江蘇鎮(zhèn)江市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

江蘇鎮(zhèn)江市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓心，半徑為的圓的方程是（）A. B.C. D.2．設(shè)，，，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.3．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，已知向量，，且，則A.12 B.10C.5 D.4．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°5．（2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.6．如圖，四面體-，是底面△的重心，，則（）A B.C. D.7．在數(shù)列中，，則等于A. B.C. D.8．若數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.9．傾斜角為45°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝010．?dāng)?shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱(chēng)它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個(gè)六邊形數(shù)為（）A.153 B.190C.231 D.27611．如圖所示，向量在一條直線上，且則()A. B.C. D.12．給出下列結(jié)論：①如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.2，則的平均數(shù)和方差分別為14和1.8；②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1．③對(duì)A、B、C三種個(gè)體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個(gè)體有15個(gè)，則樣本容量為30．則正確的個(gè)數(shù)是（）.A.3 B.2C.1 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.14．設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則的最大值為_(kāi)__________.15．在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)且法向量的平面方程為，經(jīng)過(guò)且方向向量的直線方程為閱讀上面材料，并解決下列問(wèn)題：給出平面的方程，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，則直線l與平面所成角的余弦值為_(kāi)__________.16．當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，則以點(diǎn)C為圓心，半徑為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形是一塊邊長(zhǎng)為4km正方形地域，地域內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過(guò)的路線是以中點(diǎn)為頂點(diǎn)且開(kāi)口向右的拋物線的一部分（河流寬度忽略不計(jì)），某公司準(zhǔn)備投資一個(gè)大型矩形游樂(lè)場(chǎng).（1）設(shè)，矩形游樂(lè)園的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系；（2）試求游樂(lè)園面積的最大值.18．（12分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°.（I）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.20．（12分）已知函數(shù)在處有極值，且其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的解析式；（2）求在的最值.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)且不平行于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記直線斜率為，直線的斜率為，證明：為定值；（3）軸上是否存在點(diǎn)，使得為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)圓心坐標(biāo)及半徑，即可得到圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑為，所以圓的方程為:.故選：D.2、B【解析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷B的正誤.【詳解】對(duì)于A中，令，，，，滿(mǎn)足，，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)?，所以由不等式的可加性，可得，所以，故B正確；對(duì)于C中，令，，，，滿(mǎn)足，，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，令，，，，滿(mǎn)足，，但，故D錯(cuò)誤故選：B3、C【解析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出【詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝故選C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及其對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題4、B【解析】以為空間的一個(gè)基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B5、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問(wèn)題，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.6、B【解析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B7、D【解析】分析：已知逐一求解詳解：已知逐一求解．故選D點(diǎn)睛：對(duì)于含有的數(shù)列，我們看作擺動(dòng)數(shù)列，往往逐一列舉出來(lái)觀察前面有限項(xiàng)的規(guī)律8、C【解析】利用前項(xiàng)積與通項(xiàng)的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：C.9、B【解析】由題意，，所以，即，故選B10、C【解析】細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)聯(lián)系相關(guān)知識(shí),如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項(xiàng)為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：C11、D【解析】根據(jù)向量加法的三角形法則得到化簡(jiǎn)得到故答案為D12、B【解析】對(duì)結(jié)論逐一判斷【詳解】對(duì)于①，則的平均數(shù)為，方差為，故①正確對(duì)于②，若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故②錯(cuò)誤對(duì)于③，對(duì)A、B、C三種個(gè)體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個(gè)體有15個(gè)，則樣本容量為，故③正確故正確結(jié)論為2個(gè)故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、∪【解析】根據(jù)題意得出且與不共線，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義及向量共線的條件求出x的取值范圍.【詳解】∵與的夾角為鈍角，且與不共線，即，且，解得，且，∴x的取值范圍是∪.故答案為：∪.14、【解析】根據(jù)線性約束條件畫(huà)出可行域，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)直線在軸上截距最大時(shí)即可求出答案.【詳解】畫(huà)出可行域，如圖，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值，且最大值為.故答案為：.15、##【解析】根據(jù)材料結(jié)合已知條件求得平面的法向量以及直線的方向向量，即可用向量法求得線面角.【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠?，不妨令，則，故其過(guò)點(diǎn),設(shè)其法向量為，根據(jù)題意則，即，又平面的方程為，則，不妨取，則，則平面的法向量；經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，不妨取，則，則該直線過(guò)點(diǎn)，則直線的方向向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.又，故，即直線l與平面所成角的余弦值為.故答案為：.16、【解析】先求得直線過(guò)的定點(diǎn)C，再寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】直線可化為，則，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，所以以點(diǎn)C為圓心，半徑為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線的方程，利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的面積為即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入方程可得，解得，則拋物線方程為，由已知得，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，【小問(wèn)2詳解】，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)時(shí)，有最大值，18、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而求得的值.【小問(wèn)1詳解】由，得，令，得或；令，得.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問(wèn)2詳解】∵，∴.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.∴的極小值為，極大值為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又∵函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)的值為.19、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問(wèn)，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標(biāo)系解出正弦值.試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長(zhǎng)AB，DC，相交于點(diǎn)M（M∈平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（說(shuō)明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接PH.易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過(guò)A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A為原點(diǎn)，以,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由得設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα==.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.考點(diǎn)：線線平行、線面平行、向量法.20、（1）（2），【解析】（1）由與解方程組即可得解；（2）求導(dǎo)后得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值后，比較端點(diǎn)值即可得解.【詳解】（1）求導(dǎo)得，處有極值，即，又圖象過(guò)點(diǎn)，代入可得..（2）由（1）知，令得又，.列表如下：0230+4↘極小值↗1在時(shí)，，.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由橢圓所過(guò)點(diǎn)及離心率，列方程組，再求解即得；（2）設(shè)出點(diǎn)A，B坐標(biāo)并列出它們滿(mǎn)足的關(guān)系，利用點(diǎn)差法即可作答；（3）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，借助韋達(dá)定理求得，，再結(jié)合為等邊三角形的條件即可作答.【詳解】（1）顯然，半焦距c有，即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，，，由(1)知，，兩式相減得，即，而弦的中點(diǎn)，則有，所以；（3）假定存在符合要求的點(diǎn)P，由(1)知，設(shè)直線的方程為，由得：，則，，于是得，從而得點(diǎn)，，因?yàn)榈冗吶切危从?，，?/p>