第三章：函數(shù)的概念與性質(zhì)重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)-【題型分類歸納】2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講與練(人教A版2019必修第一冊(cè))（解析版）

第三章：函數(shù)的概念與性質(zhì)重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)

重點(diǎn)題型

F題型精析

題型一函數(shù)的概念辨析

［例1］下列關(guān)于函數(shù)與區(qū)間的說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)定義域必不是空集，但值域可以是空集

B.函數(shù)定義域和值域確定后，其對(duì)應(yīng)法則也就確定了

C.數(shù)集都能用區(qū)間表示

D.函數(shù)中一個(gè)函數(shù)值可以有多個(gè)自變量值與之對(duì)應(yīng)

【答案】D

【解析】對(duì)于A,函數(shù)的定義域^值域均為非空數(shù)集，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若函數(shù)的定義域和值域均為R,

對(duì)應(yīng)法則可以是二上，也可以是尸2x,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,自然數(shù)集無(wú)法用區(qū)間表示，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由函數(shù)定義可知，一個(gè)函數(shù)值可以有多個(gè)自變量值與之對(duì)應(yīng),

D正確.

【變式1-1】下列對(duì)應(yīng)關(guān)系或關(guān)系式中是從A到B的函數(shù)的是（）

A.A=R,8qR,x2+y2=I

B.A={-1,0,1},B={1,2},—y=W+l

C.A=R,B=R，廣3尸巖

D.A=Z,B=Z,/:x->j=V2x-l

【答案】B

【解析】對(duì)于A,丁+）,2=］可化為廣土QF,

顯然對(duì)任意xwA（戶±1除外），），值不唯一,故不符合函數(shù)的定義；

對(duì)于B,符合函數(shù)的定義；

對(duì)于C,當(dāng)戶2時(shí),對(duì)應(yīng)關(guān)系無(wú)意義,故不符合函數(shù)的定義；

對(duì)于D,當(dāng)x為非正整數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)關(guān)系無(wú)意義，故不符合函數(shù)的定義.

故選：B

【變式1?2】已知集合A={0,1,2）,人{(lán)-1,1,3},下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，從A到6的函

數(shù)為（）

AJ：x-y=xB./：x-^y=x2CJ：x-y=2xD./：

x->y=2x-\

【答案】D

【解析】對(duì)A:當(dāng)>0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的y=x為0,1,2,所以選項(xiàng)A不能構(gòu)成函數(shù)；

對(duì)8:當(dāng)、=0」,2時(shí).對(duì)應(yīng)的y=V為0,1,4,所以選項(xiàng)3不能構(gòu)成函數(shù);

對(duì)C：當(dāng)x=0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的y=2%為0,2,4,所以選項(xiàng)C不能構(gòu)成函數(shù)；

對(duì)。:當(dāng)"0J2時(shí)對(duì)應(yīng)的），=2>1為_(kāi)］」,3，所以選項(xiàng)。能構(gòu)成函數(shù)；

故選：D.

【變式1-3］如圖所示，下列對(duì)應(yīng)法則，其中是函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

【答案】A

【解析】①②③這三個(gè)圖所示的對(duì)應(yīng)法則都符合函數(shù)的定義，

即A中每一個(gè)元素在對(duì)應(yīng)法則下，在8中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，

對(duì)于④⑤P的每一個(gè)元素在B中有2個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不是A到8的

函數(shù)，

對(duì)于⑥，八中的元素。3、%在8中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，，不是A到3的

函數(shù)，

綜上可知，是函數(shù)的個(gè)數(shù)為3.故選：A.

【變式1-4］下列關(guān)系中是函數(shù)關(guān)系的是（）

A.等邊三角形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)關(guān)系B.電腦的銷(xiāo)售額和利潤(rùn)的關(guān)系

C.玉米的產(chǎn)量和施肥量的關(guān)系D.日光燈的產(chǎn)量和單位生產(chǎn)成本

關(guān)系

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系的定義可得，

選項(xiàng)A中，當(dāng)?shù)冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)取一定的值時(shí),周長(zhǎng)有唯一且確定的

值與其對(duì)應(yīng)，

所以等邊三角形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)符合函數(shù)關(guān)系；

其他選項(xiàng)中，兩個(gè)量之間沒(méi)有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以不是函數(shù)關(guān)系故選:

A

【變式1?5］若函數(shù)尸/⑴的定義域"二3-2口42｝，值域?yàn)椴范??”2｝,

則函數(shù)y=/（x）的圖象可能是（）

【答案】B

【解析】A中定義域是3-2*0},不是M={x\-2<x<2},故錯(cuò)誤；

c中圖象不表示函數(shù)關(guān)系，因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)x對(duì)應(yīng)兩個(gè)y，不滿足函數(shù)定

義；

D中值域不是N={)：|O0S2}.

只有B中的定義域和值域滿足題意，且表示函數(shù)關(guān)系，符合題意.故選：

B.

題型二判斷是否為同一個(gè)函數(shù)

【例2】下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A-f(x)=￡j^,g(x)=x+lB./(x)=G\g(x)=(4J

C.f(x)=國(guó),&(%)=>/?D./(i)=Jx+l-Jx-l,g(x)=4-1

【答案】C

【解析】A.函數(shù)〃=的定義域?yàn)閧xlxwl},g(x)=x+l的定義域?yàn)镽,故

不是同一函數(shù)；

B.小)="的定義域?yàn)镽,屹)=(4)，的定義域?yàn)椤?8),故不是同

一函數(shù)；

C.”加國(guó)應(yīng)⑺二必二國(guó)的定義域都是R目解析式相同數(shù)是同一函數(shù)；

D./W=G?G的定義域?yàn)閧41x21},g(、)=Q的定義域?yàn)?/p>

{x|xNl或xM-1},

故不是同一函數(shù)，故選：C

【變式2-1]下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A./(人)=4°,g(x)="B.=,^(A)=A+1

XX—1

C.f(x)=4x^4x+\,g(x)=&_]D.f(x)=x,g(x)=(五，

【答案】A

【解析】A中，〃x)=d,月(力=；定義域都為HI"=。},

對(duì)應(yīng)關(guān)系以及值域相同，故為同一函數(shù)；

B中，〃司==，定義域?yàn)閧]*"},g(x)=x+l定義域?yàn)镽,故不是

X—1

同一函數(shù)；

C中〃(x)=GG，定義域?yàn)閧X|XN1},g(x)=Fi定義域?yàn)閧x|x之1

或x-l},

故不是同一函數(shù)；

D中，f(x)=x,定義域?yàn)镽,g(x)=(4)2定義域?yàn)棰潜?},故不是同

一函數(shù)；

故選：A

【變式2-2]下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

A./*)=/與8(工)=(1+1)2B.f@)=匚3與虱x)=

C./(外=：與晨幻=9D./(%)=Jx+3*Jx-3與身(丁)=五-9

【答案】C

【解析】對(duì)于A,f,g(x)=(x+l)2,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,即不是同一函數(shù)，

故A不正確；

對(duì)于BJ(x)=>/=?=義域?yàn)?~°°，。]g(幻=工匚7定義域?yàn)?—,0],

定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，函數(shù)不是同一函數(shù)，故B不正確；

對(duì)于C,/(力=：1,定義域?yàn)镾，0)U(0收),g(x)=g=l,定義域?yàn)?/p>

(e,0)U(0,伊)，

定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故為同一函數(shù)，故C正確;

對(duì)于D,/。)=&；^>/^:不定義域?yàn)椋?,-),g(x)=7?三定義域?yàn)?/p>

(-oo，TiQ+oo),

定義域不同,函數(shù)不是同一函數(shù)，故D不正確；故選：C

【變式2-3］下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

A.y=與kXB.y=—^y=x

X+1X

C.y=4與y=lD.y=J(x-1)2與尸X-1

【答案】A

【解析】對(duì)于A,)，=*=”的定義域?yàn)镽,k入的定義域?yàn)镽,

則兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是同一函數(shù)；

對(duì)于B,y=［=x的定義域?yàn)椴反蚬?。},y=x的定義域?yàn)镽,

則兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

對(duì)于C,廣斗的定義域?yàn)閧上叫，…的定義域?yàn)镽,

則兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

對(duì)于D,y="一廳=卜-1|和尸z的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,故不是同一函數(shù).

故選：A.

題型三求函數(shù)的定義域

［例3］函數(shù)/(“人乒^+白的定義域?yàn)?)

%—1

22

A.{x|x>Q且XH1}B.{x|x<w或X>1}

22

C.{x|-<x<l)D.且X"}

【答案】D

3工_2>02

【解析】由題得二一

X-1HU3

2

所以函數(shù)的定義域?yàn)閧xlxz；且］"}故選：D

【變式3-1】函數(shù)k筌+（2>1）°的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

【答案】C

【解析】要使函數(shù)尸窸+3-1）”有意義，

則有七'll〉解得工<3且舊,

所以其定義域?yàn)椴匪静纺浚?故選：C.

【變式3-2】已知函數(shù)加+1）的定義域?yàn)閇1,2],則〃2+3）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,2]B.[OilC.[-U]D.士川

22

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/。+1）的定義域?yàn)榭冢?],

所以14x42,則2G+143,

所以24-2戶3?3,解得0G4；,

所以“-2.13）的定義域?yàn)閇0夕，故選：B

【變式3-3】已知函數(shù)尸/3的定義域?yàn)閇-2,3],則函數(shù)片花筌的定義域?yàn)?/p>

x+1

（）

33

A.[--A]B.C.[-3,7]

22

D.[-3,-1）5-1,7]

【答案】B

【解析】由題意得：-20+"3,解得：,

由x+lw。,解得：XW-1,

故函數(shù)的定義域是卜(，T)U(T，1],故選：B.

【變式3-4】函數(shù)j(A-)=百一2X+1的定義域?yàn)镽則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是[)

A.(011)B.(-oo,-1]C.[1,+oo)D.(-8,

-1)

【答案】B

【解析】/(x)的定義域是R,貝卜如2-2共后0恒成立，

即病+2x740恒成立,則｛二；，解得加4-1,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(YO，T].故選：B.

9r-3

【變式3-5]若函數(shù)^二的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

Vox4-av+l

【答案】[0,4)

【解析】的定義域是R,則加+恒成立，

4=0時(shí)，加+0￥+1=1>0恒成立，

"。時(shí)，則不二_癡<0,解得034.

綜上，0<a<4.

故答案為：。4).

題型四求函數(shù)的解析式

【例4】已知函數(shù)/(力是一次函數(shù)，且/[/(力-4月=5恒成立，則八2)=()

A.1B,3C.7D,9

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/⑴是一次函數(shù)，且/[〃力-4打=5恒成立,

令/(x)-4x=Z,則/U)=4x+J

所以"力=4，+，=5,解得/=1,

所以/Q)=4x+1,/⑵=2x4+l=9,故選：D

【變式4-1】已知二次函數(shù)/⑺滿足/(2X+1)=4/-6X+5，求，(x)的解析式；

【答案】小)=亡-5工+9

【解析】設(shè)二次函數(shù)/3=加+區(qū)+。(。工0),

則/(2x+l)=ci(2x+l)*+Z?(2x+l)+c

=4ar24-(4fl4-2Z?)x4-(fl+Z>+c)=4x2-6x+5,

故4a=4,4a+2Z?=-6,a+Z?+c=5,解得a=l,0=-5,c=9,

故/(x)=f_5X+9.

【變式4-2]若函數(shù)/[g(切=6?3,且g(x)=2x+l,貝曠(x)等于()

A.12x+9B.6x+lC.3D.3x

【答案】D

【解析】令g(x)=2x+l=l,則A?

.-./(/)=6x￡jl+3=3/z即/(x)=3x故選：D.

【變式4-3】設(shè)函數(shù)小+￡|=2?1,則/(x)的表達(dá)式為()

A(、川B.E(Z)

【答案】B

【解析】令/=1+；("1),則可得戶土(〃1)

所以/(￡)=言+1=白("1)，所以“力=片。=1)，故選：B

Z-1I—1A—1

【變式4-4］若對(duì)任意實(shí)數(shù)匕均有，(X)-2/(T)=9X+2,求/(X).

【答案】3x-2.

【解析】利用方程組法求解即可；

?.?/(x)-2/(-x)=9x+2(1)

A/(-x)-2/(x)=9(-x)+2(2)

由⑴+2x(2)得-3/(x)=-9x+6,

Af(x)=3x-2(xeR).

故答案為：3x-2.

【變式4-5】設(shè)函數(shù)/⑴是R-R的函數(shù)，滿足對(duì)一切xwR,都有

/(x)+V(2-x)=2,則/")的解析式為/(x)=.

2xwl

【答案】—41

l,x=1

【解析】由f(x)+#(2-x)=2,得/(2r)+(2-3(x)=2,

將/(x)和〃2T)看成兩個(gè)未知數(shù),可解得〃x)=乙(.1),

1-X

當(dāng)X=1時(shí)，/(2-1)+(2-1)/(1)=2,解得"1)=1,

—工］

綜上，小)=1”’

l,x=1.

故答案為：］I--

l,x=l

題型五定義法證明函數(shù)的單調(diào)性

【例5】已知函數(shù)/(%)=蕓，判斷并證明/(力在區(qū)間卜22］上的單調(diào)性.

JT+o

【答案】單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析

【解析】“X)在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增，理由如下：

任取々，?--22］,且當(dāng)＜當(dāng)，

(%-1)(￥+8)一(工2—1)(4+8)(芭72)(3+々+8一中2)

人）7（力/-煞(x；+8)(x；+8)(Xj2+8)(^+8)

因?yàn)?2Mxi42,

所以X—占<0,-4<X,+X2<4,-4<X,X2<4,

所以％+占一%占>一8

所以百+工2+8-百工2>°,

所以"%）-/5）<。,即/&）<?（%）,

所以函數(shù)/（力在區(qū)間［T2］上單調(diào)遞增.

【變式5-1］已知函數(shù)〃x）=Q,試判斷八月在區(qū)間。田）上的單調(diào)性，并證

明你的結(jié)論.

【答案】增函數(shù)，證明見(jiàn)解析

【解析】/（X）在區(qū)間卜+8）上是增函數(shù).證明如下：

設(shè)"‘為力，”），且不。2,

則/(xJ-/(w)="口-=

Jx-]+Jx2T，

因?yàn)?天?1，3），所以歷/

又為<￡，所以<。,且百萬(wàn)與嘉口不可能同時(shí)為0,

所以斤i+Qi>。，故”4）-/⑸<0,

故/（另在區(qū)間［l，y）上是增函數(shù).

【變式5-2】證明：函數(shù)/（幻=2/」在區(qū)間（0收）上是增函數(shù).

x

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】設(shè)牛W￡?+<?）,且再氣,

而/（內(nèi)）-，（工2）=（2父-5）-（2￡_:）=（2年—2石）+:一;

=2（x,-42）（x；+%內(nèi)+W）+~~~-

2,\1

C；+X|X>+XyI+---

因?yàn)閤<°，*+%演+￥>0,—>。，貝（%-王+X|X>+x；）-<-0--

X\X2中2.

所以〃』)-"巧)<o,即以石)vf(巧)，

所以函數(shù)fW=2//在區(qū)間(0,m)上是增函數(shù).

x

【變式5-3】已知函數(shù)〃力對(duì)任意的〃，beR，者B有=，且

當(dāng)x>0時(shí)，〃”>1,判斷并證明“X)的單調(diào)性；

【答案】函數(shù)小)在R上為增函數(shù)；(2)相￡(-1令.

【解析】設(shè)心工是R上任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)，且用<%，則&丫=匕-%>0,

A,

3=/(^)-/(^)=/^-x1)+^］-/(x1)=/(A2-x1)+/(x1)-l-/(x1)=/(Ar)-l

9

由已知條件當(dāng)x〉0時(shí)，/W>1,

所以,即》>0,

所以函數(shù)/(“在R上為增函數(shù)；

題型六利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【例6】若函數(shù)"')=而1在區(qū)間［一1』內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】卜1,0)

【解析】由題意知，第一步函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)同增異減可知〃<。，

第二步考慮函數(shù)定義域，?+拈0在I』恒成立，

［加之。得到一國(guó)<°

故答案為：

【變式6/】若/(%)=竺斗在區(qū)間(ID上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是一

X-1

【答案】?<-1

【解析】函數(shù)“幻=絲白心-””“=一@4，

x-lx-1X-1

由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，若g（x）=等在（1，笆）為增函數(shù),

X—1

.1.a+l<0,a<-\,

【變式6?2】（多選）函數(shù)/（幻=/+（2吁以+3在（-2⑵上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍可以是（）

B/q，|）C,[4>|]D.&+8）

【答案】AD

【解析】二次函數(shù)/（幻=/+（2〃-1）工+3圖象對(duì)稱軸為：x=_號(hào),

因函教,⑶在（々2）上為單調(diào)函數(shù),于是有：

當(dāng)函數(shù)人幻在（々2）上遞減時(shí)，-亨之2,解得,

當(dāng)函數(shù),（X）在（々2）上遞增時(shí)，-號(hào)V-2,解得心生，

35

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是：然-；或2去故選：AD

—x2-mx,x>2

【變式6-3】已知函數(shù)〃幻=F對(duì)于%,\月》）且內(nèi)f,都有

---,1<x<2

x

（%-%2）"（%）-/（々）]>（）,則，”的取值范圍為.

【答案】（年

【解析】由題意可知，〃x）在口，e）上為單調(diào)增函數(shù)，

要使）,=_%在口⑵上單調(diào)遞增,則T〃<0,即心0,

X

要使/“）=夫2一如在[2,+co）上單調(diào)遞增，則,

同時(shí)gx22-2mN-g/?t,解得：加,

4

綜上可知：0<z^-.

題型七求函數(shù)的最值或值域

【例7】求函數(shù)片后，6的最大值與最小值.

【答案】最大值日,最小值4

【解析】函數(shù),根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：

i在圖上單調(diào)遞減，[2,4]上單調(diào)遞增.

當(dāng)x=2時(shí)取到最小值4.

1117

又當(dāng)了=不時(shí)，y=-+8=—,當(dāng)入=4時(shí)，,=4+1=5

所以當(dāng)X=3時(shí)取到最大值日,

所以函數(shù)），的最大值9，最小值4

【變式7-1】y=3+x-Q7的值域是（）

'.（f]B.C,你引D.[|,+8）

【答案】A

【解析】因?yàn)閥-3+x-，-2x,

所以1-2x20,「.xq,又t=3+x-5/I二五在時(shí)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)X時(shí)，函數(shù)取得最大值為:，所以值域是,故選：A.

【變式7?2】函數(shù)/。）=藥的值域（）

A.卜司唱引B?卜，｛|唱收

C.3尚叫/D.卜W卜停

【答案】D

c2112s11

（3+1）

【解析】依題意，VI3A-7_2111

3x+l3x+l3x+l333x+l

其中產(chǎn)g去的值域?yàn)椋▂，o）u（o收），

故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椴匪締杼飢，故選D.

【變式7-3】若函數(shù)/3的值域是團(tuán)則函數(shù)F（x）=/3+肅的值域是：）

'.M-1」Bc.問(wèn)「C10］Cc.「510］D>?［「,5，5；

【答案】B

【解析】令/（、）=，,…］則咤，3.

當(dāng)小期時(shí)，"八：?jiǎn)握{(diào)遞減，

當(dāng)問(wèn)1,3］時(shí),…；單調(diào)遞增，

又當(dāng)時(shí),y="當(dāng)f=i時(shí)，尸2,當(dāng)33時(shí),H,

所以函數(shù)?。┑闹涤?yàn)椋垡鳎?，故選：B.

【變式7-4】已知=設(shè).Or）=min{x-2T+4x-2},則函數(shù)/*）的

最大值是（）

A.-2B.1C,2D.3

【答案】B

【解析】當(dāng)彳-2r/+4彳-2，即x?0,3］時(shí)，f（x）=x-2在xe［0,3］上單調(diào)遞增，

所以〃%?="3）=3-2=1,

當(dāng)工一2>-9+4工一2,即xw（—,0）U（3,+co）時(shí)，

/（力=-2+叔-2=幻-2）2+2在工?—0）上單調(diào)遞增,在（3,位）上單調(diào)

遞減,

因?yàn)椤?)=-2,"3)=1,所以"”)vf(3)=l;

綜上：函數(shù)"*)的最大值為1,故選：B

題型八函數(shù)奇偶性的判斷

【例8】判斷下列函數(shù)的奇偶性.

=(2)/(力=(1)居；

—2x,x<-1

(3)/(X)=^7+X/?^3；(4)/(%)=2,-1<X<1.

2x,x>\

【答案】(1)奇函數(shù);(2)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)偶函數(shù)

【解析】(I)A")的定義域是(e，0"(0,yo),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又〃-力=(-力3-5=-卜一目=一/(耳，所以外力是奇函數(shù).

(2)因?yàn)?(x)的定義域?yàn)椋?□),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以7")既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(3)因?yàn)?(力的定義域?yàn)椴钒伲?所以〃力=。,

則/(“既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(4)方法一(定義法)因?yàn)楹瘮?shù)/G)的定義域?yàn)镽,

所以函數(shù)“X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

①當(dāng)x>1時(shí),-X<~\,所以―=(-2)x(r)=2x=F(x);

②當(dāng)時(shí)，/(x)=2;

③當(dāng)x<一|時(shí)，T>1,所以f(T)=2x(T)=_2x=f(力.

綜上，可知函數(shù)/(X)為偶函數(shù).

方法二(圖象法)作出函數(shù)/(X)的圖象，如圖所示，易知函數(shù)

為偶函數(shù).

【變式8?1】函數(shù)=奇當(dāng)?shù)膱D象關(guān)于對(duì)稱.

【答案】原點(diǎn)

2

【解析】要使函數(shù)有意義,則［?4-3x|>?0。，得fJ-2<。A母-<2一，

解得-24x<0或0<三2,則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

此時(shí)卜+3|7+3，則函數(shù)小卜厚=二=旺

,;/（一"=_";=_/（%），

?.函數(shù)”X）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

故答案為：原點(diǎn)

【變式8-2］判斷f（x）=1X+aI-1X-3WR）的奇偶性.

【答案】當(dāng)"。時(shí)，?。┘仁瞧婧瘮?shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)"。時(shí)，?。┦瞧婧瘮?shù)

【解析】因?yàn)閤eR,所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

當(dāng)。=0時(shí)，則/@）=口1-1幻=。，所以/（X）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

當(dāng)4工0時(shí),g］/（-^）=1--v+?I-1-v-?H-a|-1x+a|=-f（x）f

所以是奇函數(shù).

綜上所述，當(dāng)。=0時(shí)，f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)"。時(shí)，f（x）

是奇函數(shù).

2

【變式8-3】設(shè)函數(shù)/*)=等，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

人I1

A./(x)+lB./(A+1)C./(x)-lD./(x-D

【答案】D

【解析】因?yàn)?W.

選項(xiàng)A：/(x)+l=i+l,定義域?yàn)?fo，-l)“T，+oc)，定義域不對(duì)稱，

故A錯(cuò).

22

選項(xiàng)B：+1=—7-7=—7,定義域?yàn)?-—2皿-2,+8)，定義域不對(duì)

X+1+1X+2

稱，故B錯(cuò).

2

選項(xiàng)c：/(x)-l=--1，定義域?yàn)?7，-1)5-1，+8)，定義域不對(duì)稱，

X+1

故C錯(cuò).

選項(xiàng)D：/(x-l)=——=-,定義域?yàn)?Y，O)U(O,也，

X-14-1X

定義域?qū)ΨQ，為奇函數(shù).故D正確.故選：D.

【變式8-4］設(shè)“X)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()

A.是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)

C./(尤)-/(一可是奇函數(shù)D./(尤)+/(一)是奇函數(shù)

【答案】C

【解析】A選項(xiàng)：設(shè)〃(x)=/(x)/(r),〃(T)=/(T)/(X)=〃(X),

則/(x)/(-x)為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：設(shè)G(X)=/(X)|/(T)|,則G(T)=〃T)V3,G(x)與G(r)關(guān)

系不定，

即不確定了(不(一必的奇偶性,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng):設(shè)M(x)=C(x)-f(r),則"(r)="r)T3=-M(x),

則為奇函數(shù)，C正確；

D選項(xiàng)：設(shè)N(x)=〃x)+八t),則N(T)=/(T)+/(X)=N(X),

則為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：C.

題型九利用函數(shù)的奇偶性求值或求參

【例9】若函數(shù)/*)=/—瓜2-女在［3。,2+0上為奇函數(shù)，貝11a+6=.

【答案】4

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)"%)=/-瓜2+以在［3〃,2+4］上為奇函數(shù)，

所以3a+2+4=0,得。=-3,

又f(—x)=—/(x),BP(--v)3-b(-x)2—^(-^)=+bx2+^x,即次2=o，g^g

立，

所以匕=0,所以。+6=-(

故答案為：-1

【變式9-1］若函數(shù)/(加包羋為奇函數(shù)，則〃=()

A.yIB.22C.37D.1

234

【答案】B

【解析】根據(jù)題意得/(-)=(⑶+2，--。)=(-3-?(?0),

-5x5x

因?yàn)楹瘮?shù)因力=為奇函數(shù),

所以/(r)=-f(x),即(-3弋)("嘰_(3%+?(…),整理得：

5x5x

(6。-4)元=0,

2

所以6a-4=0,解得〃=；.故選：B

【變式9-2］已知函數(shù)/(力=(。-1)/+”2-1是偶函數(shù)，則”.

【答案】1

【解析】函數(shù)/a)=e-i*+2f-i是偶函數(shù)，

貝」/(1一1)=〃1),即一(。一1)+2—1=〃—1+2—1,解之得"=1

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

故答案為：1

【變式9-3】已知函數(shù)“6是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)Q0時(shí)，/(力=土+1),

那么/(-1)等于()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】因?yàn)楣?gt;。時(shí)，〃x)=M+l),可得〃l)=lx2=2,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(*)是定義在R上的奇函數(shù)，可得〃-1)=-〃1)=-2.故選：

A.

【變式9-4】設(shè)/("是定義域?yàn)?-2,2)的奇函數(shù)，當(dāng)0“<2時(shí)，/"卜之十2"/〃

(加為常數(shù))，則〃T)=()

A.B.|C.D.1

3322

【答案】c

【解析】因?yàn)?(x)是定義域?yàn)?-2,2)的奇函數(shù)，

所以/(。)=0,因?yàn)楫?dāng)0KX<2時(shí)，"X)=4+2X+〃,，

所以八。)=一3+陽(yáng)=0，解得'〃=(，

所以當(dāng)0W2時(shí)，/(x)=l^+2x+：,

X一乙Z

所以“T)=_/(l)=_(T+2+；)=_g.故選：C.

【變式%5】設(shè)函數(shù)/")=總答在區(qū)間［-2,2］上的最大值為M,最小值為N,

則(M+N-1廣2的值為.

【答案】1

【解析】由題意知”(%)=千詈+1(),

設(shè)月(“=學(xué)九貝Uf(x)=g*)+1，

x+1

因?yàn)間(r)=q^=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù),

g(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值的和為(),

故M+N=2,所以(M+N-ILMZTIJI.

題型十利用函數(shù)的奇偶性求解析式

【例1?！吭O(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)GO時(shí)J(x)=/+x，則當(dāng)工<0時(shí)，/(力=()

A.x2+xB.-x2+xC.x2-xD.-x2-x

【答案】B

【解析】設(shè)X<0,則T>0,所以/(T)=dT,

又/(X)為奇函數(shù)，所以/(力=-/(-工)=-12-"=-/+%,

所以當(dāng)X<O時(shí),“6=-爐+、.故選：B.

【變式10-1］函數(shù)式力為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí),f(x)=2x2-7x，則當(dāng)X?YO,0)

時(shí)，仆)=()

A./(X)=-2X2+7XB.f(x)=-2x2-7xC.f(x)=2x2-7x

D.f(x)=2x2+7x

【答案】D

【解析】設(shè)x?F0),則r?0,.),貝！J〃T)=2(r)2-7(T)=2f+7x,

因?yàn)楹瘮?shù)/(可為偶函數(shù),

貝?。莓?dāng)xe(7,0)時(shí)，/(%)=/(—x)=2V+7”.故選：D.

【變式。2］已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)途0時(shí)J(力=幺+奴+K1,

則當(dāng)工<0時(shí)，/?=()

A.x2-xB.X2+AC.-x2+xD.-x2-

【答案】D

【解析】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以/(。)=。，

即“0)=?+1=0,解得=-1,

當(dāng)x"時(shí)，f^)=x2-x,當(dāng)x<0時(shí)，r>0,

貝l」/(r)=(-x)2+x=/+x,

因?yàn)?(力是奇函數(shù)，

所以/a)=-〃r)=T2r.故選：D.

【變式10-3］若定義在R上的偶函數(shù)/(回和奇函數(shù)履可滿足f(x)+g(x)=e'(e

為無(wú)理數(shù)，e=2.71828…),則g(x)=()

A.e-rB.#+巧C.e，)D.#-巧

【答案】D

【解析】由/(x)+g(6=e'可得/(T)+g(T)=e-x,

根據(jù)/(%)與g(6的奇偶性可得)+g(r)=-g(x)二尸，

故〃x)—g(x)—［/(%)+g(x)］=er-e，.

整理得-2g(x)=e：-e"即武力=；1，-尸).故選：D.

題型十一利用單調(diào)性奇偶性解不等式

【例11】定義在12,2］上的偶函數(shù)/⑴在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減若"1-〃?)</(〃?),

則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是()

Am<—Bni>—C.-1<zn<-D—<m<2

2,222

【答案】c

【解析】是偶函數(shù),

故<f(m)可變形為/(|l-w|)<y(|/w|),

???/(x)在區(qū)間恨2］上單調(diào)遞減,

-2?1-642-1</n^3

故.一2442=>'-2-2=-1故選:C.

|l-m|>|m|1

m<—

2

【變式U-1】若偶函數(shù)/(力在［。，+8)上單調(diào)遞減，且川)=0,則不等式

2

/(X-3X+3)>0的解集是_________.

【答案】口,2］

【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)〃力在［。，+巧上單調(diào)遞減，所以.“力在(y，。)上單調(diào)遞增，

又"1)=0,所以，(T)=〃l)=0,所以當(dāng)TGM1時(shí)代論。,

則不等式/y-3x+3)NO等價(jià)于T"2_3x+3W1,解得1W2,

所以原不等式的解集為11

故答案為：口，"

【變式H-2］函數(shù)/*)是定義在(T1)上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減，若

/(2-〃)+/(4-昌<0,則。的取值范圍是()

A.(石,3)B.6)52,+oo)C.(62)D.(-3,2)

【答案】C

【解析】函數(shù)/⑺是定義在(TI)上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減,

f(2-a)+f(4-a2)<0可化為/(2-a)<f(a2-4)

-\<2-a<\

貝1｝一1<4一/<i，解之得石<。<2故選：C

2-a>a2-4

【變式U-3】奇函數(shù)/(x+2)是定義在上的減函數(shù)若〃所1)+/(3-2間<0,

則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為.

【答案】。，2)

【解析】由題意知，函數(shù)”、+2)的定義域?yàn)?T-1),

所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?TJ)，

所以解得1<相<2.

-l<3-2m<l

又奇函數(shù)/(工+2)是(T-1)上的減函數(shù),

所以/(X)是㈠」)上的奇函數(shù)，且在(T1)上單調(diào)遞減.

由〃一1)+/(3-*)<0，得/(加一1)<一〃3-2加)，

所以/(6一1)</(2m-3),

所以帆一1>2所3,解得切<2.綜上，l<m<2.

故答案為：(1,2).

【變式11-4】已知函數(shù)/(%)是定義在R卜的偶函數(shù)若內(nèi)640,小)，目尹三,

都有***)一*"￡)<0成立，則不等式〃/㈣-(*T)〃2時(shí)1)>。的解集為

苦-X2

()

A.(-00,-1)B.(f1)C.(h+0°)D.(T,*o)

【答案】c

【解析】令g(x)=4(x),因?yàn)楹瘮?shù)/(")是定義在R上的偶函數(shù)，

所以g(r)=-"(r)=-"(*)=-g(x),即g(x)是定義在R上奇函

數(shù).

又“，一0X),且…，都有巫皿〈0成

再一々“I一七

立，

所以g(.i)在［。，y)上單調(diào)遞減，

又g(x)是定義在R上奇函數(shù)，所以g(x)在R上單調(diào)遞減，

所以〃礦(〃。-(26-1)/?〃-l)=g(m)-g(2/n-l)>0,即g(m)>g(竊if,

所以,解得心1.故A,B,D錯(cuò)誤.故選：C.

題型十二利用單調(diào)性奇偶性比較大小

【例12］定義在R上的偶函數(shù)小)在(0,+如上是減函數(shù),則下列判斷正確的是

A.尼卜/卜￡）</（；）B./（；卜（撲/圖

C"圖<巾</卜｛|D./卜樂(lè)/信卜嗎）

【答案】A

【解析】因?yàn)樾。榕己瘮?shù)，所以/（［）=錯(cuò)），〃等=嗎），

1|3

又;,且/*）在（0,+8）上是減函數(shù),

所以?故選：A

【變式12-1］已知定義在R上的函數(shù)/（'）的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條

件：①VXGRJ（-X）=/（X）;（2）V^,x2e（0,-Ko），當(dāng)x產(chǎn)9時(shí)''''*'>。.記

內(nèi)一々

“=/（1），6=守，c=§，則（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

【解析】依題意，Vxxe（0,+x）工產(chǎn)毛，也""）一"""）>0,

p2#

X-A

fM_fM（）

即百馬；o,所以函數(shù)受在（。，包）上單調(diào)遞增.

又“cR,f（~x）=f（x）,所以函數(shù)/（"是R上的偶函數(shù)，

所以婚=與廁有羋〈與〈孝，所以"力，故選：B.

【變式12-2】已知函數(shù)/（x+1）是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，［〃％）—/（%）］（再一修）〉。

恒成立，設(shè)”/（一￡|，b=f②,c=〃3）,則〃，b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB,b<a<cC.b<c<aD,a<b<c

【答案】B

【解析】??,當(dāng)1<百<七時(shí)，［/&）-/（8）］&-3〉。，期立,

???當(dāng)1<百</時(shí)，/㈤-/6)>0,即/(%)"(%),

.?.函數(shù)/⑺在—上為單調(diào)增函數(shù)，

??,函數(shù)/(?1)是偶函數(shù),即/(1+力=/。-x),

???函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)