3.2圓的對(duì)稱性（B卷能力拓展）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）

3.2圓的對(duì)稱性學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021—2022黑龍江哈爾濱九年級(jí)開學(xué)考試）下列命題中：①平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；②中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；④能夠互相重合的兩條是弧等?。虎輬A是軸對(duì)稱圖形，直徑是圓的對(duì)稱軸；其中正確的說法有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱，中心對(duì)稱的性質(zhì)，等弧，垂徑定理，軸對(duì)稱等知識(shí)點(diǎn)一一判斷即可．【詳解】解：①平分弦的直徑不一定垂直于弦，不一定平分弦所對(duì)的兩條弧，故原說法錯(cuò)誤；②中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形，故原說法正確；③同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等，故原說法錯(cuò)誤；④能夠互相重合的兩條弧是等弧，故原說法正確；⑤圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸，故原說法錯(cuò)誤；綜上所述，正確的說法有2個(gè)；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，熟練掌握相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，連接CO，AD，∠BAD＝25°，下列結(jié)論中正確的有（）①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OEA．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及直角三角形邊的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，∴CE=DE，，，∴∠BOC=2∠A=40°，，即，故③正確；∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，∴∠C=50°，故②正確；∵∠C≠∠BOC，∴CE≠OE，故①錯(cuò)誤；作OP∥CD，交AD于P，∵AB⊥CD，∴AE＜AD，∠AOP=90°，∴OA＜PA，OE＜PD，∴PA+PD＞OA+OE∵OE＜OA，∴AD＞2OE，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021—2022北京人大附中九年級(jí)期中）如圖，AB是半圓O的直徑，小宇按以下步驟作圖：（1）分別以A、B為圓心，大于AO長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于P點(diǎn)，連接OP與半圓交于C點(diǎn)；（2）分別以A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于Q點(diǎn)，連接OQ與半圓交于D點(diǎn)；（3）連接AD、BD、BC，BD與OC交于E點(diǎn)．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下輪結(jié)論：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)作圖可知①正確，再根據(jù)圓周角定理和垂直平分線的性質(zhì)得到②正確，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明判斷即可；【詳解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴BD平分∠ABC，故①正確；連接DC，AC，∵OD垂直平分AC，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴BC∥OD，故②正確；∴，，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴CE＝OE，故③正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2021·湖北鄂州·中考真題）如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的面積是（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，又長(zhǎng)度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以中點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧，所以當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的長(zhǎng)，并得到點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，由線段長(zhǎng)度即可得到是等邊三角形，利用特殊三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：取中點(diǎn)O，并以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓由題意知：當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)在中，是等邊三角形在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考察動(dòng)點(diǎn)的線段最值問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問題，屬于動(dòng)態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即隱形圓．二、填空題5．（2021—2022貴州九年級(jí)期中）如圖，在⊙O中，=，則下列結(jié)論中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正確的是______填序號(hào)．【答案】①②③④【分析】利用同圓或等圓中弧，弦以及所對(duì)的圓心角之間的關(guān)系逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：∵在⊙O中，=，∴AB=CD，故①正確；∵BC為公共弧，∴=，故④正確；∴AC=BD，故②正確；∴∠AOC=∠BOD，故③正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了弧，弦、圓心角之間的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等以及推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．6．（2021—2022北京九年級(jí)月考）如圖所示，在⊙O中，C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列結(jié)論：①，②，③四邊形MCDN是正方形，④MN＝AB，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②④【分析】連接OM、ON，如圖，利用OC＝OD＝OM＝ON，則∠OMC＝∠OND＝30°，則利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判斷；通過證明MN＝OM和四邊形CDNM為矩形可對(duì)①③④矩形判斷．【詳解】解：連接OM、ON，如圖，∵M(jìn)C⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN＝90°，∵C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)，OA＝OB，∴OC＝OD＝OM＝ON，∴∠OMC＝∠OND＝30°，∴∠COM＝∠DON＝60°，∴∠MON＝60°，∴，所以②正確；∴△OMN為等邊三角形，∴MN＝CD，∠OMN＝60°∴MN∥CD，∴四邊形CDNM為矩形，∴MC＝ND，所以①正確；③錯(cuò)誤；∵M(jìn)N＝CD＝OA+OB＝AB，∴④正確．故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．7．如圖，正方形ABCD中，AB=5cm，以B為圓心，2cm長(zhǎng)為半徑畫⊙B，點(diǎn)P在⊙B上移動(dòng)，連接AP，并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP′，連接BP′．在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，BP′長(zhǎng)度的最小值為_______cm．【答案】【分析】連接BP、DP′、BD，根據(jù)題意易得點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2cm長(zhǎng)為半徑的圓，進(jìn)而可知當(dāng)點(diǎn)B、D、P′三點(diǎn)共線時(shí)，BP′長(zhǎng)度的為最小，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接BP、DP′、BD，如圖所示：四邊形ABCD是正方形，AB=5cm，AB=AD=5cm，∠DAB=90°，，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP′，AP=AP′，∠P′AP=90°，∠DAP為∠P′AP與∠DAB的公共角，∠P′AD=∠PAB，△P′AD≌△PAB，PB=2cm，DP′=2cm，點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2cm長(zhǎng)為半徑的圓，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)B、D、P′三點(diǎn)共線時(shí)，BP′長(zhǎng)度的為最小，；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后利用圓的最短路徑問題求解即可．三、解答題8．（2021—2022浙江杭州市九年級(jí)期中）已知，如圖，⊙O中兩條弦AB、CD相交于點(diǎn)E，且AB＝CD．（1）求證：＝；（2）若∠AEC＝100°，求∠A的度數(shù)；（3）過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，若AE＝2BE，求證：EG＝GD．【答案】（1）見解析；（2）50°；（3）見解析【分析】（1）圓心角、弧、弦的關(guān)系即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）根據(jù)三角形的外角定義即可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合（1）根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB=CD，∴，∴，即；（2）∵，∴∠D=∠A，∵∠AEC＝100°，∴；（3）如圖，∵∠D=∠A，∴AE=DE，∵AE＝2BE，∴DE=2BE，∵BH⊥AD，∴∠AHB=90°，∴∠A+∠ABH=90°，∠D+∠DGH=90°，∵∠D=∠A，∴∠ABH=∠DGH，∵∠DGH=∠BGE，∴∠ABH=∠BGE，∴BE=EG，∴DE=2EG，∵DE=EG+GD，∴EG=GD．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是綜合掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系．9．（2020—2021浙江九年級(jí)期末）已知，如圖，O中兩條弦AB，CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD（1）求證：=；（2）若=，求的度數(shù).（3）過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，若AE=2BE，求證：EG=GD【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)相等圓周角對(duì)應(yīng)的弦相等，對(duì)應(yīng)的弧也相等的性質(zhì)分析，即可完成證明；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)圓周角的性質(zhì)分析，得；再根據(jù)同弧所對(duì)圓周角是圓心角一半的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（3）過E作EM⊥AD于M點(diǎn)，通過證明，得；再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，證得MH=HD；再結(jié)合相似三角形性質(zhì)，通過證明，即可完成證明．【詳解】（1）∵AB=CD∴=∴，即；（2）由（1）可知∴∵=∴=；（3）如圖，過E作EM⊥AD于M點(diǎn)，∵BH⊥AD∴∴∴∴∴∵AE=2BE∴∵∴為等腰三角形∴M為AD中點(diǎn)，即∴∴MH=HD∵∴∴∴∴，即EG=GD．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、相似三角形、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角、圓心角、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．10．（2020—2021福建廈門一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，DF；過點(diǎn)B作AD的平行線BC交AF于點(diǎn)C，連接DC并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G．（1）如圖1，若AE＝EC，求證：四邊形ABCD為平行四邊形；（2）如圖2，若AE＝1，EC＝2，BE＝3，，求GD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）5.5【分析】（1）先利用平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定證明△ADE≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝BC，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明；（2）利用圓周角定理和平行線性質(zhì)得∠BFE＝∠CBE，再利用相似三角形的判定證明△CEB∽△BEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF，求出AF，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到DG＝AF．【詳解】（1）證明：∵BC∥AD，∴∠ADE＝∠CBE，在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE，∴AD＝BC，又BC∥AD，∴四邊形ABCD為平行四