專題5.1相交線（舉一反三）（華東師大版）（原卷版）

專題5.1相交線【十大題型】【華東師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1對頂角、鄰補(bǔ)角的識別】 1【題型2由對頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求角的度數(shù)】 2【題型3平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系】 3【題型4作垂線】 4【題型5由垂線求角度】 6【題型6過一點有且只有一條直線垂直于已知直線】 7【題型7點到直線的距離】 8【題型8垂線段最短】 9【題型9同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別】 10【題型10確定同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的對數(shù)】 11【知識點1對頂角、鄰補(bǔ)角的概念】一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.有公共頂點和一條公共邊，另一邊互為反向延長線，并且互補(bǔ)的兩個角稱為鄰補(bǔ)角.【題型1對頂角、鄰補(bǔ)角的識別】【例1】（2023下·遼寧盤錦·七年級?？计谀┰谙聢D中，∠1和∠2是對頂角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式11】（2023下·湖北荊門·七年級統(tǒng)考期末）圖中∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角的是（）A． B．C． D．【變式12】（2023下·上?！て吣昙壣虾Ｊ形膩碇袑W(xué)校考期中）9條不重合的直線相交于一點，構(gòu)成的對頂角共有對．【變式13】（2023下·安徽淮北·七年級校聯(lián)考期末）觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）、鄰補(bǔ)角．(1)如圖1，共有___________對對頂角，____________對鄰補(bǔ)角；(2)如圖2，共有___________對對頂角，____________對鄰補(bǔ)角；(3)如圖3，共有___________對對頂角，____________對鄰補(bǔ)角；(4)根據(jù)（1）（3）中直線的條數(shù)與對頂角、鄰補(bǔ)角的對數(shù)之間的關(guān)系，探究：若有n條直線相交于一點，則可形成多少對對頂角？多少對鄰補(bǔ)角？【知識點2對頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)】對頂角相等.鄰補(bǔ)角互補(bǔ).【題型2由對頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例2】（2023下·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OE把∠AOC分成兩部分．

(1)圖中∠AOC=∠______，∠AOE+∠______=180°；(2)若∠AOC=80°，∠AOE=3∠COE，求∠DOE的度數(shù)．【變式21】（2023下·湖南長沙·七年級?？计谀┮阎?與∠2是對頂角，∠1與∠3是鄰補(bǔ)角，則∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【變式22】（2023下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級統(tǒng)考期末）已知直線AB與CD相交于點O．

(1)如圖1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，則∠AOD=_________．(2)如圖2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小【變式23】（2023下·云南曲靖·七年級統(tǒng)考期末）直線AB,CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．(1)①當(dāng)OE、OF在如圖1所示位置時，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度數(shù)；②當(dāng)OE、OF在如圖2所示位置時，若OF平分∠BOE，證明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．【題型3平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系】【例3】（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）l1、l2、l3為同一平面內(nèi)的三條直線，若l1與l2不平行，lA．l1與l3一定不平行 B．l1C．l1與l3一定互相垂直 D．l1【變式31】（2023上·黑龍江佳木斯·七年級?？奸_學(xué)考試）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【變式32】（2023上·七年級單元測試）在下列4個判斷中：①在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條線段一定平行；②在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條直線一定平行；③在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條線段一定相交；④在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條直線一定相交．正確判斷的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式33】（2023下·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線m外一點O的四條直線中，與直線m相交的直線最少有（

）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【知識點3垂線】①兩條直線相交所成的四個角內(nèi)有一個角是90°稱這兩條直線互相垂直.②垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.③它們的交點叫做垂足.④垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短.⑤點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.【題型4作垂線】【例4】（2023下·北京密云·七年級統(tǒng)考期末）下列利用三角板過點P畫直線AB的垂線CD，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式41】（2023上·七年級課時練習(xí)）在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在練習(xí)過點B作線段AC所在直線的垂線段時，有一部分同學(xué)畫出下列四種圖形，正確的是(

)A．B．C．D．【變式42】（2022上·福建泉州·七年級泉州七中?？计谀┰谌鐖D所示的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點都叫做格點，已知點A、B、C都在格點上，按下列要求畫圖：（1）連結(jié)AC，畫射線BC，則三角形ABC的面積是（2）過點C畫直線CD，使CD∥AB；過點C畫AB的垂線CE，垂足為F；（3）線段的長度是點C到AB的距離；（4）直線CD、CE的位置關(guān)系為________【變式43】（2023下·河南許昌·七年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格線的交點叫格點，格點P是∠AOB的邊OB上的一點（請利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點畫圖）．

(1)過點P畫OB的垂線，交OA于點E；過點P畫OA的垂線，垂足為F；(2)線段PF的長度是點P到______的距離，線段______的長度是點E到直線OB的距離，所以線段PE、PF、OE這三條線段大小關(guān)系是______（用“＜”號連接），理由是______．【題型5由垂線求角度】【例5】（2022上·山西晉城·七年級?？计谀┚C合與探究如圖，直線AB與CD相交于點O，過點O作OE⊥AB．(1)如圖1，∠AOD=40°，直接寫出∠EOC的度數(shù)；(2)如圖2，在∠AOE的內(nèi)部作射線OF，且∠DOF=∠BOF，此時，∠BOD=7∠EOF，求∠EOC的度數(shù)；(3)如圖3，在直線AB的下方作∠AOH，且∠AOH<45°，再作OM平分∠AOH，ON平分∠EOH，求∠MON的度數(shù)．【變式51】（2023下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）已知∠AOB和∠COD的兩邊分別互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍少30°，求∠COD的度數(shù)．【變式52】（2023上·湖北黃岡·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF=110°，則∠DOF=．

【變式53】（2023上·江蘇南京·七年級南京市第二十九中學(xué)校考期末）如圖，已知∠AOB畫射線OC⊥OA，射線OD⊥OB，試寫出∠AOB和∠COD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【題型6過一點有且只有一條直線垂直于已知直線】【例6】（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是（

）

A．兩點確定一條直線B．垂線段最短C．同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．垂直于同一直線的兩條直線平行【變式61】（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）對于下列說法，正確的是（）A．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；C．測量孫浩的跳遠(yuǎn)成績，正確做法的依據(jù)是“兩點之間，線段最短”；D．不相交的兩條直線叫做平行線．【變式62】（2023下·河南鄭州·七年級鄭州市第七十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，王師傅為了檢驗門框AB是否垂直于地面，在門框AB的上端A處用細(xì)線懸掛一鉛錘，看門框AB是否與鉛錘線重合．若門框AB垂直于地面，則AB會重合于AE，否則AB與AE不重合．下面哪個數(shù)學(xué)知識可以說明這個道理？（

）

A．經(jīng)過兩點有且只有一條直線B．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短C．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行D．平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【變式63】（2023下·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期末）下列方法中，不能用來檢驗平面與平面垂直的方法是（

）．A．鉛垂線 B．兩把三角尺 C．合頁型折紙 D．長方形紙片【題型7點到直線的距離】【例7】（2023下·陜西西安·七年級西安益新中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，P是∠AOB的邊OB上一點．(1)過P畫OA的垂線，垂足為點H；(2)過點P畫OB的垂線，交OA于點C，點O到直線PC的距離是線段______的長度．【變式71】（2023上·浙江·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，A、B、C是等邊三角形的三個頂點，作直線l，使點A、B、C到直線l的距離之比為2:1:1，則滿足條件的直線l共有（

）A．4條 B．3條C．2條 D．1條【變式72】（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級?？计谥校┤鐖D所示，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點C到AB的垂線段是線段AB；④點A到BC的距離是線段AD的長度；⑤線段AC的長度是點C到AB的距離；⑥線段CD的長度是點D到AC的距離．A．3個 B．4個 C．7個 D．0個【變式73】（2023上·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期末）在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的頂點都叫做格點.已知點A、B、C均在格點上．(1)借助方格紙過點B畫線段AC的平行線BD；(2)借助方格紙過點B畫線段AC的垂線BE，垂足為E；(3)觀察所畫圖形，點A到直線BE的距離是線段的長度；(4)BD與BE的位置關(guān)系是；(5)比較大?。壕€段AB線段BE（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是．【題型8垂線段最短】【例8】（2023下·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）在同一個平面內(nèi)，P是直線l外一點，A,B,C分別是l上三點，已知PA=1,PB=2，PC=3，若點P到l的距離是?，則（

）A．0<?≤1 B．?=1 C．?=2 D．?=3【變式81】（2023下·河北滄州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖是一條河C是河邊AB外一點，M是河邊AB上一碼頭．

(1)若要從C走到碼頭M，請在圖1中作出最短路線示意圖．(2)現(xiàn)欲用水管從河邊AB將水引到C處，請在圖2上作出所需水管最短的鋪設(shè)方案．【變式82】（2023上·河南南陽·七年級?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格，點A、B、C都在格點上，(1)利用網(wǎng)格作圖：①過點C畫直線AB的平行線CD，并標(biāo)出平行線所經(jīng)過的格點D；②過點C畫直線AB的垂線CE，并標(biāo)出垂線所經(jīng)過的格點E，垂足為點F；(2)線段______的長度是點C到直線AB的距離；(3)比較大小：CF______CB（填>、<或=）【變式83】（2023下·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在△ABC中，AC=5,?BC=6,?BC邊上高AD=4，若點P在邊AC【知識點4同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角】兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角.兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角.兩條直線被第三條直線所截兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角.【題型9同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別】【例9】（2016下·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期中）如圖，下列判斷正確的是（）A．∠2與∠5是對頂角 B．∠2與∠4是同位角C．∠3與∠6是同位角 D．∠5與∠3是內(nèi)錯角【變式91】（2023上·河南南陽·七年級?？计谀┤鐖D，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內(nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【變式92】（2023上·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，找出標(biāo)注角中的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角．【變式93】（2023下·七年級課時練習(xí)）如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯角？哪些是同旁內(nèi)角？【題型10確定同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的對數(shù)】【例10】（2023上·河南周口·七年級校考期末）如圖所示，同位角有a對，內(nèi)錯角有b對，同旁內(nèi)角有c對，則a+b?c的值是【變式10