河北省南宮中學等四校2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

河北省南宮中學等四校2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線過點，，則直線的方程為（）A. B.C. D.2．設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.3．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.1444．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.5．對于實數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離7．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A. B.C. D.8．已知，，，，則（）A. B.C. D.9．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.10．準線方程為的拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.11．已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．在等比數(shù)列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過圓內(nèi)的點作一條直線，使它被該圓截得的線段最長，則直線的方程是______14．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計公報顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進出口總額x，y滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計劃2022年出口總額達到5千億元，預計該年進口總額為______千億元15．若圓的一條直徑的端點是、，則此圓的方程是_______16．若不等式的解集是，則的值是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）當，時，求中含項的系數(shù)；（2）用、表示，寫出推理過程18．（12分）某校高二年級全體學生參加了一次數(shù)學測試，學校利用簡單隨機抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數(shù)學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.19．（12分）如圖，ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2（1）證明：AC∥平面BEF；（2）求點C到平面BEF的距離20．（12分）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)左、右頂點分別為、，點在橢圓上（異于點、），求的值；（3）過點作一條直線與橢圓交于兩點，過作直線的垂線，垂足為.試問：直線與是否交于定點？若是，求出該定點的坐標，否則說明理由.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知菱形的頂點和所在直線的方程為.（1）求對角線所在直線的一般方程；（2）求所在直線的一般方程.22．（10分）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過，兩點.（1）求圓C的標準方程.（2）設(shè)直線與圓C交于A，B（異于坐標原點O）兩點，若以AB為直徑的圓過原點，試問直線l是否過定點？若是，求出定點坐標；若否，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.【詳解】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即故選：C2、C【解析】先由圖像分析出的正負，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當時,;當x∈(0,2)時,.因為可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C3、B【解析】利用等差數(shù)列下標和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，，解得，.故選：B.4、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點在y軸上的雙曲線所以，即故選：B5、D【解析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【詳解】若，令，，，，，故A錯誤；若，令c=0，則，故B錯誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯誤；∵，故，根據(jù)不等式運算規(guī)則，在不等式的兩邊同時乘以或除以一個正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.6、C【解析】寫出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發(fā)現(xiàn)與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標準方程為：，所以圓心坐標為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，所以兩圓相外切故選：C7、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達式，再計算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線的離心率為，則有，所以.故選：D8、D【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.【詳解】因為，故，故，又，在上的增函數(shù)，故，故，故選：D.9、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B10、D【解析】的準線方程為.【詳解】的準線方程為.故選：D.11、B【解析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B12、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】當直線l過圓心時滿足題意，進而求出答案.【詳解】圓的標準方程為：，圓心，當l過圓心時滿足題意，，所以l的方程為：.故答案為：.14、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點，代入即可求得，取可求出該年進口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點，由，解得，此時，，當時，即，解得，所以，預計該年進口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6515、【解析】先設(shè)圓上任意一點的坐標，然后利用直徑對應的圓周角為直角，再利用向量垂直建立方程即可【詳解】設(shè)圓上任意一點的坐標為可得：，則有：，即解得：故答案為：16、【解析】利用和是方程的兩根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出和的值，即可得的值.【詳解】由題意可得：方程的兩根是和，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，所以，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），過程見解析【解析】（1）寫出函數(shù)的解析式，利用二項式定理可求得函數(shù)中含項的系數(shù)；（2）利用錯位相減法化簡函數(shù)的解析式，求出解析式中含項的系數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)公式化簡可得結(jié)果.【小問1詳解】解：當，時，，的展開式通項為，此時，函數(shù)中含項的系數(shù)之和為.【小問2詳解】解：因為，①則，②①②得，所以，，而為中含項的系數(shù)，而函數(shù)中含項的系數(shù)也可視為中含項的系數(shù)，故，且，故.18、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中隨機抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，進而求出平面BEF的法向量，然后證明線面平行；（2）算出在向量方向上的投影，進而求得答案.【小問1詳解】因為DE⊥平面ABCD，DA、DC平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，因為ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D為坐標原點，所在方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，0，2)，F(xiàn)(2，0，1)，所以，，設(shè)平面BEF的法向量，因為，所以－2x－2y＋2z＝0，－2y＋z＝0，令y＝1，則＝(1，1，2)，又因為＝(－2，2，0)，所以，即，而平面BEF，所以AC∥平面BEF.【小問2詳解】設(shè)點C到平面BEF的距離為d，而，所以，所以點C到平面BEF的距離為20、（1）；（2）；（3）是，.【解析】（1）由題意，列出所滿足的等量關(guān)系式，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，求得，從而求得橢圓的方程；（2）寫出，設(shè)，利用斜率坐標公式求得兩直線斜率，結(jié)合點在橢圓上，得出，從而求得結(jié)果；（3）設(shè)直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，結(jié)合韋達定理，得到，結(jié)合直線的方程，得到直線所過的定點坐標.【詳解】（1）由題意可知，，又，所以，所以橢圓的標準方程為：.（2）,設(shè)，因為點在橢圓上，所以，，又，.（3）設(shè)直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，所以，所以，又直線的方程為：，令，則，所以直線恒過，同理，直線恒過，即直線與交于定點.【點睛】思路點睛：該題考查是有關(guān)橢圓的問題，解題思路如下：（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，建立方程組求得橢圓方程；（2）根據(jù)斜率坐標公式，結(jié)合點在橢圓上，整理求得斜率之積，可以當結(jié)論來用；（3）將直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，結(jié)合直線方程，求得其過的定點.21、（1）（2）【解析】（1）首先求的中點，再利用垂直關(guān)系求直線的斜率，即可求解；（2）首先求點的坐標，再求直線的斜率，求得直線的斜率，利用點斜式直線方程，即可求解.【小問1詳解】由和得：中點四邊形為菱形，，且中點，對角線所在直線方程為：，即：.【小問2