正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGEPAGE4《正態(tài)分布（第1課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)內(nèi)容解析】正態(tài)分布是選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布的最后一節(jié)，本節(jié)課內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量及其分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，正態(tài)分布的隨機(jī)變量是一種連續(xù)型隨機(jī)變量，這讓學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量由離散到連續(xù)有一個(gè)深入的認(rèn)識(shí).正態(tài)分布是高中學(xué)習(xí)內(nèi)容中唯一一種連續(xù)型分布，它反映了連續(xù)型隨機(jī)變量的分布規(guī)律，連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為，所以我們感興趣的是它落在某個(gè)區(qū)間的概率.離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布密度函數(shù)（曲線）描述，本節(jié)課是對(duì)本章知識(shí)體系的一個(gè)完善，也是必修3統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)的一種拓展.同時(shí)本節(jié)課內(nèi)容反映了數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異.【教學(xué)目標(biāo)設(shè)置】課程目標(biāo)是通過(guò)具體實(shí)例，認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.在課程目標(biāo)的指導(dǎo)下，根據(jù)前面的分析，確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)：（一）通過(guò)數(shù)學(xué)試驗(yàn)、觀察和理性分析，歸納小球分布的規(guī)律，感知引入正態(tài)曲線、正態(tài)分布的意義；借助圖象認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；（二）通過(guò)經(jīng)歷正態(tài)分布概念的形成過(guò)程，體驗(yàn)從具體到抽象研究問(wèn)題的方法，嘗試用數(shù)據(jù)和圖形理性分析問(wèn)題、用規(guī)律推斷解決問(wèn)題的過(guò)程；（三）通過(guò)數(shù)學(xué)史介紹正態(tài)分布密度函數(shù)，感受數(shù)學(xué)文化；通過(guò)數(shù)據(jù)的分析，能對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷.教學(xué)重點(diǎn)：正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)及其所表示的意義.教學(xué)難點(diǎn)：正態(tài)分布密度曲線所表示的意義

一、情境引入——高爾頓板試驗(yàn)學(xué)生沒(méi)有接觸過(guò)正態(tài)曲線，對(duì)正態(tài)曲線的來(lái)源也沒(méi)有認(rèn)識(shí)，因此，教師向?qū)W生出示高爾頓板模型引入本節(jié)課，并提出問(wèn)題.問(wèn)題1：同學(xué)們是否見(jiàn)過(guò)此模型？在哪見(jiàn)過(guò)？預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生不僅見(jiàn)過(guò)還在通用技術(shù)課上自己制作過(guò)高爾頓板，并知道高爾頓板試驗(yàn)是讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過(guò)程中與層層障礙物碰撞，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).活動(dòng)1：高爾頓板試驗(yàn)為了觀察到小球的運(yùn)動(dòng)，得到小球的分布規(guī)律，我把全班分成6個(gè)小組，以小組為單位進(jìn)行高爾頓板試驗(yàn)，思考下面問(wèn)題.問(wèn)題2：試驗(yàn)過(guò)程中，小球碰撞和落入的位置，隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，球槽中小球堆積的高度及形狀特點(diǎn).學(xué)生以小組為單位邊試驗(yàn)邊觀察，并思考教師提出的問(wèn)題，教師以小組選派代表的方式總結(jié)小組的試驗(yàn)觀察結(jié)果.預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生能夠觀察到小球從高爾頓板上方下落的過(guò)程中，小球經(jīng)過(guò)每一層都要和其中的一個(gè)障礙物發(fā)生碰撞，碰撞有兩種可能，從左落下或從右落下，最后落入底部的球槽，小球落入哪個(gè)球槽是隨機(jī)的；隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，掉入各個(gè)球槽內(nèi)的小球的個(gè)數(shù)就會(huì)越來(lái)越多，球槽中小球堆積的高度也會(huì)越來(lái)越高；隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，小球堆積的形狀具有中間高兩邊低的特點(diǎn)，如果有學(xué)生觀察出左右對(duì)稱的特點(diǎn)，教師應(yīng)給與鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)【設(shè)計(jì)意圖】采用高爾頓板試驗(yàn)的方法引入，一方面可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的興趣，另一方面使學(xué)生對(duì)正態(tài)曲線的來(lái)源有一個(gè)直觀的印象.二、建立概念——鐘形曲線——正態(tài)曲線——正態(tài)分布（一）鐘形曲線感性認(rèn)識(shí)要上升到理性認(rèn)識(shí)，為方便研究問(wèn)題，我們從左到右給球槽編號(hào)，小球落入哪個(gè)球槽是不是有一定規(guī)律可遵循.問(wèn)題3：如何用我們所學(xué)的知識(shí)研究落在各個(gè)球槽內(nèi)的小球的分布情況？預(yù)案1：用表示球槽編號(hào)，則是一個(gè)隨機(jī)變量，每投放一個(gè)小球就可以看做1個(gè)試驗(yàn)，重復(fù)投放個(gè)小球，相當(dāng)于做了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，某一槽中球的個(gè)數(shù)就是小球落在這個(gè)槽中的頻數(shù)，可以在大量重復(fù)的試驗(yàn)下，用頻率估計(jì)概率，列出球槽編號(hào)的分布列；預(yù)案2：以球槽的編號(hào)為橫坐標(biāo)，可以畫出小球分布的頻率分布直方圖.學(xué)生討論比較2種預(yù)案，哪種預(yù)案好？預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言，其分布列完全刻畫了它的概率分布規(guī)律，但只能通過(guò)頻率來(lái)近似，現(xiàn)在無(wú)法知道所構(gòu)造的隨機(jī)變量的分布列.而頻率分布直方圖更加準(zhǔn)確直觀形象，所以經(jīng)過(guò)學(xué)生討論用頻率分布直方圖進(jìn)一步探究小球的分布規(guī)律.【設(shè)計(jì)意圖】借助頻率分布直方圖更加準(zhǔn)確直觀形象的研究小球的分布規(guī)律，為正態(tài)曲線的得出做鋪墊.活動(dòng)2：畫頻率分布直方圖由于課堂時(shí)間所限，讓學(xué)生在課前進(jìn)行試驗(yàn)，并記錄落入各個(gè)球槽內(nèi)小球的頻數(shù)，利用圖形計(jì)算器畫頻率分布畫直方圖，課上請(qǐng)1個(gè)小組的同學(xué)展示在課前畫的頻率分布直方圖.教師出示課前收集到的其他小組畫出的頻率分布直方圖，并思考下面問(wèn)題.問(wèn)題4：觀察頻率分布直方圖有何共同特點(diǎn)？預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生可發(fā)現(xiàn)頻率分布直方圖具有中間高兩邊低（左右兩邊對(duì)稱）的特點(diǎn)，并且頻率分布直方圖的外形與試驗(yàn)中小球的堆積形狀是一樣的.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納頻率分布直方圖的共同特點(diǎn)，有利于學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、歸納概括能力的初步鍛煉，進(jìn)一步加深正態(tài)曲線的印象.活動(dòng)3：畫頻率分布折線圖問(wèn)題5：是不是只有小球的分布具有中間高兩邊低的特點(diǎn)？預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用在必修3統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，收集過(guò)的身高、體重、成績(jī)等數(shù)據(jù)，借助圖形計(jì)算器，可以畫出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)都具有中間高兩邊低的特點(diǎn).既然這么多數(shù)據(jù)都具有中間高兩邊低的特點(diǎn)，我們有必要進(jìn)一步研究它們的分布規(guī)律，教師引導(dǎo)學(xué)生畫數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖，并思考下面問(wèn)題.問(wèn)題6：畫出身高、體重、成績(jī)等數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖，隨著試驗(yàn)次數(shù)增加或組距不斷縮小，觀察頻率分布折線圖有何特點(diǎn)？組內(nèi)討論交流后，以小組選派的代表的方式請(qǐng)1-2名學(xué)生展示.預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：隨著試驗(yàn)次數(shù)增加或組距不斷縮小，頻率分布折線圖的形狀也越來(lái)越光滑.【設(shè)計(jì)意圖】為引入新知搭橋鋪路，為了讓學(xué)生由特殊到一般歸納正態(tài)曲線的概念做鋪墊，同時(shí)也說(shuō)明了正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)理論和實(shí)際應(yīng)用中都占有重要的地位.（二）正態(tài)曲線對(duì)鐘形曲線有了初步的認(rèn)識(shí)，如何由鐘形曲線得到正態(tài)曲線.活動(dòng)4：教師用計(jì)算機(jī)演示教師借助幾何畫板演示，引導(dǎo)學(xué)生思考當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增加或組距不斷縮小時(shí)，頻率分布折線圖有什么變化特點(diǎn)？預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：頻率分布折線圖越來(lái)越光滑，越來(lái)越像一條曲線.【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)了由離散型隨機(jī)變量到連續(xù)型隨機(jī)變量的過(guò)渡，突破學(xué)生由離散到連續(xù)認(rèn)知上的障礙.通過(guò)幾何畫板讓學(xué)生直觀形象地感受正態(tài)曲線的形成過(guò)程.問(wèn)題7：生活中我們是否見(jiàn)過(guò)類似形狀的東西？預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：象我們生活中的鐘、鈴鐺等類似形狀的東西，我們稱之為鐘形曲線.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生，逐步經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，初步體會(huì)正態(tài)曲線的特點(diǎn).對(duì)于這條鐘形曲線，早在十八世紀(jì)30年代，棣莫弗、斯特靈等數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)十幾年的努力，應(yīng)用求導(dǎo)、對(duì)數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、積分、變量代換等數(shù)學(xué)方法就推導(dǎo)出這條鐘形曲線就是函數(shù)的圖象，其中和（）為參數(shù)，我們稱的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)高中生學(xué)生來(lái)說(shuō)，正態(tài)分布密度函數(shù)的推導(dǎo)是十分困難的，因此，從數(shù)學(xué)史的角度介紹正態(tài)分布密度曲線的解析式，既使學(xué)生易與接受又滲透了數(shù)學(xué)文化.在對(duì)正態(tài)曲線認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)入理性分析，得到正態(tài)分布的概念.（三）正態(tài)分布知道了小球的分布規(guī)律是正態(tài)曲線，為了引導(dǎo)學(xué)生由正態(tài)曲線認(rèn)識(shí)正態(tài)分布設(shè)計(jì)了下面的問(wèn)題.問(wèn)題8：一個(gè)小球從高爾頓板口落下，會(huì)落在哪？為什么？預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：一個(gè)小球從高爾頓板口落下，落在哪都有可能，但是，落在中間的可能性大，概率大.問(wèn)題9：如何計(jì)算小球落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率？

引導(dǎo)學(xué)生思考當(dāng)試驗(yàn)用的小球很小時(shí)候如何刻畫小球的具體位置，學(xué)生能夠想到用坐標(biāo)，采用小組討論的方式探究如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以及如何計(jì)算小球落在某個(gè)區(qū)間的概率.教師巡視并參與學(xué)生的討論，做適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).這樣就需要我們建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如果去掉高爾頓板最下邊的球槽，沿高爾頓板底部建立一個(gè)水平坐標(biāo)軸，刻度單位為球槽的寬度，若用表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo).引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)是一個(gè)隨機(jī)變量，這樣計(jì)算小球落在某個(gè)區(qū)間的概率，就是求.引導(dǎo)學(xué)生回憶頻率分布直方圖是用面積來(lái)表示概率的，這樣學(xué)生能夠結(jié)合定積分和概率的知識(shí)，想到用曲邊梯形的面積計(jì)算概率，進(jìn)一步可以對(duì)求定積分來(lái)求曲邊梯形的面積，這樣曲邊梯形的面積就是小球落在某個(gè)區(qū)間的概率的近似值，即＜≤≈進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，此公式是不是只對(duì)特殊的和成立.學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)和（＜），隨機(jī)變量都滿足＜≤≈.【設(shè)計(jì)意圖】正態(tài)曲線的意義是本節(jié)課的重點(diǎn)也是本節(jié)課的難點(diǎn)，通過(guò)設(shè)疑，引起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深入思考，通過(guò)復(fù)習(xí)、鞏固原有知識(shí)，以確保新內(nèi)容的自然引入，同時(shí)加深了對(duì)定積分幾何意義的理解.以舊引新，雖然概念較抽象，但這樣的處理過(guò)程學(xué)生不會(huì)覺(jué)得太突兀，易于接受新知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生逐步揭示正態(tài)曲線的意義.同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生把前后知識(shí)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行思維的習(xí)慣.表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo)，是一個(gè)隨機(jī)變量，請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)下面的問(wèn)題總結(jié)是什么樣的量？它受到哪些因素的影響.問(wèn)題10：判斷下面說(shuō)法是否正確，說(shuō)明理由.（1）是一個(gè)障礙物作用的結(jié)果（2）如果小球與第1個(gè)障礙物相撞后向左落下，那么小球與第5個(gè)障礙物相撞后也向左落下；（3）主要受最后一次與小球碰撞的障礙物的影響.預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：是一個(gè)隨機(jī)變量，受到了很多個(gè)障礙物的作用；每個(gè)障礙物是互不影響、互不相干；小球落在什么位置是很多次碰撞的結(jié)果，這些碰撞不分主次.因此，是一個(gè)隨機(jī)變量，受到了眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素的影響.【設(shè)計(jì)意圖】分析的特點(diǎn)以及影響的因素，突破學(xué)生認(rèn)知上的障礙，初步體會(huì)什么樣的隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布.由學(xué)生給出描述小球分布規(guī)律的正態(tài)分布的定義，教師給與補(bǔ)充進(jìn)一步完善正態(tài)分布的概念一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，（＜），隨機(jī)變量滿足＜≤＝，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記為～，參數(shù)可以用樣本的均值估計(jì)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì).根據(jù)前面對(duì)隨機(jī)變量的特點(diǎn)的分析，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.在現(xiàn)實(shí)生活中，長(zhǎng)度測(cè)量誤差，某一地區(qū)同齡人群的身高、體重、肺活量等，一般都服從正態(tài)分布.正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際中，正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位.因此，在對(duì)概念有初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，就需要我們提升認(rèn)知，探究正態(tài)曲線的特點(diǎn).【設(shè)計(jì)意圖】體會(huì)正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中，正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位.三、探究曲線特點(diǎn)正態(tài)曲線一方面是函數(shù)的圖象，另一方面正態(tài)曲線是刻畫隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律，因此我們可以從函數(shù)和概率兩個(gè)方面探究正態(tài)曲線的特點(diǎn).問(wèn)題11：結(jié)合的解析式及概率的性質(zhì)，說(shuō)一說(shuō)正態(tài)曲線都有哪些特點(diǎn)？預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生可以從函數(shù)的定義域、最值和對(duì)稱性等方面探究曲線的特點(diǎn)，也可以利用圖形計(jì)算器，畫出函數(shù)的圖象探究曲線的特點(diǎn).

正態(tài)曲線特點(diǎn)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱（3）曲線在處達(dá)到峰值（4）曲線與軸之間的面積為1為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究熱情，采用組內(nèi)合作，組間競(jìng)爭(zhēng)的學(xué)習(xí)方式，分組討論后采用小組選派代表的方式交流探究成果.【設(shè)計(jì)意圖】加深對(duì)正態(tài)曲線特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，鍛煉了學(xué)生表達(dá)能力.采用生生互動(dòng)小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí).問(wèn)題12：正態(tài)分布中的參數(shù)和可以用樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)，正態(tài)分布完全由和確定，如何研究?jī)蓚€(gè)參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的影響？具體如何操作？預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：需要控制變量，讓（或）固定，作出（或）取不同值的圖象，觀察正態(tài)曲線的變化.當(dāng)一定時(shí)曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移當(dāng)一定時(shí)曲線形狀由確定，越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散讓學(xué)生明確任務(wù)之后請(qǐng)同學(xué)們分組討論完成正態(tài)曲線特點(diǎn)的探究，考慮到各組的水平可能有所不同，教師巡視，對(duì)個(gè)別組做適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)自主探索、小組合作交流的方式探究正態(tài)曲線的特點(diǎn)，突出了本節(jié)課的重點(diǎn)，也調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和主動(dòng)性，提高合作交流的意識(shí)和能力.四、歸納小結(jié)為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的概括和語(yǔ)言表達(dá)能力，課堂小結(jié)設(shè)置了2個(gè)問(wèn)題：（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的知識(shí)有哪些？（2）在正態(tài)曲線、正態(tài)分布概念的得出和正態(tài)曲線特點(diǎn)的探究上，我們用了哪些研究問(wèn)題的方法，體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容以及研究方法，有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)內(nèi)容，有利于體會(huì)各種研究數(shù)學(xué)的方法之間的區(qū)別和聯(lián)系以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.讓學(xué)生了解正態(tài)分布