專題03解直角三角形及其應(yīng)用（7大題型）（原卷版）2

專題03解直角三角形及其應(yīng)用（7大題型）【題型目錄】題型一解直角三角形的相關(guān)計(jì)算題型二解非直角三角形題型三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積題型四仰角俯角問題題型五方位角問題題型六坡度坡比問題題型七解直角三角形的其他應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac，cos（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）知識(shí)點(diǎn)2：解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；知識(shí)點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．知識(shí)點(diǎn)4：解直角三角形的應(yīng)用—:坡度、坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．知識(shí)點(diǎn)5:解直角三角形的綜合應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實(shí)際問題中的很多有關(guān)測(cè)量問．如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案．【經(jīng)典例題一解直角三角形的相關(guān)計(jì)算】1．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)E在邊上自A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在邊上自C向B運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，連接交于點(diǎn)P，連接，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（21·22下·武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)C為半徑上的一點(diǎn)，過C作交弧于點(diǎn)D，交于E，若，則的值為（

）

A．1 B． C． D．3．（21·22下·武漢·一模）如圖，已知D為等腰的腰上一點(diǎn)，繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，M為的中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，．

4．（21·22下·蕪湖·自主招生）如圖所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在，，上，則．

5．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市南山區(qū)荔香學(xué)校?？计谥校┪覀兌x：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對(duì)（），如圖①，在中，，頂角A的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：

(1)________．(2)對(duì)于，的正對(duì)值的取值范圍是________．(3)如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．【經(jīng)典例題二解非直角三角形】1．（2020·哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，若千米，則點(diǎn)兩點(diǎn)的距離為（）千米．A．4 B． C．2 D．62．（2019上·成都·期末）如圖，在等腰中，于點(diǎn)，則的值（

）

A． B． C． D．3．（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）在中，若，，，則．4．（22·23下·長(zhǎng)寧·二模）如圖，將平行四邊形沿著對(duì)角線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，交于點(diǎn)，如果，，且，那么平行四邊形的周長(zhǎng)為．（參考數(shù)據(jù)：）5．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，【經(jīng)典例題三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積】1．（22·23下·益陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．（2022下·哈爾濱·開學(xué)考試）如圖，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一點(diǎn)，將沿直線AM對(duì)折得到，若AN平分，則CN的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．33．（22·23下·專題練習(xí)）如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為，的面積為．4．（22·23上·西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，連接、，，，，則的值為．5．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）四邊形中，，，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)（不與C重合），點(diǎn)F在上運(yùn)動(dòng)，且．

(1)若，判斷與的數(shù)量關(guān)系；(2)若，你在（1）中得到的結(jié)論是否會(huì)發(fā)生變化？寫出猜想并給出證明；(3)若，，為銳角，設(shè)，當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求t的取值范圍．【經(jīng)典例題四仰角俯角問題】1．（22·23下·日照·階段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，在處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（22·23·一模）安裝了軟件“”的智能可以測(cè)量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過測(cè)量離地面的高度，物體底端的俯角和頂端的仰角即可得出物體高度．如圖，小明測(cè)得大樹底端點(diǎn)俯角，頂端點(diǎn)的仰角，點(diǎn)離地面的高度米，則大樹的為（

）

A．米 B．米C．米 D．米3．（21·22下·武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一飛機(jī)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，測(cè)得觀禮臺(tái)C在飛機(jī)前下方，俯角為，此時(shí)飛行路線改為沿仰角為方向的直線飛行，飛機(jī)飛行了6千米到B處時(shí)，居民區(qū)D恰好在飛機(jī)的正下方，現(xiàn)在的飛行高度為5千米，則觀禮臺(tái)C和居民區(qū)D的距離是千米．（，，，，結(jié)果精確到0.1）4．（21·22下·武漢·階段練習(xí)）如圖，在一場(chǎng)馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測(cè)得起點(diǎn)拱門的頂部C的俯角為，底部D的俯角為，如果A處離地面的高度米，則起點(diǎn)拱門的高度為．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）

5．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在襄陽(yáng)市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)處，探測(cè)器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【經(jīng)典例題五方位角問題】1．（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測(cè)得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里2．（22·23下·廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在鐵路建設(shè)中，需要確定隧道兩洞口A和B的距離．點(diǎn)D，點(diǎn)E分別位于測(cè)繪點(diǎn)C的正北和正西方向．已知測(cè)得兩定位點(diǎn)E和D與隧道口A和B的距離分別為和，測(cè)繪點(diǎn)H，G分別為，的中點(diǎn)，測(cè)繪方在測(cè)繪點(diǎn)H測(cè)得點(diǎn)G在點(diǎn)H的南偏西的方向上，且，則隧道的長(zhǎng)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．1600m B．1300m C．980m D．900m3．（23·24上·泰安·期中）如圖，輪船從處以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東方向勻速航行，在處觀測(cè)燈塔位于南偏東方向上，輪船航行40分鐘到達(dá)處，在處觀測(cè)燈塔位于北偏東方向上，則處與燈塔的距離是．

4．（22·23下·清遠(yuǎn)·三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時(shí)，B處與燈塔P的距離為．

5．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？计谀┤鐖D，某漁船向正東方向以10海里/時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得島C在北偏東方向上，1小時(shí)后漁船航行到B處，測(cè)得島C在北偏東方向上，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．

(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)（參考數(shù)據(jù)：、、）【經(jīng)典例題六坡度坡比問題】1．（22·23下·廣州·一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時(shí)升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．2．（22·23下·太原·一模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測(cè)量建筑物的高度，如圖，建筑物前有一段坡度為的斜坡，用測(cè)角儀測(cè)得建筑物屋頂?shù)难鼋菫椋又∶饔窒蛳伦吡嗣祝瑒偤玫竭_(dá)坡底處，這時(shí)測(cè)到建筑物屋頂?shù)难鼋菫?，在同一平面?nèi)，若測(cè)角儀的高度米，則建筑物的高度約為（）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）

A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米3．（21·22下·江門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在距某居民樓樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離m，在坡頂D點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）

4．（22·23下·南充·階段練習(xí)）有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問題：若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm，則高圓柱的高度為多少cm

5．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某種電纜在空中架設(shè)時(shí)，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀，現(xiàn)按操作要求，電纜最低點(diǎn)離水平地面不得小于6米．

(1)如圖1，若水平距離間隔80米建造一個(gè)電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有多少米的高度？(2)如圖2，若在一個(gè)坡度為的斜坡上，按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱．求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為多少米？【經(jīng)典例題七解直角三角形的其他應(yīng)用】1．（2022春·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無(wú)法計(jì)算2．（2022秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谥校橥瓿伞熬C合與實(shí)踐”作業(yè)任務(wù)，小明和小華利用周末一起去郊外放風(fēng)箏，小明負(fù)責(zé)放風(fēng)箏，小華負(fù)責(zé)測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖，當(dāng)小明把風(fēng)箏放飛到空中到點(diǎn)P處時(shí)，小華分別在地面測(cè)得，，米，則風(fēng)箏的高度的長(zhǎng)為（

）米（點(diǎn)C在點(diǎn)P的正下方，A、B、C在地面的同一條直線上）（結(jié)果保留根號(hào)）

A． B． C． D．3．（2022·湖北武漢·校考三模）有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來(lái)調(diào)整晾衣竿的高度圖2是支撐桿的平面示意圖，和分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，夾角．若，，問：當(dāng)時(shí)，較長(zhǎng)支撐桿的端點(diǎn)A離地面的高度h約為．（參考數(shù)據(jù)：，）．

4．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某景區(qū)由游客中心A處通往百米觀景長(zhǎng)廊有兩條棧道，且，現(xiàn)需要從游客中心A到觀景長(zhǎng)廊加修一條棧道，則的最短長(zhǎng)度為米．（結(jié)果精確到0.1，，）5．（2022春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項(xiàng)目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標(biāo)志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動(dòng)支承，屬塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁．全長(zhǎng)．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設(shè)你站在橋上測(cè)得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請(qǐng)求出索塔高的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米，）

【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（21·22下·哈爾濱·二模）如圖，是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．32．（23·24上·襄陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，則的半徑為（）

A． B．4 C． D．3．（23·24上·杭州·階段練習(xí)）如圖，矩形中，，對(duì)折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕是，連接，若，則點(diǎn)的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．4．（22·23·丹東·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，若，則矩形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．5．（21·22下·泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，將沿著方向平移的長(zhǎng)度得到，連接，則的值為（

）

A． B． C． D．6．（23·24上·楊浦·期中）如圖，已知在中，點(diǎn)在邊上，，，那么的值是．7．（23·24上·泰安·階段練習(xí)）如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向，則兩港之間的距離為．

8．（23·24上·浦東新·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上．將沿著所在的直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊的延長(zhǎng)線上．如果平分，那么的長(zhǎng)度為．9．（21·22下·黃石·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某辦公樓的后面有一建筑物，當(dāng)光線與地面的夾角是時(shí)，辦公樓在建筑物的墻上留下高2米的影子，而當(dāng)光線與地面夾角是時(shí)，辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有25米的距離（，F(xiàn)，C在一條直線上）．則辦公樓的高度為．（參考數(shù)據(jù)：，，）10．（21·22下·綏化·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，．點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若點(diǎn)F是對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值是．11．（2