專題9填空題壓軸題之圖形變換問題（平移翻折旋轉(zhuǎn)）

專題9填空題壓軸題之圖形變換問題（平移翻折旋轉(zhuǎn)）（解析版）模塊一2022中考真題集訓(xùn)類型一圖形的折疊1．（2022?徐州）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝43思路引領(lǐng)：由折疊性質(zhì)可得CF＝BC＝5，BE＝EF，由矩形性質(zhì)有CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF＝4，進(jìn)而得出AF＝1，最后在直角三角形AEF中，建立勾股定理方程求解即可．解：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，由翻折變換的性質(zhì)可知，F(xiàn)C＝BC＝5，EF＝BE，在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF=F∴AF＝AD﹣DF＝1，設(shè)AE＝x，則BE＝EF＝3﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，即（3﹣x）2＝x2+12，解得x=43，即AE故答案為：43總結(jié)提升：本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運(yùn)用勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵．2．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，有一張平行四邊形紙片ABCD，AB＝5，AD＝7，將這張紙片折疊，使得點(diǎn)B落在邊AD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，折痕為EF，若點(diǎn)E在邊AB上，則DB′長的最小值等于2．思路引領(lǐng)：由折疊可知，BE＝B'E，BF＝B'F，如圖，當(dāng)E與A重合時(shí)，B'D最短，可得B'D＝AD﹣AB'＝7﹣5＝2．解：由折疊可知，BE＝B'E，BF＝B'F，如圖，當(dāng)E與A重合時(shí)，B'D最短．∵AB＝5，AD＝7，∴AB'＝5，∴B'D＝AD﹣AB'＝7﹣5＝2，即DB′長的最小值為2．故答案為：2．總結(jié)提升：本題考查翻折變換（折疊問題）、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022?鞍山）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，將△BDE沿直線DE翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AB上，連接CB'，若CB'＝BB'，則AD的長為7.5．思路引領(lǐng)：在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的長，然后根據(jù)CB'＝BB'得出AB′＝BB′=12AB，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD＝B′D=12BB′．根據(jù)AD＝AB′+B′解：在Rt△ABC中，AB=AC∵AC＝6，BC＝8，∴AB=6∵CB'＝BB'，∴∠B＝∠BCB′，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACB′+∠BCB′＝90°．∴∠A＝∠ACB′．∴AB′＝CB′．∴AB′＝BB′=12∵將△BDE沿直線DE翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AB上，∴B′D＝BD=12∴AD＝AB′+B′D＝5+2.5＝7.5．故答案為：7.5．總結(jié)提升：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中根據(jù)CB'＝BB'通過推理論證得到CB′是斜邊上的中線是解題的關(guān)鍵．4．（2022?蘭州）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點(diǎn)F落在AE上．若CE＝3cm，AF＝2EF，則AB＝35cm．思路引領(lǐng)：根據(jù)將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點(diǎn)F落在AE上，可得EF＝CE＝3cm，CD＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠DFE＝∠C＝90°＝∠DFA，而AF＝2EF，即得AF＝6cm，AE＝9cm，由四邊形ABCD是矩形，可得AB＝CD＝DF，AD∥BC，從而AD＝AE＝9cm，在Rt△ADF中，用勾股定理得DF＝35cm，從而AB＝DF＝35cm．解：∵將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點(diǎn)F落在AE上，∴EF＝CE＝3cm，CD＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠DFE＝∠C＝90°＝∠DFA，∵AF＝2EF，∴AF＝6cm，AE＝AF+EF＝6+3＝9（cm），∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝DF，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝∠DEF，∴AD＝AE＝9cm，在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，∴62+DF2＝92，∴DF＝35（cm），∴AB＝DF＝35（cm），故答案為：35．總結(jié)提升：本題考查矩形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，能熟練應(yīng)用勾股定理列方程解決問題．5．（2022?大連）如圖，對折矩形紙片ABCD，使得AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，連接MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，則AD的長是53cm．思路引領(lǐng)：由矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)可得BE＝3，A′B＝AB＝6cm，∠A＝∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，可得∠BA′E＝30°，從而可得∠A′BE＝60°，可得∠ABM＝30°，從而可得AM＝23cm，∠DMF＝30°，DF＝3cm，即可求解DM，進(jìn)而求出AD的長．解：∵四邊形ABCD為矩形，AB＝6cm，∴∠A＝90°，由折疊性質(zhì)可得：BE＝DF＝3cm，A′B＝AB＝6cm，∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，∴∠BA′E＝30°，∴∠A′BE＝60°，∴∠ABM＝30°，∠AMB＝60°，∴AM＝tan30°?AB=33×6=2∵M(jìn)F⊥BM，∴∠BMF＝90°，∴∠DMF＝30°，∴∠DFM＝60°，在Rt△DMF中，MD＝tan60°?DF=3×3=3∴AD＝AM+DM＝23+33故答案為：53．總結(jié)提升：本題考查折疊性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，30°角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用邊之間的關(guān)系推出∠BA′E＝30°．6．（2022?盤錦）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=2，AD=3，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，將△DCE沿DE翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE的平行線交AD于點(diǎn)G，交直線BC于點(diǎn)H．若點(diǎn)G是邊AD的三等分點(diǎn)，則FG的長是33或思路引領(lǐng)：過點(diǎn)E作EM⊥GH于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得四邊形HEDG是平行四邊形，證明HE＝FE，等面積法求得ME，勾股定理求得HM，可得HF的長，進(jìn)而即可求解．解：①如圖，過點(diǎn)E作EM⊥GH于點(diǎn)M，∵DE∥GH，AD∥BC，∴四邊形HEDG是平行四邊形，∴HE=GD=1∵折疊，∴∠FED＝∠CED，∵∠MED＝90°，即∠FEM+∠FED＝90°，∴∠CED+∠HEM＝90°，∴∠HEM＝∠FEM，∵∠EMF＝∠EMH＝90°，ME＝ME，∴△HEM≌△FEM（ASA），∴HM＝MF，EF＝HE＝1，∴EF＝EC＝1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°，DC=AB=2Rt△EDC中，DE=D∴GH=DE=3∵M(jìn)E⊥HG，HG∥DE，∴S△DEF∴ME=DC×ECRt△HME中，HM=H∴FG=HG?HF=HG?2HM=3②如圖，當(dāng)AG=1同理可得HE＝GD＝AD﹣AG＝3﹣1＝2，EC＝EF＝HE＝2，∴DE=2∴ME=DC×ECRt△HME中，HM=H∴FG=HF?HG=2HM?HG=4故答案為：33或6總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，折疊，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2022?濰坊）小瑩按照如圖所示的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)現(xiàn)折痕AB′與A4紙的長邊AB恰好重合，那么A4紙的長AB與寬AD的比值為2．思路引領(lǐng)：由第①次折疊知△AD'B'是等腰直角三角形，由第②次折疊知，AB＝AB'，從而解決問題．解：由第②次折疊知，AB＝AB'，由第①次折疊知，∠B'AB＝45°，∴△AD'B'是等腰直角三角形，∴AB'=2AD∴AB與寬AD的比值為2，故答案為：2，總結(jié)提升：本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022?青島）如圖，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，且DE＝4．將∠C沿GM折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合．下列結(jié)論正確的有：①④．（填寫序號）①BD＝8②點(diǎn)E到AC的距離為3③EM=④EM∥AC思路引領(lǐng)：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷①，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可判斷②，設(shè)DM＝x，則EM＝8﹣x，結(jié)合勾股定理和三角形面積公式進(jìn)行分析求解，從而判斷③，利用銳角三角函數(shù)可判斷④．解：在△ABC中，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∴BD＝DC=12BC＝8，故如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，EH⊥AC于點(diǎn)H，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AE平分∠BAC，∴EH＝EF，∵BE是∠ABD的角平分線，∵ED⊥BC，EF⊥AB，∴EF＝ED，∴EH＝ED＝4，故②錯(cuò)誤；由折疊性質(zhì)可得：EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝8，設(shè)DM＝x，則EM＝8﹣x，Rt△EDM中，EM2＝DM2+DE2，∴（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，∴EM＝MC＝5，故③錯(cuò)誤；設(shè)AE＝a，則AD＝AE+ED＝4+a，BD＝8，∴AB2＝（4+a）2+82，∵S△ABE∴AEED∴a4∴AB＝2a，∴（4+a）2+82＝（2a）2，解得：a=203或∴tanC=AD又∵tan∠EMD=ED∴∠C＝∠EMD，∴EM∥AC，故④正確，故答案為：①④．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022?銅仁市）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NP∥EM交MC于點(diǎn)P，則MN+NP的最小值為85思路引領(lǐng)：過點(diǎn)M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值為MF的長，證明四邊形DEMG為菱形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．解：作點(diǎn)P關(guān)于CE的對稱點(diǎn)P′，由折疊的性質(zhì)知CE是∠DCM的平分線，∴點(diǎn)P′在CD上，過點(diǎn)M作MF⊥CD于F，交CE于點(diǎn)G，∵M(jìn)N+NP＝MN+NP′≥MF，∴MN+NP的最小值為MF的長，連接DG，DM，由折疊的性質(zhì)知CE為線段DM的垂直平分線，∵AD＝CD＝2，DE＝1，∴CE=1∵12CE×DO=12CD∴DO=2∴EO=5∵M(jìn)F⊥CD，∠EDC＝90°，∴DE∥MF，∴∠EDO＝∠GMO，∵CE為線段DM的垂直平分線，∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE＝GM，∴四邊形DEMG為平行四邊形，∵∠MOG＝90°，∴四邊形DEMG為菱形，∴EG＝2OE=255，GM∴CG=3∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴FGDE=CG∴FG=3∴MF＝1+3∴MN+NP的最小值為85方法二：同理方法一得出MN+NP的最小值為MF的長，DO=2∴OC=CD2?OC2∵S△CDM=12DM?OC=12即455×∴MF=8∴MN+NP的最小值為85故答案為：85總結(jié)提升：此題主要考查軸對稱在解決線段和最小的問題中的應(yīng)用，熟悉對稱點(diǎn)的運(yùn)用和畫法，知道何時(shí)線段和最小，會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求線段長度是解題的關(guān)鍵．10．（2022?遼寧）如圖，正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，連接GF，當(dāng)GF最小時(shí)，AE的長是55?5思路引領(lǐng)：由翻折知BF＝BA＝10，得點(diǎn)F在以B為圓心，10為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)點(diǎn)G、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，GF最小，再利用面積法可得AE的長．解：∵將△ABE沿BE翻折得到△FBE，∴BF＝BA＝10，∴點(diǎn)F在以B為圓心，10為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)G、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，GF最小，連接EG，設(shè)AE＝x，由勾股定理得，BG＝55，∵S梯形ABGD＝S△EDG+S△ABE+S△EBG，∴12（5+10）×10=解得x＝55?∴AE＝55?故答案為：55?總結(jié)提升：本題主要考查了翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，確定當(dāng)點(diǎn)G、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，GF最小是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意運(yùn)用面積法求垂線段的長度．11．（2022?沈陽）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，點(diǎn)C，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)F在矩形內(nèi)部，MF的延長線交邊BC于點(diǎn)G，EF交邊BC于點(diǎn)H．EN＝2，AB＝4，當(dāng)點(diǎn)H為GN的三等分點(diǎn)時(shí)，MD的長為213?4或4思路引領(lǐng)：根據(jù)點(diǎn)H為GN三等分點(diǎn)，分兩種情況分別計(jì)算，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠GMN＝∠MNG，得到MG＝NG，證明△FGH∽△ENH，求出FG的長，過點(diǎn)G作GP⊥AD于點(diǎn)P，則PG＝AB＝4，設(shè)MD＝MF＝x，根據(jù)勾股定理列方程求出x即可．解：當(dāng)HN=13GN時(shí)，GH＝2∵將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，∴MF＝MD，CN＝EN，∠E＝∠C＝∠D＝∠MFE＝90°，∠DMN＝∠GMN，AD∥BC，∴∠GFH＝90°，∠DMN＝∠MNG，∴∠GMN＝∠MNG，∴MG＝NG，∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，∴△FGH∽△ENH，∴FGEN∴FG＝2EN＝4，過點(diǎn)G作GP⊥AD于點(diǎn)P，則PG＝AB＝4，設(shè)MD＝MF＝x，則MG＝GN＝x+4，∴CG＝x+6，∴PM＝6，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+62＝（x+4）2，解得：x＝213?∴MD＝213?當(dāng)GH=13GN時(shí)，HN＝2∵△FGH∽△ENH，∴FGEN∴FG=12∴MG＝GN＝x+1，∴CG＝x+3，∴PM＝3，∵GP2+PM2＝MG2，∴42+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴MD＝4；故答案為：213?總結(jié)提升：本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，考查了分類討論的思想，根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．12．（2022?揚(yáng)州）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B′處，折痕AD交BC于點(diǎn)D；第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB′于點(diǎn)P．若BC＝12，則MP+MN＝6．思路引領(lǐng)：先把圖補(bǔ)全，由折疊得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，證明GN是△ABC的中位線，得GN＝6，可得答案．解：如圖2，由折疊得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，∴GN∥BC，∴AG＝BG，∴GN是△ABC的中位線，∴GN=12BC∵PM＝GM，∴MP+MN＝GM+MN＝GN＝6．故答案為：6．總結(jié)提升：本題考查了三角形的中位線定理，折疊的性質(zhì)，把圖形補(bǔ)全證明GN是△ABC的中位線是解本題的關(guān)鍵．13．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿AE折疊，得到點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長EF交線段DC于點(diǎn)P，若AB＝6，則DP的長度為2．思路引領(lǐng)：連接AP，根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．解：如圖，連接AP，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE=12由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，AP=APAF=AD∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2+CP2，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得x＝2．則DP的長度為2．故答案為：2．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．14．（2022?嘉興）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C，D在AB上，將CD沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．已知∠AOB＝120°，OA＝6，則EF的度數(shù)為60°，折痕CD的長為46．思路引領(lǐng)：設(shè)翻折后的弧的圓心為O′，連接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于點(diǎn)H，可得OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，根據(jù)切線的性質(zhì)可證明∠EO′F＝60°，則可得EF的度數(shù)；然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可解決問題．解：如圖，設(shè)翻折后的弧的圓心為O′，連接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于點(diǎn)H，∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，∵將CD沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠EO′F＝60°，則EF的度數(shù)為60°；∵∠AOB＝120°，∴∠O′OF＝60°，∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，∴OO′=O′Fsin60°=∴O′H＝23，∴CH=O′C2∴CD＝2CH＝46．故答案為：60°，46．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．類型二圖形的平移15．（2022?淄博）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點(diǎn)A（﹣3，4）的對應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），則點(diǎn)B（﹣4，2）的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（1，3）．思路引領(lǐng)：根據(jù)點(diǎn)A（﹣3，4）的對應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），可得點(diǎn)A向右平移5個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位至A1，進(jìn)而可以解決問題．解：∵點(diǎn)A（﹣3，4）的對應(yīng)點(diǎn)是A1（2，5），∴點(diǎn)B（﹣4，2）的對應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（1，3）．故答案為：（1，3）．總結(jié)提升：本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)．16．（2022?大連）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），將線段OA向右平移4個(gè)單位長度，得到線段BC，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5，2）．思路引領(lǐng)：根據(jù)橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減求解即可．解：將線段OA向右平移4個(gè)單位長度，得到線段BC，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1+4，2），即（5，2），故答案為：（5，2）．總結(jié)提升：本題主要考查坐標(biāo)與圖形變化—平移，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的平移規(guī)律：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．17．（2022?遼寧）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)A（3，2），B（5，2），將線段AB平移得到線段CD，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣1，2），則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，2）．思路引領(lǐng)：根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律解答即可．解：∵點(diǎn)A（3，2）的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，2），∴平移規(guī)律為向左平移4個(gè)單位，∴B（5，2）的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．故答案為：（1，2）．總結(jié)提升：本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．18．（2022?臨沂）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（1，﹣3）．思路引領(lǐng)：由A點(diǎn)的平移判斷出B點(diǎn)的平移最后得出坐標(biāo)即可．解：由題意知，點(diǎn)A從（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位（或者先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位），即B點(diǎn)（2，﹣1），平移后的對應(yīng)點(diǎn)為B'（1，﹣3），故答案為：（1，﹣3）．總結(jié)提升：本題主要考查平移的知識(shí)，根據(jù)A點(diǎn)的平移情況得出B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．19．（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)點(diǎn)從原點(diǎn)開始向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)A1（1，1）；把點(diǎn)A1向上平移2個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)A2（﹣1，3）；把點(diǎn)A2向下平移3個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)A3（﹣4，0）；把點(diǎn)A3向下平移4個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)A4（0，﹣4），…；按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)A10的坐標(biāo)為（﹣1，11）．思路引領(lǐng)：根據(jù)題目規(guī)律，依次求出A5、A6……A10的坐標(biāo)即可．解：由圖象可知，A5（5，1），將點(diǎn)A5向左平移6個(gè)單位、再向上平移6個(gè)單位，可得A6（﹣1，7），將點(diǎn)A6向左平移7個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位，可得A7（﹣8，0），將點(diǎn)A7向右平移8個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位，可得A8（0，﹣8），將點(diǎn)A8向右平移9個(gè)單位，再向上平移9個(gè)單位，可得A9（9，1），將點(diǎn)A9向左平移10個(gè)單位，再向上平移10個(gè)單位，可得A10（﹣1，11），故答案為：（﹣1，11）．總結(jié)提升：本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，屬于中考?？碱}型．20．（2022?臺(tái)州）如圖，△ABC的邊BC長為4cm．將△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，則陰影部分的面積為8cm2．思路引領(lǐng)：根據(jù)平移的性質(zhì)得出陰影部分的面積等于四邊形BB'C'C的面積解答即可．解：由平移可知，陰影部分的面積等于四邊形BB'C'C的面積＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2），故答案為：8．總結(jié)提升：本題考查了四邊形的面積公式和平移的性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮?jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．類型三圖形的旋轉(zhuǎn)21．（2022?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝30°，F(xiàn)B+FD的最小值為53．思路引領(lǐng)：首先證明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長．解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥CB，∴∠BAE=12∠∵△BEF是等邊三角形，∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，BA=BC∠ABE=∠CBF∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF的延長線于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長．∵∠DCF＝∠FCG＝30°，∴∠DCG＝60°，∵CD＝CG＝5，∴△CDG是等邊三角形，∴DB＝DC＝DG，∴∠CGB＝90°，∴BG=BC2∴BF+DF的最小值為53，故答案為：30°，53．總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．22．（2022?寧夏）如圖，直線a∥b，△AOB的邊OB在直線b上，∠AOB＝55°，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至△A1OB1，邊A1O交直線a于點(diǎn)C，則∠1＝50°．思路引領(lǐng)：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：∵將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至△A1OB1，∴∠A1OB1＝∠AOB＝55°，∠AOA1＝75°，∴∠A1OD＝180°﹣55°﹣75°＝50°，∵直線a∥b，∴∠1＝∠A1OD＝50°，故答案為：50．總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022?西寧）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°得到△AB′C′，B′C′交AB于點(diǎn)E，則B′E＝33?3思路引領(lǐng)：先在含30°銳角的直角三角形中計(jì)算出兩條直角邊，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等得到AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝33，即可解答．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，∴AC＝3，BC＝33，∠CAB＝60°，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°得到△AB′C′，∴△ABC≌△AB′C′，∠C'AE＝45°，∴AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝33，∴B'E＝B'C'﹣C'E＝33?總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．24．（2022?鹽城）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B'處，線段AB掃過的面積為π3思路引領(lǐng)：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB'＝AB＝2，由銳角三角函數(shù)可求∠DAB'＝60°，由扇形面積公式可求解．解：∵AB＝2BC＝2，∴BC＝1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠D＝∠DAB＝90°，∵將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴AB'＝AB＝2，∵cos∠DAB'=AD∴∠DAB'＝60°，∴∠BAB'＝30°，∴線段AB掃過的面積=30°×π×2故答案為：π3總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．25．（2022?牡丹江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，2），OC＝4，將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'坐標(biāo)是（﹣2，3）或（2，﹣3）．思路引領(lǐng)：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：BM＝B1M1＝B2M2＝3，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，可得B1和B2的坐標(biāo)，即是B'的坐標(biāo)．解：∵A（﹣1，2），OC＝4，∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x軸，將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O分別順時(shí)針、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，由旋轉(zhuǎn)得：OM＝OM1＝OM2＝2，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，BM＝B1M1＝B2M2＝3，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴B1和B2的坐標(biāo)分別為：（﹣2，3）、（2，﹣3），∴B'即是圖中的B1和B2，坐標(biāo)就是（﹣2，3）或（2，﹣3），故答案為：（﹣2，3）或（2，﹣3）．總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．26．（2022?廣州）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP′，連接PP′，CP′．當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為120°；當(dāng)線段CP′的長度最小時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為75°．思路引領(lǐng)：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BEP′＝90°，推出點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng)，如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，再證明△BEO是等腰直角三角形，可得結(jié)論．解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．∵△BPP′是等邊三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，BA=BE∠ABP=∠EBP′∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng)，如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)P′落在BC上時(shí)，點(diǎn)P′與O重合，此時(shí)∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，當(dāng)CP′⊥EP′時(shí)，CP′的長最小，此時(shí)∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO=12OB，OP′=∴EP′＝EO+OP′=12OB+12∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．故答案為：120°，75°．總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．27．（2022?盤錦）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C'，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'落在邊AB上時(shí)，點(diǎn)C'在BA的延長線上，連接BB'，若AA'＝1，則△BB'D的面積是334思路引領(lǐng)：先證明△A'AD是等邊三角形，再證明A′O⊥BC，再利用直角三角形30°角對應(yīng)的邊是斜邊的一半分別求出A'B'和A'O，再利用勾股定理求出OD，從而求得△BB'D的面積．解：如圖所示，設(shè)A'B'與BD交于點(diǎn)O，連接A'D和AD，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AB＝AC，∠ABC＝30°，∴AD⊥BC，A'D⊥B'C'，A'D是∠B′A′C′的角平分線，AD是∠BAC的角平分線，∴∠B'A'C'＝120°，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠B'A'D＝60°，∵A'D＝AD，∴△A'AD是等邊三角形，∴A'A＝AD＝A'D＝1，∵∠BA'B'＝180°﹣∠B'A'C'＝60°，∴∠BA'B'＝∠A'AD，∴A'B'∥AD，∴A′O⊥BC，∴A′O=1∴OD=1?∵A'B'＝2A'D＝2，∵∠A'BD＝∠A'DO＝30°，∴BO＝OD，∴OB′=2?12=∴S△BB′D總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，證明△A'AD是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．28．（2022?濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，邊長為2個(gè)單位長度的正方形ABCO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，再沿y軸方向向上平移1個(gè)單位長度，則點(diǎn)B″的坐標(biāo)為（?2，6+思路引領(lǐng)：過B'作B'D⊥y軸于D，連接OB，OB'，根據(jù)邊長為2個(gè)單位長度的正方形ABCO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，得∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝22，即知∠B'OD＝30°，可得B'（?2，6），又再沿y軸方向向上平移1個(gè)單位長度，故B''（?2，解：過B'作B'D⊥y軸于D，連接OB，OB'，如圖：∵邊長為2個(gè)單位長度的正方形ABCO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，∴∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝22，∴∠B'OD＝30°，∴B'D=12OB'=2，OD=3B∴B'（?2，6∵再沿y軸方向向上平移1個(gè)單位長度，∴B''（?2，6故答案為：（?2，6總結(jié)提升：本題考查正方形的旋轉(zhuǎn)和平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)、平移變換的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)．29．（2022?無錫）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC＝20°，則∠BAF＝80°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是4?3思路引領(lǐng)：第一個(gè)問題證明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠DBC＝∠EAC＝20°，可得∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．第二個(gè)問題，如圖1中，設(shè)BF交AC于點(diǎn)T．證明∠BCT＝∠AFT＝60°，推出點(diǎn)F在△ABC的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠ABF最小時(shí)，AF的值最小，此時(shí)CD⊥BD，求出AE，EF可得結(jié)論．解：∵△ACB，△DEC都是等邊三角形，∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，CB=CA∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠DBC＝∠EAC＝20°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如圖1中，設(shè)BF交AC于點(diǎn)T．同法可證△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAF，∵∠BTC＝∠ATF，∴∠BCT＝∠AFT＝60°，∴點(diǎn)F在△ABC的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠ABF最小時(shí)，AF的值最小，此時(shí)CD⊥BD，∴BD=B∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，∵CD＝CE，CF＝CF，∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），∴∠DCF＝∠ECF＝30°，∴EF＝CE?tan30°=3∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4?3故答案為：80，4?3總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，軌跡，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．30．（2022?麗水）一副三角板按圖1放置，O是邊BC（DF）的中點(diǎn)，BC＝12cm．如圖2，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，AC與EF相交于點(diǎn)G，則FG的長是（33?3）cm思路引領(lǐng)：設(shè)EF與BC交于點(diǎn)H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明∠FHO＝90°，可得OH=12OF＝3cm，利用含30度角的直角三角形可得CH＝OC﹣OH＝3cm，F(xiàn)H=3OH＝33cm，然后證明△CHG的等腰直角三角形，可得CH＝GH解：如圖，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)H，∵O是邊BC（DF）的中點(diǎn)，BC＝12cm．如圖2，∴OD＝OF＝OB＝OC＝6cm．∵將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠BOD＝∠FOH＝60°，∵∠F＝30°，∴∠FHO＝90°，∴OH=12OF＝3∴CH＝OC﹣OH＝3cm，F(xiàn)H=3OH＝33cm∵∠C＝45°，∴CH＝GH＝3cm，∴FG＝FH﹣GH＝（33?3）cm故答案為：（33?總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．31．（2023?封開縣一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，延長EF交CD于點(diǎn)P，若AB＝6，則DP的長為2．思路引領(lǐng)：如圖所示，連接AP，先由折疊和正方形的性質(zhì)得到AF＝AD，∠AFP＝∠D＝90°，由此證明Rt△ADP≌Rt△AFP（HL），則DP＝FP，由E是BC的中點(diǎn)，得到EF＝BE＝CE＝3，設(shè)DP＝FP＝x，則EP＝x+3，CP＝6﹣x，在Rt△PCE中，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，據(jù)此求解即可．解：如圖所示，連接AP，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折疊的性質(zhì)可知AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，F(xiàn)E＝BE，∴AF＝AD，∠AFP＝∠D＝90°，又∵AP＝AP，∴Rt△ADP≌Rt△AFP（HL），∴DP＝FP，∵E是BC的中點(diǎn)，∴EF=BE=CE=1設(shè)DP＝FP＝x，則EP＝x+3，CP＝6﹣x，在Rt△PCE中，由勾股定理得：PE2＝CP2+CE2，∴（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得x＝2，∴DP＝2，故答案為：2．總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．32．（2023?歷下區(qū)一模）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝5．沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則tan∠DAE＝815思路引領(lǐng)：根據(jù)折疊，可知AB＝AD，ED＝EC，進(jìn)一步可知∠ADE＝90°，設(shè)AE＝x，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理列方程，求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：根據(jù)折疊，可知AB＝AD，ED＝EC，∴∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°∴∠ADB+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝90°，設(shè)AE＝x，∵AB＝3，AC＝5，∴AD＝3，CE＝5﹣x，∴ED＝5﹣x，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得32+（5﹣x）2＝x2，解得x=17∴DE＝5?17∴tan∠DAE=DE故答案為：815總結(jié)提升：本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（2022?市中區(qū)二模）如圖，矩形紙片ABCD，AD＝12，AB＝4，點(diǎn)E在線段BC上，將△ECD沿DE向上翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'落在線段AD上，點(diǎn)M，N分別是線段AD與線段BC上的點(diǎn)，將四邊形ABNM沿MN向上翻折，點(diǎn)B恰好落在線段DE的中點(diǎn)B'處．則線段MN的長4526思路引領(lǐng)：作B'F⊥BC于F，連接BB'交MN于G，連接BM，此時(shí)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CF＝EF＝B'F=12CD=2，BF＝10，應(yīng)用勾股定理計(jì)算得出BB'＝226再根據(jù)由折疊的性質(zhì)得BN＝B'N，在Rt△B'NF中根據(jù)勾股定理求得B'N長度，最后根據(jù)S△BMN=解：如圖，作B'F⊥BC于F，連接BB'交MN于G，連接BM，由題意可知，四邊形CDC'E，是正方形，△B'EF是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝B'F=12CD=2，BF＝BC在Rt△BB'F中，BB'=B設(shè)BN＝B'N＝x，則NF＝BC﹣BN﹣CF＝10﹣x，在Rt△B'NF中，B'N2＝NF2+B'F2，即x2＝（10﹣x）2+22，解得：x=26∴BN=26由折疊的性質(zhì)可知：BG＝B'G=12BB′=26，∵S△BMN=1∴MN=BN?AB故答案為：45總結(jié)提升：本題考查了翻折變換、正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．34．（2022?包頭模擬）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝6，將扇形AOB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，整個(gè)陰影部分的面積9π﹣123．思路引領(lǐng)：首先連接OD，由折疊的性質(zhì)，可得CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，則可得△OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長，即可求得△OBC與△BCD的面積，又在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝6，即可求得扇形OAB的面積，繼而求得陰影部分面積．解：連接OD．根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，∴OB＝OD＝BD，即△OBD是等邊三角形，∴∠DBO＝60°，∴∠CBO=12∠∵∠AOB＝90°，∴OC＝OB?tan∠CBO＝6×33=∴S△BDC＝S△OBC=12×OB×OC=12×6×23=63，S扇形AOB∴整個(gè)陰影部分的面積為：S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC＝9π﹣63?63=9π﹣12故答案為：9π﹣123．總結(jié)提升：此題考查了折疊的性質(zhì)、扇形面積公式以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．35．（2022?鄖西縣模擬）如圖，已知，正△ABC中，AB＝12，將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，連接BD，交AC于O點(diǎn)，E點(diǎn)在OD上，且DE＝2OE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF﹣PE的最大值為23．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，PF﹣PE最大，利用勾股定理求出此時(shí)AF和AE的長即可解決問題．解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，PF﹣PE最大，∵△ABC為等邊三角形，AB＝12，∴AB＝AC＝BC＝12，∵將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，∴AD＝CD＝BC＝AB＝12，∴四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，∴AO＝CO＝6，∴DO=1∵DE＝2OE，∴OE=1∴AE=(23)∵F為BC中點(diǎn)，∴AF⊥BC，CF＝BF＝6，∴AF=122∴PF﹣PE的最大值為AF﹣AE＝63?43=2故答案為：23．總結(jié)提升：本題主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確同側(cè)差最大是解題的關(guān)鍵．36．（2022?皇姑區(qū)校級模擬）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，先以CE為對稱軸將△CDE折疊，使點(diǎn)D落在CF上的點(diǎn)D處，再以EF為對稱軸折疊△AEF，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'與點(diǎn)D'重合，以FG為對稱軸折疊△BFG，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B落在CF上．若∠A＝60°，AB＝2，則FGCE的值為35思路引領(lǐng)：過點(diǎn)C作CH⊥AB延長線于點(diǎn)H，設(shè)菱形ABCD的邊長為2，設(shè)AF＝A′F＝a，根據(jù)勾股定理可得a＝0.8，然后根據(jù)△ECD′∽△FGB′，進(jìn)而可以解決問題．解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB延長線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥CB，∴∠CBH＝∠A＝60°，設(shè)菱形ABCD的邊長為2，∴BH＝1，∴CH=3設(shè)AF＝A′F＝a，則BF＝AB﹣AF＝2﹣a，CF＝CD′+A′F＝CD+AF＝2+a，F(xiàn)H＝BF+BH＝2﹣a+1＝3﹣a，在Rt△CFH中，根據(jù)勾股定理得：FH2+CH2＝CF2，∴（3﹣a）2+（3）2＝（2+a）2，解得a＝0.8，∴CD′＝2，B′F＝2﹣a＝1.2，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，由折疊可知：∠D＝∠CD′E，∠B＝∠FB′G，∴∠CD′E＝∠FB′G，由折疊可知：∠DEC＝∠D′EC，∠AEF＝∠A′EF，∵∠DEC+∠D′EC+∠AEF+∠A′EF＝180°，∴∠D′EC+∠A′EF＝90°，∴∠CEF＝90°，同理：∠EFG＝90°，∴EC∥FG，∴∠ECD′＝∠CAE，∴△ECD′∽△FGB′，∴FGCE故答案為：35總結(jié)提升：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．37．（2022?亭湖區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE⊥AB交AC邊于點(diǎn)D，將∠A沿直線DE翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的F處，連接FC，當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，AE的長為4或134或11926思路引領(lǐng)：由勾股定理求出AB，設(shè)AE＝x，則EF＝x，BF＝13﹣2x；分三種情況討論：①當(dāng)BF＝BC時(shí)，列出方程，解方程即可；②當(dāng)BF＝CF時(shí)，F(xiàn)在BC的垂直平分線上，得出AF＝BF，列出方程，解方程即可；③當(dāng)CF＝BC時(shí)，作CG⊥AB于G，則BG＝FG=12BF，由射影定理求出解：由翻折變換的性質(zhì)得：AE＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB=A設(shè)AE＝EF＝x，則BF＝13﹣2x；分三種情況討論：①當(dāng)BF＝BC時(shí)，13﹣2x＝5，解得：x＝4，∴AE＝4；②當(dāng)BF＝CF時(shí)，F(xiàn)在BC的垂直平分線上，∴F為AB的中點(diǎn)，∴AF＝BF，∴x+x＝13﹣2x，解得：x=13∴AE=13③當(dāng)CF＝BC時(shí)，作CG⊥AB于G，如圖所示：則BG＝FG=12根據(jù)射影定理得：BC2＝BG?AB，∴BG=B即12（13﹣2x）=解得：x=119∴AE=119綜上所述：當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí)，AE的長為：4或134或119故答案為：4或134或119總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、射影定理、等腰三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，需要進(jìn)行分類討論．38．（2022?東方校級模擬）如圖，矩形紙片ABCD，AD=2AB，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，把紙片如圖沿EF折疊，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，連接AA′并延長交線段CD于點(diǎn)G，則EFAG的值為2思路引領(lǐng)：過F作FH⊥AD于H，設(shè)EF交AA'于K，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，可得四邊形ABFH是矩形，即得AD：FH=2：1，由把紙片如圖沿BF折疊，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，可得△ADG∽△FHE解：過F作FH⊥AD于H，設(shè)EF交AA'于K，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，∵FH⊥AD，∴∠AHF＝90°＝∠BAD＝∠ABC，∴四邊形ABFH是矩形，∴AB＝FH，∵AD：AB=2∴AD：FH=2∵把紙片如圖沿BF折疊，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，∴EF是AA'的垂直平分線，∴∠AKE＝90°，∴∠DAG＝90°﹣∠AEK＝∠HFE，∵∠FHE＝90°＝∠D，∴△ADG∽△FHE，∴AGEF∴EFAG故答案為：22總結(jié)提升：本題考查矩形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，證明△ADG∽△FHE．39．（2022?阜新二模）如圖，將三角形ABC沿直線CB向右平移6cm得到三角形DEF，DF交AB于點(diǎn)G，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，S△ADG=22cm2，則四邊形DGBE的面積為思路引領(lǐng)：利用平移的性質(zhì)可得：BE＝AD＝6cm，BE∥AD，從而可得四邊形ABED是平行四邊形，進(jìn)而求出四邊形ABED的面積，然后利用四邊形DGBE的面積＝四邊形ABED的面積﹣△ADG的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：由平移得：BE＝AD＝6cm，BE∥AD，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴四邊形ABED的面積＝BE?AC＝6×10＝60（cm2），∵S△ADG∴四邊形DGBE的面積＝四邊形ABED的面積﹣△ADG的面積＝60﹣22＝38（cm2），故答案為：38．總結(jié)提升：本題考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．（2022?寬城區(qū)校級二模）如圖，已知矩形ABCD，AB＝18cm，AD＝10cm，在其矩形內(nèi)部有三個(gè)小矩形，則這三個(gè)小矩形的周長之和為56cm．思路引領(lǐng)：由平移的性質(zhì)將三個(gè)矩形周長之和轉(zhuǎn)化為ABCD的周長即可．解：由平移的性質(zhì)以及矩形周長的定義可知，這三個(gè)小矩形的周長之和為2AD+2AB＝56（cm），故答案為：56．總結(jié)提升：本題考查生活中的平移現(xiàn)象，掌握平移的性質(zhì)是正確解答的前提．41．（2022?思明區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（0，﹣2），將線段AB先向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度，得到線段DC，點(diǎn)A與點(diǎn)D為對應(yīng)點(diǎn)．點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，且S△ACP=14S四邊形ABCD，則滿足要求點(diǎn)P的坐標(biāo)為思路引領(lǐng)：根據(jù)平移的性質(zhì)求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出四邊形ABCD的面積，確定△ACP的面積后，再根據(jù)點(diǎn)P在y軸上，進(jìn)而求出其坐標(biāo)即可．解：∵A（1，0），B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，又∵將線段AB先向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度，得到線段DC，∴點(diǎn)C（3，0），D（4，2），∴S四邊形ABCD＝2S△ABC＝2×1∵S△ACP=14S四邊形∴S△ACP＝1，∵點(diǎn)P在y軸上，∴12×2×|∴y＝±1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣1），故答案為：（0，1）或（0，﹣1）．總結(jié)提升：本題考查平移變換，掌握平移變換的性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．42．（2022?利州區(qū)校級模擬）如圖，直角三角形AOB的周長為98，在其內(nèi)部有n個(gè)小直角三角形，則這n個(gè)小直角三角形的周長之和為98．思路引領(lǐng)：小直角三角形與AO平行的邊的和等于AO，與BO平行的邊的和等于BO，則小直角三角形的周長等于直角△ABO的周長，據(jù)此即可求解．解：如圖所示：過小直角三角形的直角定點(diǎn)作AO，BO的平行線，所得四邊形都是矩形．則小直角三角形的與AO平行的邊的和等于AO，與BO平行的邊的和等于BO．因此小直角三角形的周長等于直角△ABC的周長．故這n個(gè)小直角三角形的周長為98．故答案為：98．總結(jié)提升：本題主要考查了平移和矩形的性質(zhì)，正確理解小直角三角形的周長等于直角△ABC的周長是解題的關(guān)鍵．43．（2022?長春模擬）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，22），將該三角形沿x軸向右平移得到Rt△O′A′B′，此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（22，22），則線段OA在平移過程中掃過部分的圖形面積為4．思路引領(lǐng)：利用平移的性質(zhì)得出AA′的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AA′對應(yīng)的高，再結(jié)合平行四邊形面積公式求出即可．解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，22），將該三角形沿x軸向右平移得到Rt△O′A′B′，此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（22，22），∴AA′＝BB′＝22，∵△OAB是等腰直角三角形，∴A（2，2），∴AA′對應(yīng)的高2，∴線段OA在平移過程中掃過部分的圖形面積為22×故答案為：4．總結(jié)提升：此題主要考查了平移變換、等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊面積求法，利用平移規(guī)律得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．44．（2023?沁陽市模擬）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=23，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，且BP＝1，將BP繞點(diǎn)B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接AQ，DQ．當(dāng)∠ADQ＝90°時(shí)，AQ的長為7或19思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在BD上時(shí)，先根據(jù)勾股定理求出BD＝3，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BQ＝1，則QD＝2，再根據(jù)勾股定理即可求解；②當(dāng)點(diǎn)Q在BD的反向延長線上時(shí)，先根據(jù)勾股定理求出BD＝3，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BQ＝1，則QD＝4，再根據(jù)勾股定理即可求解．解：∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，∴可分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)Q在BD上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)Q在BD的反向延長線上時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)Q在BD上時(shí)，如圖，∵在等邊三角形ABC中，AB=23，點(diǎn)D為AC∴∠ADB＝90°，AD=3在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=A∵BP＝1，將BP繞點(diǎn)B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，∴BQ＝1，∴QD＝BD﹣BQ＝2，在Rt△AQD中，由勾股定理得AQ=A②當(dāng)點(diǎn)Q在BD的反向延長線上時(shí)，如圖，∵在等邊三角形ABC中，AB=23，點(diǎn)D為AC∴∠ADB＝90°，AD=3在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=A∵BP＝1，將BP繞點(diǎn)B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，∴BQ＝1，∴QD＝BD+BQ＝4，在Rt△AQD中，由勾股定理得AQ=A綜上，AQ的長為7或19．故答案為：7或總結(jié)提升：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解題意，利用分類討論思想解決問題．45．（2023?立山區(qū)一模）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，AB＝6，AD＝4，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，MN的最大值為53思路引領(lǐng)：分析題意可知，點(diǎn)M是在以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，連接AN，AM，以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心作圓，反向延長AN與圓交于點(diǎn)M′，以此得到M、A、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN的值最大，再根據(jù)勾股定理分別算出AM、AN的值，則MN的最大值M′N＝AN+AM′＝AN+AM．解：連接AN，AM，以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心作圓，反向延長AN與圓交于點(diǎn)M′，如圖，∵△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)M是在以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AM+AN≥MN，∴當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到M′，即M、A、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN的值最大，最大為M′N，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，AB＝6，AD＝4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，在Rt△ABN中，由勾股定理得AN=A在Rt△ADM中，由勾股定理得AM=A根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AM′＝AM=23∴M′N＝AN+AM′=53，即MN的最大值為5故答案為：53總結(jié)提升：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵在于確定點(diǎn)M是在以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)．46．（2023?紅花崗區(qū)校級一模）如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°＜a＜120°）得到線段AD，連接CD，CD與AB交于點(diǎn)G，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且DF＝2CF，則∠AEC＝60°，連接AF，則BF的最小值為63．思路引領(lǐng)：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形得：AD＝AC＝AB，∠BAC＝60°，最后由角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)可得∠AEC的度數(shù)；接下來作輔助線，構(gòu)建等腰三角形和相似三角形，先證明FH＝CH＝2，再證明△FHM∽△AHF，得FM=12AF，確定當(dāng)B、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，BF+FM＝BF+解：∵將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，如圖1，∴∠BAD＝α，AB＝AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝60°，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠ACD+∠BAE＝∠CDA+∠DAE＝∠AEC，又∵∠AEC+∠ACD+∠BAE+∠BAC＝180°，∴∠AEC＝60°；如圖2，過F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中點(diǎn)M，連接FM，則AM＝CM＝3，∴△CFH∽△CDA，∴CFCD∵DF＝2FC，∴FH6∴CH＝FH＝2，∴MH＝3﹣2＝1，∵FHAH=2∴FHAH∵∠FHM＝∠AHF，∴△FHM∽△AHF，∴FMAF∴FM=12∴當(dāng)B、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，BF+FM＝BF+12AF的長最小，如圖3，此時(shí)BM⊥∴BM=62?∵AF+2BF＝2（12AF+BF）＝2BM∴AF+2BF的最小值是63．故答案為：60，63．總結(jié)提升：本題考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形，確定FM=1247．（2023?仙桃校級一模）如圖，正方形ABCD的邊長是5，E是邊BC上一點(diǎn)且BE＝2，F(xiàn)為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右作等邊三角形EFG，連接CG，則CG長的最小值為72思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)，將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG，∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，∴△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值，作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴PC=12則CM＝MP+CP＝HE+12EC＝2∴CG長的最小值為72故答案為：72總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是極值問題中比較典型的類型．48．（2022?東勝區(qū)一模）如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AE=13AC，BF=13BC，將△ECF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△MCN，連接AM、BN．當(dāng)MA∥CN時(shí)，cosα＝思路引領(lǐng)：當(dāng)MA∥CN時(shí)，∠ACN＝∠CAM，由∠ACN+∠ACM＝90°，得到∠CAM+∠ACM＝90°，所以cosα=CM解：∵AE=13∴CE=23∵M(jìn)A∥CN，∴∠ACN＝∠CAM，∵∠ACN+∠ACM＝90°，∴∠CAM+∠ACM＝90°，∴∠AMC＝90°，∴cosα=CM故答案為：23總結(jié)提升：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的判定、平行線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，難度適中，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．49．（2022?香洲區(qū)校級三模）如圖正方形ABCD的邊長為3，E是BC上一點(diǎn)且CE＝1，F(xiàn)是線段DE上的動(dòng)點(diǎn)．連接CF，將線段CF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接EG，則EG的最小值是105思路引領(lǐng)：圖，作直線BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因?yàn)椤螩DF是定值，推出點(diǎn)G在直線BG上運(yùn)動(dòng)，且tan∠CBG＝tan∠CDF=CECD=13，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG解：如圖，作直線BG．∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG＝∠DCF，∵CG＝CF，∴△CBG≌△CDF（SAS），∴∠CBG＝∠CDF，∵∠CDF是定值，∴點(diǎn)G在直線BG上運(yùn)動(dòng)，且tan∠CBG＝tan∠CDF=CE根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG⊥BG時(shí)，EG的長最短，此時(shí)tan∠EBG=GEBG=13，設(shè)EG＝m在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，∴m=10∴EG的最小值為105故答案為：105總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．50．（2022?韶關(guān)模擬）如圖，已知正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AE，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到EF，連接CF，連接AF與CD相交于點(diǎn)G，連接DF，當(dāng)DF最小時(shí)，四邊形CEGF的面積是43思路引領(lǐng)：通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，可得∠AEF＝∠ACF＝90°，可求∠DCF的度數(shù)，由相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求CG，CE，CH的長，由三角形的面積公式可求解．解：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∵將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴∠AFE＝∠ACE，∴點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，∴∠AEF＝∠ACF＝90°，∴∠DCF＝45°，∴當(dāng)DF⊥CF時(shí)，DF有最小值，過點(diǎn)F作NH∥CD，交AD的延長線于N，BC的延長線于H，∵DF⊥CF，∠DCF＝45°，∴∠FDC＝∠FCD＝45°，∴FD＝FC，∵AB＝CD＝AD＝BC＝2，∴DF＝FC=2∵NH∥CD，∴∠NFD＝∠FDC＝45°，∠HFC＝∠FCD＝45°，∠N＝∠ADC＝90°＝∠BCD＝∠H，∴NF＝DN＝1，F(xiàn)H＝CH＝1，∵DC∥NH，∴△ADG∽△ANF，∴ADAN∴22+1∴DG=