第21章 專題一 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用(習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì))2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)通(人教版)

第21章專題一一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用(習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì))2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)通(人教版)學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容《2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課時(shí)通(人教版)》第21章專題一一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，主要包括以下內(nèi)容：

1.利用一元二次方程解決實(shí)際問題的一般步驟；

2.應(yīng)用一元二次方程解決一些常見的實(shí)際問題，如：

-計(jì)算物體的運(yùn)動(dòng)距離和速度；

-分析物體的增長(zhǎng)或減少問題；

-計(jì)算投資收益與成本問題；

-解決幾何圖形的面積、周長(zhǎng)等問題；

3.一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用案例分析與解答；

4.一元二次方程在實(shí)際問題中的建模方法和技巧。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。通過一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，使學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題抽象為一元二次方程模型，提高學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。同時(shí)，通過分析問題、建立模型、求解方程、驗(yàn)證結(jié)果的過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和批判性思維。在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生還需收集、處理和分析數(shù)據(jù)，從而提高數(shù)據(jù)分析能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

-學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法；

-學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有了初步的認(rèn)識(shí)，能夠理解函數(shù)圖像與一元二次方程的關(guān)系；

-學(xué)生具備了一定的幾何知識(shí)，如直線、圓、三角形等的基本性質(zhì)和計(jì)算方法。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

-學(xué)生對(duì)解決實(shí)際問題具有較強(qiáng)的興趣，能夠激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力；

-學(xué)生具備一定的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)推理能力，能夠跟隨課堂節(jié)奏進(jìn)行思考；

-學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格多樣，有的偏好直觀演示，有的偏好抽象思考，需要采用多樣化的教學(xué)方法以滿足不同需求。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

-將實(shí)際問題抽象為一元二次方程模型可能存在困難，需要引導(dǎo)學(xué)生理解實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系；

-在解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)混淆一元二次方程的解與實(shí)際問題中的具體意義；

-對(duì)于一些復(fù)雜的實(shí)際問題，學(xué)生可能在建立方程模型時(shí)遇到邏輯上的困難，需要教師提供適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和提示。教學(xué)方法與策略1.結(jié)合教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)者特點(diǎn)，采用講授與討論相結(jié)合的方式，輔以案例研究，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

2.設(shè)計(jì)小組討論和問題解決活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生通過角色扮演來模擬實(shí)際問題情景，以及使用實(shí)驗(yàn)和游戲來探索一元二次方程的解決策略。

3.利用多媒體教學(xué)資源，如PPT演示和在線互動(dòng)平臺(tái)，展示一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度。教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

1.師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法和性質(zhì)，那么大家有沒有想過，我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)一元二次方程呢？它在我們生活中有什么實(shí)際應(yīng)用呢？

2.生：思考并回答，可能提到一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用，如計(jì)算面積、求解物理問題等。

3.師：很好，今天我們就來探究一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，看看它如何幫助我們解決生活中的問題。

二、探究一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用

1.師：首先，我們來看第一個(gè)問題。假設(shè)一個(gè)拋物線形狀的拱橋，其頂點(diǎn)在水面以上8米處，水面寬為4米。我們需要找到這個(gè)拋物線的方程，并計(jì)算拱橋的最大寬度。

-生：分組討論，嘗試建立拋物線方程。

-師：指導(dǎo)學(xué)生通過設(shè)定坐標(biāo)系，找到拋物線的一般方程，然后根據(jù)已知條件求解。

2.師：接下來，我們分析第二個(gè)問題。一家公司計(jì)劃投資一個(gè)新的項(xiàng)目，項(xiàng)目的收益可以表示為一個(gè)關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù)。我們需要確定投資的最佳時(shí)間，使得收益最大化。

-生：獨(dú)立思考，嘗試建立收益函數(shù)。

-師：引導(dǎo)學(xué)生通過分析收益函數(shù)的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)，確定最佳投資時(shí)間。

3.師：現(xiàn)在，我們來解決一個(gè)幾何問題。一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多3米，且矩形的周長(zhǎng)是18米。我們需要找到矩形的長(zhǎng)和寬。

-生：通過小組合作，嘗試建立方程。

-師：幫助學(xué)生理解矩形的周長(zhǎng)公式，并利用一元二次方程求解。

三、案例分析與應(yīng)用

1.師：同學(xué)們，我們已經(jīng)解決了一些實(shí)際問題，現(xiàn)在讓我們來看一些案例，分析一下這些案例是如何運(yùn)用一元二次方程的。

-生：閱讀案例，分析并討論案例中的數(shù)學(xué)模型。

-師：講解案例的解決過程，強(qiáng)調(diào)一元二次方程在解決問題中的作用。

2.師：現(xiàn)在，我想請(qǐng)大家自己嘗試解決一個(gè)問題。假設(shè)你有一塊土地，你想建造一個(gè)最大面積的矩形花園，但你的土地長(zhǎng)度有限。你需要確定花園的長(zhǎng)和寬，使得面積最大。

-生：獨(dú)立思考，嘗試建立面積函數(shù)。

-師：提供指導(dǎo)，幫助學(xué)生理解如何通過一元二次方程來找到最大面積。

四、鞏固練習(xí)

1.師：同學(xué)們，我們來做一些練習(xí)題，鞏固一下今天學(xué)習(xí)的知識(shí)。

-生：完成練習(xí)題。

-師：逐個(gè)檢查學(xué)生的答案，提供反饋和指導(dǎo)。

2.師：下面這個(gè)問題需要大家合作解決。一個(gè)球從地面拋出，其高度隨時(shí)間的變化可以表示為一個(gè)一元二次方程。我們需要計(jì)算球的最大高度和飛行時(shí)間。

-生：分組合作，共同解決問題。

-師：在學(xué)生解決問題的過程中提供必要的指導(dǎo)。

五、總結(jié)與反思

1.師：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用。大家能分享一下你們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中的收獲和感悟嗎？

-生：分享自己的學(xué)習(xí)心得和感悟。

-師：總結(jié)學(xué)生的發(fā)言，強(qiáng)調(diào)一元二次方程在實(shí)際生活中的重要性。

2.師：最后，我想請(qǐng)大家反思一下，我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題時(shí)，如何才能更好地運(yùn)用一元二次方程？

-生：思考并回答。

-師：總結(jié)反思，強(qiáng)調(diào)理解實(shí)際問題背景、建立數(shù)學(xué)模型和求解方程的重要性。

六、作業(yè)布置

1.師：同學(xué)們，今天的作業(yè)是：

-生：完成課后練習(xí)題，進(jìn)一步鞏固一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

-師：提醒學(xué)生按時(shí)完成作業(yè)，并鼓勵(lì)他們?cè)谟龅絾栴}時(shí)相互討論和尋求幫助。知識(shí)點(diǎn)梳理1.一元二次方程的定義與標(biāo)準(zhǔn)形式

-一元二次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程。

-標(biāo)準(zhǔn)形式為ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0。

2.一元二次方程的解法

-配方法：通過移項(xiàng)和配方，將方程轉(zhuǎn)換為(x+p)^2=q的形式，進(jìn)而求解。

-公式法：使用一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)來求解。

-因式分解法：將方程左邊通過因式分解寫成兩個(gè)一次因式的乘積，然后令每個(gè)因式等于零求解。

3.一元二次方程的根的判別式

-判別式Δ=b^2-4ac用于判斷方程的根的情況。

-當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

-當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

-當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

4.一元二次方程的圖像

-一元二次方程的圖像是一個(gè)開口向上或向下的拋物線。

-拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,c-b^2/4a)。

-拋物線與x軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根。

5.一元二次方程的應(yīng)用

-解決距離和速度問題：通過建立一元二次方程來計(jì)算物體的運(yùn)動(dòng)距離和速度。

-分析增長(zhǎng)或減少問題：利用一元二次方程來描述物體的增長(zhǎng)或減少情況。

-計(jì)算投資收益與成本問題：通過一元二次方程來計(jì)算投資的收益和成本。

-解決幾何圖形問題：利用一元二次方程來計(jì)算幾何圖形的面積、周長(zhǎng)等。

6.建立一元二次方程模型的步驟

-分析實(shí)際問題，確定未知數(shù)和變量。

-根據(jù)問題中的條件建立一元二次方程。

-解方程，得到未知數(shù)的值。

-驗(yàn)證解是否符合實(shí)際情況，必要時(shí)進(jìn)行單位換算或四舍五入。

7.實(shí)際問題中一元二次方程的解的幾何意義

-在幾何問題中，一元二次方程的解通常代表圖形的某個(gè)特定長(zhǎng)度或位置。

-解的幾何意義有助于理解問題的實(shí)際背景和驗(yàn)證解的正確性。

8.一元二次方程在實(shí)際問題中的限制條件

-在實(shí)際問題中，一元二次方程的解可能受到物理、幾何或?qū)嶋H情況的限制。

-解方程時(shí)，需要考慮這些限制條件，舍去不符合實(shí)際情況的解。課后拓展1.拓展內(nèi)容：

-閱讀材料：《數(shù)學(xué)建模案例分析——一元二次方程的應(yīng)用》

該材料通過具體的案例，展示了一元二次方程在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理學(xué)中的拋物線運(yùn)動(dòng)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本收益分析、工程學(xué)中的優(yōu)化問題等。

-視頻資源：《一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用》

該視頻通過動(dòng)畫和實(shí)例，生動(dòng)地展示了一元二次方程在解決實(shí)際生活中的問題時(shí)的作用和意義。

2.拓展要求：

-學(xué)生在課后自主選擇閱讀材料或觀看視頻資源，深入了解一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

-學(xué)生需要記錄下自己在閱讀或觀看過程中的關(guān)鍵信息和心得體會(huì)，準(zhǔn)備在下一堂課上進(jìn)行分享。

-教師將提供必要的指導(dǎo)和幫助，包括但不限于解答學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，提供額外的閱讀材料或視頻資源，以及組織課堂討論，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)交流自己的學(xué)習(xí)成果。

-學(xué)生可以嘗試自己設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際問題，并利用一元二次方程來解決問題。教師將提供反饋和指導(dǎo)，幫助學(xué)生完善他們的解決方案。

-鼓勵(lì)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，例如，通過建立一元二次方程模型來分析家庭預(yù)算、規(guī)劃旅行路線等，從而加深對(duì)一元二次方程應(yīng)用的理解。

-學(xué)生應(yīng)當(dāng)反思自主學(xué)習(xí)的過程，評(píng)估自己的學(xué)習(xí)效果，并思考如何將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到未來的學(xué)習(xí)和生活中。教師將根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)和反饋，調(diào)整教學(xué)策略，以更好地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)。板書設(shè)計(jì)①一元二次方程的定義與標(biāo)準(zhǔn)形式

-重點(diǎn)詞：一元二次方程、標(biāo)準(zhǔn)形式

-重點(diǎn)句：ax^2+bx+c=0（a≠0）

②一元二次方程的解法

-重點(diǎn)詞：配方法、公式法、因式分解法

-重點(diǎn)句：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

③一元二次方程的應(yīng)用

-重點(diǎn)詞：距離和速度問題、增長(zhǎng)或減少問題、投資收益與成本問題、幾何圖形問題

-重點(diǎn)句：建立一元二次方