數學同步練習：函數與方程第二小節(jié)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。4.2求函數零點近似解的一種計算方法——二分法1．用二分法研究函數f(x)＝x2＋3x－1的零點時,第一次經計算f（0)〈0,f(0.5)>0，可得其中一個零點x0∈________，第二次計算________．以上橫線應填的內容分別是()A．（0,0.5）f(0.25）B．(0，1）f(0.25）C．(0.5,1)f（0.75)D．(0,0。5）f(0.125)2．用“二分法"可求近似解，對于精確度ε說法正確的是(）A．ε越大，零點的精確度越高B．ε越大，零點的精確度越低C．重復計算次數就是εD．重復計算計數與ε無關3．函數f(x）＝x3－2x2＋3x－6在區(qū)間[－2，4］上的零點必在________內．（）A．［－2,1］B．[eq\f（5，2)，4]C．[1，eq\f(7,4)］D．［eq\f(7，4），eq\f(5，2）］4．在用二分法求方程f（x）＝0在[0，1］上的近似解時，經過計算f（0。625）〈0，f(0.75)>0，f（0.6875)<0，即可得出方程精確到0.1的一個近似解為________．5．下面是連續(xù)函數f（x）在[1，2］上一些點的函數值：x11.251.3751。40651.4381。51.6251。751.8752f(x）－2－0.984－0.260－0.0520。1650。6251。9822.6454。356由此可判斷：方程f(x)＝0的一個近似解為________．（精確到0.1)1．右下圖是函數f(x)的圖象，它與x軸有4個不同的公共點．給出下列四個區(qū)間中,存在不能用二分法求出的零點,則該零點所在的區(qū)間是（)A．[-2.1,-1]B．［1。9,2.3］C．［4。1,5]D．［5,6。1］2．函數y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，則函數的零點個數為（)A．1B．2C．0D．無法確定3．已知連續(xù)函數y＝f（x)，有f（a）·f（b）〈0(a<b)，則y＝f（x）(）A．在區(qū)間［a，b]上可能沒有零點B．在區(qū)間［a，b］上至少有一個零點C．在區(qū)間[a,b]上零點的個數為奇數D．在區(qū)間[a，b]上零點的個數為偶數4．已知f（x)的一個零點x0∈(2,3），用二分法求精確度為0。01的x0的近似值時,判斷各區(qū)間中點的函數值的符號最多需要的次數為()A．6B．7C．8D．95．若函數y＝f(x）在區(qū)間（－2，2）上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且在（－2，2)上有且僅有一個零點，則f（－1）·f(1)的值(）A．大于0B．小于0C．等于0D．可正可負也可為零6．在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10km長的線路，問如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找,困難很多，每查一個點要爬一次電線桿子,10km長，大約有200多根電線桿子呢！想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理?7．用二分法求函數f(x）＝x3－3的一個正零點．(精確到0。01)1．若函數f(x)唯一的一個零點在區(qū)間(0,24），(0,12)，(0，6),（0,3）內,則下列命題正確的是（）A．函數f（x）在區(qū)間(0,2)內有零點B．函數f(x)在區(qū)間(0,2)或(2，3）內有零點C．函數f（x）在區(qū)間（3，24）內無零點D．函數f（x)在區(qū)間(2，24）內無零點2．若方程2ax2－x－1＝0在（0，1)內恰有一解，則a的取值范圍是(）A．a<－1B．a>1C．－1<a〈1D．0≤a<13．若函數f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下:f(1）＝－2f(1.5)＝0.625f（1.25)＝－0。984f（1。375)＝－0。260f（1.4375)＝0.162f（1。40625）＝－0。054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根（精確到0。1)為()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.54．已知y＝x（x－1)（x＋1)的圖象如圖所示，今考慮f(x)＝x(x－1）(x＋1)＋0。01，則函數f(x）：①當x<－1時，恰有一零點(有一零點且僅有一零點）；②當－1<x〈0時,恰有一零點;③當0<x<1時，恰有一零點;④當x>1時,恰有一零點．其中正確命題的個數為（）A．0B．1C．2D．45．對于函數f(x）＝x3＋x＋m，若滿足f（a)<0，f（b）>0，則函數f(x)在區(qū)間(a，b)內至多有__________個零點．6．若一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有一個正根和一個負根，則a的取值范圍是__________．7．某方程有一無理根在區(qū)間D內，若用二分法求此根的近似值,那么：(1）區(qū)間D＝(1,3）時，將D等分n次后，所得近似解可精確到多少?（2)一般情況，是否有必要盡可能多地將區(qū)間D等分？8．作出函數y＝x3與y＝3x－1的圖象，并寫出方程x3＝3x－1的近似解．(精確到0。1）9．已知f(x)＝x5＋x－3在區(qū)間［1，2］內有零點，自己設計精確度求方程x5＋x－3＝0在區(qū)間［1,2]內的一個近似解．答案與解析1．A∵f（0)<0，f(0.5）>0，∴函數f(x）的一個零點x0∈(0，0。5），第二次計算f(eq\f(0＋0.5,2))＝f（0。25）．2．B依“二分法"的具體步驟可知，ε越大，零點的精確度越低．3．D由于f(－2）<0，f(4）>0，f（eq\f(－2＋4,2))＝f（1)<0，f(eq\f(1＋4,2))＝f(eq\f(5，2）)〉0，f（eq\f（1＋\f（5,2),2))〈0，∴零點介于[eq\f(7，4)，eq\f(5,2)］之間．4．0。7∵f(0.6875)·f(0。75)<0，∴函數的零點在區(qū)間(0.6875,0.75)上,由精確度可知近似解為0。7.5．1.4由題中表中對應的數值可得函數零點必在區(qū)間(1.4065，1。438）上，由精確度可知近似解為1.4。課堂鞏固1．B由不變號零點的特征易判斷得該零點在[1。9,2.3］內．2．B∵ac<0，∴a≠0,且b2－4ac>0，故二次函數與x軸有兩個交點,即函數有兩個零點．3．B∵f（a）·f（b)<0，∴由函數零點的性質判斷得f（x）在[a，b］上至少存在一個零點．4．B函數f（x)的零點所在區(qū)間的長度為1，用二分法經過7次分割后區(qū)間的長度為eq\f(1，27)〈0.01.5．D設x0為函數在區(qū)間（－2，2)上的零點,若x0?(－1,1),則f（－1)·f（1）>0；若x0∈(－1，1)，則f（－1)·f（1)<0;若x0＝－1或x0＝1,則f（－1）·f(1)＝0。6．解：可以利用二分法的原理進行查找．如圖所示,他首先從中點C查，用隨身帶的話機向兩端測試時，發(fā)現AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次發(fā)現BD段正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來查．這樣每查一次,就可以把待查的線路長度縮減一半，故經過7次查找，即可將故障發(fā)生的范圍縮小到50m～100m之間,即一兩根電線桿附近．7．解：由于f（1)＝－2〈0，f（2)＝5>0,因此可取區(qū)間［1,2］作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算如下表:端點或中點橫坐標計算中點函數值定區(qū)間a0＝1，b0＝2f(1）〈0，f（2）〉0［1,2］x0＝1。5f（x0)>0[1,1.5］x1＝1。25f(x1）〈0[1。25，1.5]x2＝1.375f(x2)<0[1。375，1。5］x3＝1.4375f（x3）〈0[1.4375,1。5]x4＝1.46875f（x4)>0［1。4375，1.46875］x5＝1.453125f（x5)>0［1。4375，1。453125]x6＝1。4453125f(x6）〉0[1。4375,1.4453125]x7＝1.44140625f（x7)<0[1。44140625，1。4453125］x8＝1。443359375f（x8）〉0［1.44140625，1.443359375]因為區(qū)間［1。44140625,1.443359375]的左、右端點精確到0。01后的近似值都是1.44，所以1.44就是所求函數一個精確到0.001的正零點的近似值．點評：此類問題的求解，首先是大致區(qū)間的確定，要使區(qū)間長度盡量小,否則會增加運算次數和運算量，雖然此類題要求用計算器運算,但也應注意運算的準確性，另外在計算第n步時，區(qū)間［an,bn］的兩端點近似值相等時，則該近似值就是所求零點的近似解．課后檢測1．C由題意可得f(x）有唯一的零點在（0,3）內，∴f(x)在區(qū)間（3，24）內無零點．2．B令f（x）＝2ax2－x－1，a＝0時顯然不適合，a≠0時，則有f（0）·f（1）＝－1×（2a－2）<0,∴a〉1。3．C由零點的定義及精確到0.1知近似根為1。4。4．B函數f（x)的圖象是由y＝x(x－1）（x＋1)的圖象向上平移0。01個單位得到的，易知f(x）：當x<－1時有一個零點；當－1〈x〈0時無零點；當0〈x<1時有兩個零點；當x>1時無零點．5．1易知該函數在（－∞，＋∞)上是增函數，又f（a)<0，f(b)>0，故該函數在（a，b)內有且只有一個零點．6．（－∞，0)由題意知,兩根之積x1·x2＝eq\f(1,a)<0，∴a〈0.點評：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩正根的條件是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b2－4ac≥0，，－\f（b,a)〉0，,\f(c，a）〉0,))有兩負根的條件為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b2－4ac≥0，,－\f（b,a)〈0,，\f（c,a）〉0，))有一正一負兩根的條件為eq\f（c,a)〈0，即ac<0，此時不必討論判別式，∵b2－4ac>0恒成立．7．解:（1)設無理根為x0，將D等分n次后的長度為dn。包含x0的區(qū)間為(a，b)，于是d1＝1，d2＝eq\f（1,2),d3＝eq\f(1，22),d4＝eq\f（1,23），…,dn＝eq\f（1，2n－1).所以|x0－a|≤dn＝eq\f(1，2n－1)，即近似值可精確到eq\f(1，2n－1)。（2)由于eq\f（1，2n－1）隨n的增大而不斷地趨向于0，故對于事先給定的精確度ε，總有自然數n,使得eq\f（1,2n－1)≤ε.所以，只需將區(qū)間D等分n次就可以達到事先給定的精確度ε。所以，一般情況下，不需盡可能多地將區(qū)間D等分．8．解:由圖象可以知道，方程x3＝3x－1的解在區(qū)間（－2，－1），(0，1）和(1，2）上，那么,對于區(qū)間(－2,－1)，（0,1）和（1，2)分別利用二分法就可以求得它精確到0。1的近似解為x1≈－1.8，x2≈0。4,x3≈1。5。9．解：設f(x）＝x5＋x－3，取[1,2]作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算列表如下：端點（中點)坐標計算中點函數值取值區(qū)間f（1)＝－1〈0f(2)＝32＋2－3＝31〉0[1，2]x1＝eq\f（1＋2,2)＝1。5f（x1）＝6．09375>0[1，1。5］x2＝eq\f（1＋1.5,2）＝1。25f（x2）＝1．301757〉0［1，1.25]x3＝eq\f（1＋1。25，2）＝1。125f（x3）＝－0。072968〈0[1.125，1。25]x4＝eq\f（1.125＋1.25，2）＝1.1875f(x4)＝0．548892>0[1。125，1。1875]x5＝eq\f（1。1