gè)四邊形叫做等距四邊形,這個(gè)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的等距點(diǎn).(1)判斷:一個(gè)內(nèi)角為的菱形等距四邊形.(填“是”或“不是”(2)如圖2,在的網(wǎng)格圖中有、兩點(diǎn),請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出、兩個(gè)格點(diǎn),使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為互不全等的“等距四邊形”,畫(huà)出相應(yīng)的“等距四邊形”,并寫(xiě)出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng).端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為(3)如圖1,已知與都是等腰直角三角形,,連接,,,若四邊形是以為等距點(diǎn)的等距四邊形,求的度數(shù).31.(2022?鄞州區(qū)校級(jí)三模)問(wèn)題提出:(1)我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做“偏等積三角形”.如圖1,中,,,,為上一點(diǎn),當(dāng)時(shí),與是偏等積三角形;問(wèn)題探究:(2)如圖2,與是偏等積三角形,,,且線(xiàn)段的長(zhǎng)度為正整數(shù),過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),求的長(zhǎng)度;問(wèn)題解決:(3)如圖3,四邊形是一片綠色花園,、是等腰直角三角形,.①與是偏等積三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;②已知,的面積為.如圖4,計(jì)劃修建一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)的筆直的小路,在邊上,的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)中點(diǎn).若小路每米造價(jià)600元,請(qǐng)計(jì)算修建小路的總造價(jià).32.(2022?鄞州區(qū)模擬)定義:若一個(gè)四邊形能被其中的一條對(duì)角線(xiàn)分割成兩個(gè)相似三角形,則稱(chēng)這個(gè)四邊形為“友誼四邊形”,這條對(duì)角線(xiàn)稱(chēng)為“友誼線(xiàn)”
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