高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期末考點(diǎn)大串講(人教A版)第4講兩條直線的位置關(guān)系(知識(shí)點(diǎn)串講)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

第四講兩條直線的位置關(guān)系1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2．②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2．(2)兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1．②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2．2．兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要條件是A1B2－A2B1＝0，A1C2≠A2C1.重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0，A1C2＝A2C．3．兩直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0．例1．(P101A組T10改編)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝____________．練習(xí)．(2019·山東濱州調(diào)研)直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于()A．2 B．－3C．2或－3 D．－2或－34．兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．例2．(2019·山東濟(jì)寧月考)若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為_(kāi)___________．練習(xí)．當(dāng)0<k<eq\f(1,2)時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．三種距離P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|d＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))例3．(2019·山東蒙陰月考)已知兩條平行直線，l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0間的距離為eq\r(5)，則直線l1的方程為_(kāi)_______________．[變式探究]將題2改為“已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3，－4)且與點(diǎn)A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為_(kāi)_______________.”練習(xí).(P110B組T2改編)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于()A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋16．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．例4．求經(jīng)過(guò)兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點(diǎn)，且與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為_(kāi)___________________.7.對(duì)稱問(wèn)題在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解．例5.(2019·福建廈門(mén)月考)過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為_(kāi)___________________．練習(xí).(2019·山東德州月考)直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對(duì)稱的直線方程是()A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0練習(xí).(2019·湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)第四講兩條直線的位置關(guān)系1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2．②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2．(2)兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1．②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2．2．兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要條件是A1B2－A2B1＝0，A1C2≠A2C1.重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0，A1C2＝A2C．3．兩直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0．例1．(P101A組T10改編)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝____________．【答案】1[由題意知eq\f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.]練習(xí)．(2019·山東濱州調(diào)研)直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于()A．2 B．－3C．2或－3 D．－2或－3【答案】C[直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2)，故m＝2或－3.]4．兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．例2．(2019·山東濟(jì)寧月考)若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為_(kāi)___________．【答案】－9[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x,x＋y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))，即交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．又三線共點(diǎn)，∴m＋2×2＋5＝0，m＝－9.]練習(xí)．當(dāng)0<k<eq\f(1,2)時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1).))又∵0<k<eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(k,k－1)<0，y＝eq\f(2k－1,k－1)>0，故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第二象限．]5．三種距離P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|d＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))例3．(2019·山東蒙陰月考)已知兩條平行直線，l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0間的距離為eq\r(5)，則直線l1的方程為_(kāi)_______________．【答案】2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0[∵l1∥l2，∴eq\f(m,2)＝eq\f(8,m)≠eq\f(n,－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))(1)當(dāng)m＝4時(shí)，直線l1的方程為4x＋8y＋n＝0，把l2的方程寫(xiě)成4x＋8y－2＝0，∴eq\f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－22或18．故所求直線的方程為2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0．(2)當(dāng)m＝－4時(shí)，直線l1的方程為4x－8y－n＝0，l2的方程為4x－8y－2＝0，∴eq\f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－18或22．故所求直線的方程為2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.][變式探究]將題2改為“已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3，－4)且與點(diǎn)A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為_(kāi)_______________.”【答案】2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0[顯然直線l斜率不存在時(shí)，不滿足題意；設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或k＝－eq\f(2,3)．∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.]練習(xí).(P110B組T2改編)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于()A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1【答案】C[由題意得eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.解得a＝－1＋eq\r(2)或a＝－1－eq\r(2).∵a>0，∴a＝－1＋eq\r(2).]6．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．例4．求經(jīng)過(guò)兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點(diǎn)，且與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為_(kāi)___________________.【答案】x＋2y－7＝0[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)．設(shè)與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為x＋2y＋c＝0，則1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7．∴所求直線方程為x＋2y－7＝0.]7.對(duì)稱問(wèn)題在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解．例5.(2019·福建廈門(mén)月考)過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為_(kāi)___________________．【答案】x＋4y－4＝0[設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.]練習(xí).(2019·山東德州月考)直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對(duì)稱的直線方程是()A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0A[設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)－2，,y0＝x＋2，))由點(diǎn)P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.]練習(xí).(2019·湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)C[設(shè)A(－4