2023-2024 學年湖南省長沙市雅禮教育集團八年級（上）期中數(shù)學試卷含答案

2023-2024學年湖南省長沙市雅禮教育集團八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共

10

個小題，每小題

3

分，共

30

分）1．（3

分）2023

年

9

月

23

日至

10

月

8

日，第

19

屆亞運會在杭州成功舉辦，此次亞運會在規(guī)模、項目、覆蓋面、商業(yè)價值等方面都創(chuàng)造了多個“歷史之最”．如圖運動圖標中，是軸對稱圖形的是(

)【解答】解：

A

、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B

、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C

、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D

、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：

A

．2．（3

分）下列運算結果正確的是(

)A．

xxx

448

+=

2B．()

xyxy

?=?

222C．

?+=?+

xxyxxy

()

23D．

aaa

235

?=【解答】解：

xxx

444

+=

2

，故

A

錯誤，不符合題意；()2

xyxxyy

?=?+

222

，故

B

錯誤，不符合題意；?+=??

xxyxxy

()

23

，故C

錯誤，不符合題意；235aaa

?=

，故

D

正確，符合題意；故選：

D

．3．（3

分）如圖，已知∠=∠=°

CC1

90

，能直接用“

HL

”判定

RtABCRt

??

△

ABC

111的條件是(

)A．∠=∠

CC1，

ABAB

=

11B．

ABAB

=

11

，

ACAC

=

11第2頁（共18頁）C．

ACAC

=

11，

BCBC

=

11D．∠=∠

BB1，

BCBC

=

11【解答】解：

A

．

AB

和

AB11是一對斜邊，缺少一對直角邊相等，∴不能利用“

HL

”判定RtABCRt

??△

ABC

111，故此選項不符合題意；B

．

AB

和

AB11是一對斜邊，

AC

和

AC11

是一對直角邊，∴能利用“

HL

”判定

RtABCRt

??

△

ABC

111，故此選項符合題意；C

．

AC

和

AC11

是一對直角邊，BC

和

BC11

是另一對直角邊，∴不能利用“

HL

”判定

RtABCRt

??

△

ABC

111，故此選項不符合題意；D

．BC

和

BC11

是一對直角邊，缺少一對斜邊相等，∴不能利用“

HL

”判定

RtABCRt

??

△

ABC

111，故此選項不符合題意；故選：

B

．4．（3

分）如圖，?ABC

為等邊三角形，

AMCN

//

．若∠=°

BAM

25

，則∠=

BCN

(

)A．65°B．60°C．

45°D．35°【解答】解：?ABC

是等邊三角形，∴∠=∠=°

BACACB

60

，

AMCN

//

，∴∠+∠=°

MACCAM

180

，∴∠+∠+∠+∠=°

BAMBACACBBCN

180

，即

256060

°+°+°+∠=°

BCN

180

，∴∠=°

BCN

35

．故選：

D

．5．（3

分）如圖，A

、B

是兩個居民小區(qū)，快遞公司準備在公路l

上選取點

P

處建一個服務中心，使

PAPB

+最短．下面四種選址方案符合要求的是(

)第3頁（共18頁）【解答】解：根據(jù)題意得，在公路l

上選取點

P

，使

PAPB

+

最短．則選項

A

符合要求，故選：

A

．6．（3

分）若(2)(3)

xxxmxn

?+=++

2

，則

m

、

n

的值分別是(

)A．

m

=1，

n

=

6B．m

=1，

n

=?6C．

m

=

5

，n

=?6

D．

m

=

5

，

n

=

6【解答】解：(2)(3)

xx

?+=+?

xx

2

6，∴=

m

1，

n

=?6

，故選：

B

．7．（3

分）課堂上老師在黑板上布置了如框所示的題目，小南馬上發(fā)現(xiàn)了其中有一道題目錯了，你知道錯的是哪道題目嗎？(

)用平方差公式分解下列各式：（1）

ab

22

?（2）??

xy

22（3）

?+

x2

9（4）

425

mn

22

?A．第（1）道題B．第（2）道題C．第（3）道題D．第（4）道題【解答】解：（1）

ababab

22

?=+?

()()

，它是利用平方差公式因式分解的；（2）

??=?+

xyxy

2222

()

，它不能利用平方差公式因式分解的；（3）

?+=??=+?

xxxx

222

9(3)(3)(3)，它利用平方差公式因式分解的；第4頁（共18頁）（4）

425(25)(25)

mnmnmn

22

?=+?

，它是利用平方差公式因式分解的；綜上，第（2）道題錯誤，故選：

B

．8．（3

分）如果

xax

2

++16是一個完全平方式，則

a

的值是(

)A．

±4B．4C．

±8D．8【解答】解：

xax

2

++16

是完全平方式，∴=±?

axx

24

．∴=±

axx8

．∴=±

a

8．故選：C

．9．（3

分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪的三個頂點的距離相等，涼亭的位置應選在(

)A．

?ABC

三邊的垂直平分線的交點B．

?ABC

的三條中線的交點C．

?ABC

三條角平分線的交點D．

?ABC

三條高所在直線的交點【解答】解：涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭選擇

?ABC

三邊的垂直平分線的交點．故選：

A

．10．（3

分）如圖，已知∠=°

AOB

120

，點

D

是∠AOB

的平分線上的一個定點，點

E

，F(xiàn)

分別在射線OA和射線OB

上，且∠=°

EDF

60

．下列結論：①

?DEF

是等邊三角形；②四邊形

DEOF

的面積是一個定值；③當

DEOA

⊥

時，

?DEF

的周長最??；④當

DEOB

//

時，

DF

也平行于OA．其中正確的個數(shù)是(

)第5頁（共18頁）點

D

是∠AOB

的平分線上的一點，∴=

DMDN

，∠=°

AOB

120

，∠=∠=°

DNODMO

90

，∴∠=°

MDN

60

，∠=°

EDF

60

，∴∠=∠

EDNFDM

，∴???

DENDFMASA

()，∴=

DEDF

，∴?DEF

是等邊三角形；故①正確；SS

??

DEMDFN

=

，∴+=+

SSSS

??

DEM

四邊形DEON

四邊形DEONDFN

，即

SS

四邊形DEOF

=

四邊形DMON

，點

D

是∠AOB

的平分線上的一個定點，∴四邊形

DMON

的面積是一個定值，∴四邊形

DEOF

的面積是一個定值，故②正確；DEOA

⊥

，∴點

E

與

N

重合，垂線段最短，∴DE

的值最小，當

DE

最小時，

?DEF

的周長最小，∴當

DEOA

⊥

時，

DE

最小，

?DEF

的周長最小，故③正確，DEOB

//

，∠=∠=°

DDFB

60

，∠=°

AOB

120

，∴∠≠∠

DFBAOB

，∴DF

一定與OA不平行，故④錯誤．故選：C

．二、填空題（本大題共

6

個小題，每小題

3

分，共

18

分）11．（3

分）分解因式：

aba

?=

ab(1)

?

．【解答】解：

abaab

?=?

(1)

．故答案為：

ab(1)

?

．12．（3

分）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中

ABAC

=

，立柱

ADBC

⊥

于

D

，若

BD

=

8

米，則

BC

=16

米．【解答】解：

ABAC

=

，

ADBC

⊥

，∴==

CDBD

8米，∴==

BCBD

216米，故答案為：16．13．（3

分）若(3)|6|0

ab

?+?=

2

，則以a

、b

為邊長的等腰三角形的周長是

15

．【解答】解：由(3)|6|0

ab

?+?=

2

，得：

a

?=

30

，60

?=

b

，解得a

=

3

，b

=

6

，當

3

為腰時，336

+=

，不能構成三角形；當

6

為腰時，369

<<

，能構成三角形，周長為66315

++=

．第6頁（共18頁）第7頁（共18頁）故答案為：15．14．（3

分）已知am

=

3

，

an

=

5，則

amn?

=35．【解答】解：am

=

3，

an

=

5，∴amn?=÷

aa

mn=÷353=

5，故答案為：

35．15．（3

分）如圖，等邊三角形

ABC

的三個頂點都在坐標軸上，

A(3,0)

?

，過點

B

作

BDAB

⊥

，交

x

軸于點D

，則點

D

的坐標為

(9,0)

．【解答】解：

A(3,0)

?

，∴=

OA

3，?ABC

是等邊三角形，OBAC

⊥

，∴==

OCOA

3，∴==

ACBC

6

，

∠=∠=°

ACBABC

60

，BDAB

⊥

，∴∠=∠?∠=°

CBDABDABC

30

，∴∠=∠?∠=°

BDCACBDBC

30

，∴∠=∠

BDCCBD

，∴==

CDBC

6

，∴=+=

ODOCCD

9

，∴點

D

的坐標(9,0)

．故答案為：(9,0)

．16．（3

分）如圖所示，在等腰

?ABC

中，ABAC

=

，∠=°

B

50

，D

為

BC

的中點，點

E

在

AB

上，∠=°

AED

70

，若點

P

是等腰

?ABC

的腰

AC

上的一點，則當

?EDP

為等腰三角形時，∠EDP

的度數(shù)是

140°

或100°

或70°*（

）

．【解答】解：

ABAC

=

，∠=°

B

50

，∠=°

AED

70

，∴∠=°

EDB

20

，當

?DEP

是以

DE

為腰的等腰三角形，①當點

P

在

P1位置時，

ABAC

=

，

D

為

BC

的中點，∴∠=∠

BADCAD

，過

D

作

DGAB

⊥

于G

，

DHAC

⊥

于

H

，∴=

DGDH

，在

RtDEG

?

與

Rt

△

DPH1

中，DEDP

=

1，

DGDH

=

，∴??

RtDEGRt

△

DPHHL

1

()

，∴∠=∠=°

APDAED

1

70

，∠=°?°?°=°

BAC

180505080

，∴∠=°

EDP1

140

，②當點

P

在

P2

位置時，同理證得

RtDEGRt

??

△

DPHHL

2

()

，第8頁（共18頁）第9頁（共18頁）∴∠=∠

EDGPDH

2

，∴∠=∠=°?°=°

EDPGDH

2

18080100

，③當點

P

與點

A

重合時，

?EDP

是等腰三角形，

ABAC

=

，∠=°

B

50

，∴∠=°

BAC

80

，∴∠=

EAD

40

，18040702∴∠==°

EDP°?°

，綜上∠EDP

的度數(shù)為140°

或100°

或70°．故答案為：140°

或100°

或70°．三、解答題（本大題共

9

個小題，第

17、18、19

題每題

6

分，第

20、21

題每題

8

分，第

22、23

題每題9

分，第

24、25

題每題

10

分，共

72

分，解答題應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6

分）計算：

162023|12|8

?+??

03

．【解答】解：

162023|12|8

?+??

03=?+??

41212=

2

．18．（6

分）先化簡，再求值：()()()()

abaabababab

???++÷

2222

，其中

a

=

2，b

=?1．【解答】解：原式

=?+?+++

aabbaabaab

222

2=+

ba

2

，當

a

=

2，b

=?1時，原式

=?+=

(1)23

2

．19．（6

分）已知：方格紙中的每個小方格都是邊長為

1

個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，?ABC的頂點均在格點上，點

A

的坐標為(1,4)

?

．（1）直接寫出?ABC

的面積

S?ABC

=

6

；（2）已知?ABC

與△

ABC

111關于

y

軸對稱，請在坐標系中畫出△

ABC

111；（3）點

Pab

(,)

與點

A(1,4)

?

關于

x

軸對稱，求

2ab

?

的值．【解答】解：（1）

14362S?ABC

=××=

．故答案為：6．（2）如圖，△

ABC

111即為所求．（3）點

Pab

(,)

與點

A(1,4)

?

關于

x

軸對稱，∴=

a

1，b

=

4

．∴?=?=?

2242

ab

．20．（8

分）如圖，已知?ABC

和

?ADE

，

ABAD

=

，∠=∠

BADCAE

，∠=∠

BD

，

AD

與

BC

交于點

P

，點C

在

DE

上．第11頁（共18頁）（1）求證：

ACAE

=

；（2）若∠=°

B

25

，∠=°

APC

65

，求∠E

的度數(shù)．【解答】（1）證明：∠=∠

BADCAE

，∴∠+∠=∠+∠

BADDACCAEDAC

，即∠=∠

BACDAE

，在

?BAC

和?DAE

中，BDABADBACDAE∠=∠=∠=∠，∴???

BACDAEASA

()

，∴=

ACAE

；（2）解：∠=°

B

25

，∠=°

APC

65

，∴∠=∠?∠=°?°=°

BAPAPCB

652540

，又∠=∠

BADCAE

，∴∠=°

CAE

40

，由（1）知

ACAE

=

，11(180)(18040)7022∴∠=∠=×°?∠=×°?°=°

EACECAE

．21．（8

分）小雅同學計算一道整式除法：(axybxyxy

3223

+÷)(2)

，由于她把除號錯寫成了乘號，得到的結果為128

xyxy

4334

?

．（1）直接寫出a

、b

的值：

a

=

6

，b

=

；（2）這道除法計算的正確結果是；（3）若

xy

=?5，327

xy

?=

，計算（2）中代數(shù)式的值．【解答】解：（1）(axybxyxyaxybxyxyxy

3223

+?=+=?

)(2)22128

43344334

，∴=

212

a

，

28

b

=?

，∴=

a

6

，b

=?4；故答案為：6，

?4

；（2）(64)(2)32

xyxyxyxyxy

3223

?÷=?

22

；故答案為：32

xyxy

22

?

；（3）32(32)

xyxyxyxy

22

?=?

，

xy

=?5，327

xy

?=

，∴原式

=?×=?

5735

．22．（9

分）如圖，在?ABC

中，DE

垂直平分

AB

，分別交

AB

、BC

于點

D

、E

，AE

平分

∠BAC

，∠=°

B

30

．（1）求∠C

的度數(shù)；（2）若

DE

=

2

，求

BC

的長．【解答】解：（1）DE

是邊

AB

上的垂直平分線，∴=

AEBE

，∴∠=∠=°

BBAE

30

．

AE

平分∠BAC

，∴∠=∠=°

BAEEAC

30

，∴∠=∠+∠=°+°=°

BACBAEEAC

303060

，∴∠=°?∠?∠=°?°?°=°

CBACB

180180603090

；（2）

AE

平分∠BAC

，∠=°

ACB

90

，

DEAB

⊥

，∴==

ECED

2

，DE

垂直平分

AB

，∴∠=°

BDE

90

．在

?BDE

中，∠=°

BDE

90

．∠=°

B

30

．∴==

BEDE

24

．∴=+=+=

BCBEEC

42623．（9

分）在課后服務課上，老師準備了若干張如圖

1

的三種紙片，

A

種紙片是邊長為

a

的正方形，B

種第12頁（共18頁）第13頁（共18頁）紙片是邊長為b

的正方形，C

種紙片是長為b

，寬為

a

的長方形，并用

A

種紙片一張，B

種紙片一張，C

種紙片兩張拼成如圖

2

的大正方形．【發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)圖

2，寫出一個我們熟悉的數(shù)學公式

()2

abaabb

+=++

222

；【應用】（2）根據(jù)（1）中的數(shù)學公式，解決如下問題：①已知：

ab

+=

7，

ab

22

+=

29

，求

ab的值；②如果一個長方形的長和寬分別為(11)

?

x

和(4)

x

?

，且(11)(4)30

?+?=

xx

22

．求這個長方形的面積．【解答】解：（1）由圖

2

可知，()2

abaabb

+=++

222

，故答案為：()2

abaabb

+=++

222

；（2）①ab

+=

7

，

ab

22

+=

29()()4929

2221022ab

=

abab

+?+?==

．②令11?=

xm

，

xn

??

4

，則

mm

22

+=

30

mn

+=

7

，()()

2222mnmnmn+?+∴=49302?=192=，即(11)(4)192??=

xx．故這個長方形的面積為192．24．（10

分）我們定義：如果兩個多項式

M

與

N

的和為常數(shù)，則稱

M

與

N

互為“對消多項式”，這個常數(shù)稱為它們的“對消值”．如

MFxx

=?+

26

2

與

Nxx

=?+?

21

2

互為“對消多項式”，它們的“對消值”為

5．（1）下列各組多項式互為“對消多項式”的是

②③

（填序號）:①32

xx

2

+

與32

x2

+

；②

x

?

6

與

?+x

2

；③

?+

52

xyxy

23

與521

xyxy

23

??

．（2）多項式

Axa

=?

()2

與多項式

Bbxxba

=??+

2

2(

，b

為常數(shù)）互為“對消多項式”，求它們的“對消值”；（3）關于

x

的多項式Cmxx

=++

2

64

與

Dmxxn

=?++

(1)()互為“對消多項式”，“對消值”為t

．若

abm

?=

，bcmn

?=

，求代數(shù)式

abcabbcact

222

++???+

2

的最小值．【解答】解：（1）3232622

xxxxx

222

+++=++

，xx

??+=?

624，?++??=?

525211

xyxyxyxy

2323

，∴①組多項式不是互為“對消多項式”，②③組多項式是互為“對消多項式”，故答案為：②③；（2）

Axaxaxa

=?=?+

()2

222

，

Bbxxb

=??+

2

2

，∴+

AB=?+??+

xaxabxxb

222

22=?+??++

(1)(22)()

bxaxab

22

，

A與

B

互為“對消多項式”，∴?=

10

b

，

??=

220

a

，解得

a

=?1，b

=1．∴+

ab

2=?+

(1)1

2=+11=

2，∴它們的“對消值”是

2；（3）Cmxx

=++

2

64

，

Dmxxnmxmnmxmn

=?++=?+???

(1)()()

2

，∴+=??+?

CDmnmxmn

(6)(4)

，C

與

D

互為“對消多項式”且“對消值”為t

，第14頁（共18頁）第15頁（共18頁）abm

?=

，bcmn

?=

，∴?=?+?=+=

acabbcmmn

()()6

，∴++???+

abcabbcact

222

21[()()()]2

2222=?+?+?+

abbcact1[()6]2(2)

2222=+++?

mmnm1[(6)6]2(2)

2222=+?++?

mmm=?+

mm

2

432=?+

(2)2828

m

2

，∴代數(shù)式

abcabbcac

222

++===+

2

的最小值是

28．25．（10

分）已知點

Aab

(,)

是平面直角坐標系中一點，且|3|690

abb

++?+=

2

，點

Bxy

(,)

是平面內一動點，

?ABC

是以

AB

為斜邊的等腰直角三角形（點

A

、

B

、C

逆時針排列）．（1）直接寫出點

A

的坐標：

A

(3,3)

?

；（2）如圖

1，當點

B

位于

x

軸正半軸上時，求證：OCBC

=

；（3）如圖

2，點

B

在第二象限內運動，?<<

30

x

，03

<<

y

，

AHx

⊥

軸于點

H

，點G

是OB

的中點．現(xiàn)在給出兩個結論：①

BGAB為定值；②∠CGH

的大小為定值，其中有且只有一個是正確的，請找出正確的結論并加以證明．【解答】（1）解：|3|690

abb