第2章《有理數(shù)及其運算》

20222023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級上冊章節(jié)考點精講精練第2章《有理數(shù)及其運算》知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識點01:有理數(shù)的相關(guān)概念1．有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)分類：細(xì)節(jié)剖析：（1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點0非正非負(fù)，是一個中性數(shù)2．?dāng)?shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．細(xì)節(jié)剖析：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．細(xì)節(jié)剖析：（1）一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等，這兩點是關(guān)于原點對稱的．（2）求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可．（3）多重符號的化簡：數(shù)字前面“”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負(fù)．4．絕對值：（1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．?dāng)?shù)a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離．知識點02:有理數(shù)的運算1．法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即ab=a+(b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．細(xì)節(jié)剖析：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律:①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知識點03:有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．知識點04:科學(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中1≤，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法．例如：200000=．考點提優(yōu)練考點提優(yōu)練考點01：數(shù)軸1．（2022?路南區(qū)三模）如圖1，點A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應(yīng)的數(shù)為﹣5，b，4，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對應(yīng)刻度1.8cm，點C對齊刻度5.4cm．則數(shù)軸上點B所對應(yīng)的數(shù)b為（）A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3解：∵5.4÷（4+5）＝0.6（cm），∴1.8÷0.6＝3，∴﹣5+3＝﹣2，故選：C．2．（2022春?泗水縣期末）如圖，有一個直徑為1個單位長度的圓片，把圓片上的點放在數(shù)軸上﹣1處，然后將圓片沿數(shù)軸向右滾動一周，點A到達(dá)點A'位置，則點A'表示的數(shù)是（）A．﹣π+1 B． C．π+1 D．π﹣1解：由題意得，圓片的周長為π．∴點A'表示的數(shù)是﹣1+π．故選：D．3．（2021秋?濟源期末）已知A，B，C是數(shù)軸上的三個點．點A，B表示的數(shù)分別是1，3，如圖所示，若BC＝AB，則點C表示的數(shù)是或．．因為A、B兩點表示的數(shù)為1，3，可以得到AB＝2，又因為BC＝AB，所以BC＝．當(dāng)C點在B點的左面時C點代表的數(shù)為3﹣＝；當(dāng)C點在B點的右面時C點代表的數(shù)為3+＝；故答案為：或．4．（2021秋?東陽市期末）數(shù)軸上的三個點，若其中一個點與其它兩個點的距離滿足2倍關(guān)系，則稱該點是其它兩個點的“友好點”，這三點滿足“友好關(guān)系”．已知點A、B表示的數(shù)分別為﹣2、1，點C為數(shù)軸上一動點．（1）當(dāng)點C在線段AB上，點A是B、C兩點的“友好點”時，點C表示的數(shù)為﹣0.5；（2）若點C從點B出發(fā)，沿BA方向運動到點M，在運動過程中有4個時刻使A、B、C三點滿足“友好關(guān)系”，設(shè)點M表示的數(shù)為m，則m的范圍是﹣5＜m≤﹣3.5．解：（1）設(shè)點C表示的數(shù)為x，則AC＝x+2，AB＝1+2＝3，∵點A是B、C兩點的“友好點”，∴當(dāng)AB＝2AC時，則3＝2（x+2），解得x＝﹣0.5，所以點C表示的數(shù)是﹣0.5，故答案為：﹣0.5；（2）當(dāng)點C在線段AB上時，若A、B、C三點滿足“友好關(guān)系”，存在三個時刻，即AC＝CB或AC＝CB或AC＝2CB時，此時m＝﹣0.5或﹣1或0，∴另外一個時刻則點C在點A的左側(cè)時，則AB＝2AC或BC＝2AC，∴m＝﹣3.5或﹣5，∵只有四個時刻，∴m的取值范圍是﹣5＜m≤﹣3.5．故答案為：﹣5＜m≤﹣3.5．5．（2022秋?射陽縣月考）數(shù)軸上有A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點是其它兩個點的“關(guān)聯(lián)點”．例如數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“關(guān)聯(lián)點”．（1）若點A表示數(shù)﹣2，點B表示數(shù)1，下列各數(shù)﹣1，2，4，6所對應(yīng)的點分別是C1，C2，C3，C4，其中是點A，B的“關(guān)聯(lián)點”的是C1，C3；（2）點A表示數(shù)﹣10，點B表示數(shù)15，P為數(shù)軸上一個動點：①若點P在點B的左側(cè)，且點P是點A，B的“關(guān)聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)；②若點P在點B的右側(cè)，點P，A，B中，有一個點恰好是其它兩個點的“關(guān)聯(lián)點”，請直接寫出此時點P表示的數(shù)．解：（1）∵AC1＝﹣1﹣（﹣2）＝1，BC1＝1﹣（﹣1）＝2，∴2AC1＝BC1，∴C1是點A，B的“關(guān)聯(lián)點”；∵AC2＝2﹣（﹣2）＝4，BC2＝2﹣1＝1，AB＝1﹣（﹣2）＝3，∴C2不是點A，B的“關(guān)聯(lián)點”；AC3＝4﹣（﹣2）＝6，BC3＝4﹣1＝3，∴AC3＝2BC3，∴C3是點A，B的“關(guān)聯(lián)點”；AC4＝6﹣（﹣2）＝8，BC4＝6﹣1＝5，AB＝1﹣（﹣2）＝3，∴C4不是點A，B的“關(guān)聯(lián)點”；故答案為：C1，C3；（2）設(shè)P點在數(shù)軸上表示的數(shù)為p．①∵P在點B左側(cè)，則：（Ⅰ）當(dāng)P點在AB之間時，15﹣p＝2[p﹣（﹣10）]，解得：p＝?；或2（15﹣p）＝p﹣（﹣10），解得：p＝；（Ⅱ）當(dāng)P點在A點左側(cè)時，15﹣p＝2（﹣10﹣p）p＝﹣35，∴當(dāng)P點在B點左側(cè)時，點P表示的數(shù)為﹣35或?或；②∵點P在B點右側(cè)，則：（Ⅰ）當(dāng)點P為點A，B的“關(guān)聯(lián)點”時，2（p﹣15）＝p+10，解得：p＝40；（Ⅱ）當(dāng)點B為點P，A的“關(guān)聯(lián)點”時，2（p﹣15）＝15+10，解得：p＝27.5；或p﹣15＝2×25，解得：p＝65；（Ⅲ）當(dāng)點A為點B，P的“關(guān)聯(lián)點”時，p+10＝（15+10）×2，解得：p＝40，∴點P在點B的右側(cè)，點P，A，B中，有一個點恰好是其它兩個點的“關(guān)聯(lián)點”，此時點P表示的數(shù)為40或65或27.5．6．（2021秋?連州市期末）如圖所示，在數(shù)軸上點A，B，C表示的數(shù)為﹣2，0，6．點A與點B之間的距離表示為AB，點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點C之間的距離表示為AC．（1）求AB、AC的長；（2）點A，B，C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒3個單位長度和4個單位長度的速度向右運動．請問：BC﹣AB的值是否隨著運動時間t的變化而變化？若不變，請求其值；若變化，請說明理由并判斷是否有最值，若有求其最值．解：（1）∵數(shù)軸上點A，B，C表示得數(shù)為﹣2，0，6，∴AB的長為2，AC的長為8；（2）由數(shù)軸可知，B點在A點前方，相距2個單位，C點在B點前方，相距6個單位，∵點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒3個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，∴點A可表示的數(shù)為﹣2﹣2t，點B可表示的數(shù)為3t，點C可表示的數(shù)為6+4t，∴BC＝6+4t﹣3t＝t+6，AB＝3t﹣（﹣2﹣2t）＝5t+2，∴BC﹣AB＝t+6﹣（5t+2）＝4﹣4t，當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時，有最值為4．考點02：絕對值7．（2021秋?海門市校級月考）設(shè)abc≠0，且a+b+c＝0，則+++的值可能是（）A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，∴a、b與c中可能有1個字母小于0，也可能有2個字母小于0．當(dāng)a、b與c中有1個字母小于0，如a＜0，則b＞0，c＞0，∴+++＝﹣1+1+1﹣1＝0．當(dāng)a、b與c中有2個字母小于0，如a＜0，b＜0，則c＞0，∴+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．綜上：+++＝0．故選：A．8．（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖，a，b是數(shù)軸上的兩個有理數(shù)，下面說法中正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．b＞a C．|a|＞|b| D．|b|＞|a|解：根據(jù)題意可得，b＞a．A．所以A選項不正確，故A選項不符合題意；B．所以B選項正確，故B選項符合題意；C．因為當(dāng)a＜b＜0時，|a|＞|b|，所以C選項不正確，故C選項不符合題意；D．因為當(dāng)0＜a＜b時，|a|＜|b|，所以D選項不正確，故D選項不符合題意；故選：B．9．（2021秋?綿竹市期末）代數(shù)式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是2021．解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由絕對值的定義可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距離；|x+506|代表x到﹣506的距離；|x﹣1012|代表x到1012的距離；結(jié)合數(shù)軸可知：當(dāng)x在﹣1009與1012之間，且x＝﹣506時，距離之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案為：2021．10．（2021秋?碑林區(qū)校級期末）已知a，b，c的位置如圖，化簡：|2a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|＝﹣a﹣2c．解：∵a＜c，b+c＜0，2a﹣b＜0，∴|2a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|＝﹣2a+b﹣b﹣c+a﹣c＝﹣a﹣2c．故答案為：﹣a﹣2c．11．（2022秋?宜興市月考）閱讀下列材料：|x|＝，即當(dāng)x＜0時，＝﹣1．用這個結(jié)論可以解決下面問題：（1）已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab＞0時，求的值；（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc＞0時，求的值；（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．解：（1）∵ab＞0，∴a、b同號，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴＝1+1＝2或＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）∵abc＞0，∴a、b、c中有3個正數(shù)或一正兩負(fù)，當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時，＝1+1+1＝3；當(dāng)a、b、c中有一正兩負(fù)時，＝1﹣1﹣1＝﹣1；（3）∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，∴＝﹣﹣﹣，∵abc＜0，a+b+c＝0，∴a、b、c中一負(fù)兩正，∴＝﹣﹣﹣＝1﹣1﹣1＝﹣1；答：的值為﹣1．12．（2021秋?太康縣期末）已知|x|＝3，|y|＝7．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若xy＜0，求x﹣y的值．解：由題意知：x＝±3，y＝±7，（1）∵x＜y，∴x＝±3，y＝7∴x+y＝10或4（2）∵xy＜0，∴x＝3，y＝﹣7或x＝﹣3，y＝7，∴x﹣y＝±10，考點03：有理數(shù)的乘方13．（2022春?柯橋區(qū)期末）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，整理可得：2n＝248，n不為整數(shù)；A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，整理可得：2n＝254，n不為整數(shù)；B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，整理可得：2n＝252，n不為整數(shù)；B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，整理可得：2n＝256，n＝8；故選：D．14．（2021秋?無為市期末）下列各式結(jié)果相等的是（）A．﹣22與（﹣2）2 B．﹣12022與（﹣1）2021 C．（）2與 D．﹣（﹣3）與﹣|﹣3|解：A．（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，不相等，不符合題意；B．﹣12022＝﹣1，（﹣1）2021＝﹣1，相等，符合題意；C．（）2＝，，不相等，不符合題意；D．﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，不相等，不符合題意；故選：B．15．（2021秋?單縣期末）一根1m長的繩子，第一次剪去繩子的，第二次剪去剩下繩子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下繩子的長度是（）A． B． C． D．解：∵第一次剪去繩子的，還剩m；第二次剪去剩下繩子的，還剩＝m，……∴第100次剪去剩下繩子的后，剩下繩子的長度為（）100m；故選：C．16．（2021秋?上思縣期末）將一張長方形的紙對折，可得到一條折痕，繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，那么對折四次可以得到15條折痕，如果對折n次，可以得到2n﹣1條折痕．解：根據(jù)題意可知，第1次對折，折痕為1；第2次對折，折痕為1+2；第3次對折，折痕為1+2+22；第n次對折，折痕為1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1．故答案為：2n﹣1．17．（2016秋?海淀區(qū)校級期中）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題，在第七章“盈不足”中有這樣一個問題：“今有蒲生一日，長三尺；莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”其意思是“有蒲和莞兩種植物，蒲第一日長了3尺，莞第一日長了1尺，以后蒲每日生長的長度是前一日的一半，莞每日生長的長度是前一日的2倍，問幾日蒲、莞上漲的長度相等．”請計算出第三日后，蒲、莞的長度相差為尺．解：（1）設(shè)：日蒲、莞上漲的長度相等有題意得：蒲，第x日上漲長度為：3×21﹣x；莞，第x日上漲長度為：1×2x﹣1，則：3×21﹣x＝1×2x﹣1，解得：x≈2.6．答：2.6日蒲、莞上漲的長度相等（2）蒲第3日后上漲長度為：，莞，第3日上漲長度為：7，二者差為尺，故答案是．18．（2022?新華區(qū)校級一模）（1）將下列計算的結(jié)果直接寫成冪的形式：2÷2÷2＝（）1；2÷2÷2÷2＝（）2；＝33；（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝（﹣）4；（2）一般地，把n個a（a為有理數(shù)且a≠0，n為正整數(shù)）相除的結(jié)果記作a?，讀作“a的圈n次方”．計算：a?＝＝（）n﹣2（其中a≠0，n為正整數(shù)）．請你嘗試用文字概括歸納a?的運算結(jié)果：一個非零有理數(shù)的圈n次方等于它的倒數(shù)的（n﹣2）次方；（3）計算：24÷（﹣）⑤+（﹣27）×3④．解：（1）2÷2÷2÷2＝2×＝（）2，＝＝33，（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝（﹣5）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）4，故答案為：（）2，33，（﹣）4；（2）根據(jù)除法法則a?＝＝（）n﹣2（其中a≠0，n為正整數(shù)）．用文字概括歸納a?的運算結(jié)果：一個非零有理數(shù)的圈n次方等于它的倒數(shù)的（n﹣2）次方；故答案為：（）n﹣2，它的倒數(shù)的（n﹣2）次方．（3）原式＝24÷（?2）3+（?27）×（）2＝24÷（﹣8）+（﹣27）×＝﹣3﹣3＝﹣6．19．（2022春?攸縣期末）如果10b＝n，那么b為n的勞格數(shù)，記為b＝d（n），由定義可知：10b＝n與b＝d（n）所表示的b，n兩個量之間具有同一關(guān)系．（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，計算d（10）和d（10﹣2）的值；（2）若m，n為正數(shù)，則d（m?n）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．根據(jù)運算性質(zhì)，填空：＝3（a為正數(shù)）；若d（2）＝0.3010，則d（4）＝0.6020，d（5）＝0.6990，d（0.08）＝﹣1.0970；．（3）若表中與數(shù)x對應(yīng)的勞格數(shù)d（x）有且僅有兩個是錯誤的，請找出錯誤的勞格數(shù)，并將其改正過來．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2，（2）∵d（a3）＝d（a2?a）＝d（a2）+d（a）＝d（a?a）+d（a）＝d（a）+d（a）+d（a）＝3d（a），∴＝＝3，∵d（2）＝0.3010，又∵d（10）＝1，∴d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝2d（2）＝0.6020；d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.6990；d（0.08）＝d（8×10﹣2）＝d（8）+d（10﹣2）＝3d（2）+（﹣2）＝0.9030﹣2＝﹣1.0970；故答案為：3，0.6020，0.6990，﹣1.0970；（3）若d（3）≠2a﹣b，則d（9）＝2d（3）≠4a﹣2b，d（27）＝3d（3）≠6a﹣3b即有三個勞格數(shù)錯誤由題設(shè)矛盾，故d（3）＝2a﹣b；若d（5）≠a+c，則d（2）＝1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，d（8）＝3d（2）≠3﹣3a﹣3c，d（6）＝d（2）+d（3）≠1+a﹣b﹣c即有三個勞格數(shù)錯誤與題設(shè)矛盾，故d（5）＝a+c；綜上所述d（1.5）與d（12）兩個值是錯誤的．應(yīng)該更正為：d（1.5）＝d（3）﹣d（2）＝3a﹣b+c﹣1，d（12）＝d（3）+2d（2）＝2﹣b﹣2c．20．（2020秋?海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n為正整數(shù)）．（1）求2M（2018）+M（2019）的值．（2）猜想2M（n）與M（n+1）的關(guān)系并說明理由．解：（1）2M（2018）+M（2019）＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；（2）2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)，理由如下：因為2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，所以2M（n）＝﹣M（n+1），所以2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．21．（2021秋?紅花崗區(qū)校級月考）某學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)了冪的有關(guān)知識發(fā)現(xiàn)：根據(jù)am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b，可以求m的值嗎？他們?yōu)榇诉M行了研究，規(guī)定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝6；（2）計算：T（3，27）+T（﹣2，﹣32）；（3）探索T（2，3）+T（2，7）與T（2，21）的大小關(guān)系，并說明理由．解：（1）∵26＝64，∴T（2，64）＝6．故答案為：6．（2）∵33＝27，（﹣2）5＝﹣32，∴T（3，27）＝3，T（﹣2，﹣32）＝5．∴T（3，27）+T（﹣2，﹣32）＝3+5＝8．（3）T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21），理由如下：設(shè)T（2，3）＝m，T（2，7）＝n．∴2m＝3，2n＝7．∴2m?2n＝2m+n＝21．∴T（2，21）＝m+n．∴T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21）．考點04：有理數(shù)的混合運算22．（2022?工業(yè)園區(qū)校級自主招生）數(shù)整數(shù)部分的個位數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．以上都不是解：∵＜＜∴1＜＜，∴數(shù)整數(shù)部分的個位數(shù)是1．故選：A．23．（2021秋?確山縣期末）定義運算“@”的運算法則為：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的運算結(jié)果是（）A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣4解：∵x@y＝xy﹣y，∴（﹣3）@（﹣2）＝（﹣3）×（﹣2）﹣（﹣2）＝6+2＝8，故選：A．24．（2021秋?棲霞市期末）在數(shù)學(xué)課上，老師讓甲、乙、丙、丁，四位同學(xué)分別做了一道有理數(shù)運算題，你認(rèn)為做對的同學(xué)是（）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16?。海ī?）2÷×3＝9÷1＝9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：甲：9﹣32÷8＝9﹣9÷8＝7，原來沒有做對；乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×9＝﹣12，原來沒有做對；丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16，做對了；丁：（﹣3）2÷×3＝9÷×3＝81，原來沒有做對．故選：C．25．（2022?閔行區(qū)校級開學(xué)）用簡便方法計算24×32×53+326×0.1256×（﹣0.25）5+（）100×（）99＝17996．解：24×32×53+326×0.1256×（﹣0.25）5+（）100×（）99＝（2×5）3×（2×32）+4×（86×0.1256）×（﹣4×0.25）5+（）100×（）99＝103×（2×9）+4×（8×0.125）6×（﹣1）5+×（×）99＝1000×18+4×16×（﹣1）+×199＝18000+4×1×（﹣1）+×1＝18000﹣4+＝17996．故答案為：17996．26．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）定義一種新運算（a，b），若ac＝b，則（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），則x的值為56．解：設(shè)4m＝8，4n＝7，∵（4，8）+（4，7）＝（4，x），∴m+n＝（4，x），∴4m+n＝x，∴4m×4n＝x，∴8×7＝x，∴x＝56，故答案為：56．27．（2021秋?北侖區(qū)期末）“轉(zhuǎn)化”是一種解決問題的常用策略，有時畫圖可以幫助我們找到轉(zhuǎn)化的方法．例如借助圖①，可以把算式1+3+5+7+9+11轉(zhuǎn)化為62＝36．請你觀察圖②，可以把算式轉(zhuǎn)化為．解：＝1﹣＝，故答案為：．28．（2022?黃岡開學(xué)）計算：（1）；（2）；（3）；（4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9．解：（1）＝（﹣5）+（﹣3）＝﹣8；（2）＝（）+[（﹣）+（﹣1）]＝1+（﹣1）＝﹣；（3）＝﹣4×（﹣2）﹣×48﹣×48+×48＝8﹣66﹣112+180＝10；（4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9＝4×3+（﹣27）÷9＝12+（﹣3）＝9．29．（2021秋?巫溪縣期末）我們規(guī)定：求若干個相同的不為零的有理數(shù)的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把記作a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結(jié)果：2③＝，（﹣3）④＝，＝﹣27．（2）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，請嘗試把有理數(shù)的除方運算轉(zhuǎn)化為乘方運算，歸納如下：一個非零有理數(shù)的圈n次方等于這個數(shù)倒數(shù)的（n﹣2）次方．（3）計算．解：（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝，＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣27．故答案為：；；﹣27；（2）一個非零有理數(shù)的圈n次方等于這個數(shù)倒數(shù)的（n﹣2）次方．故答案為：這個數(shù)倒數(shù)的（n﹣2）次方；（3）＝27×+（﹣48）÷8＝3+（﹣6）＝﹣3．故答案為：﹣3．30．（2021秋?雙牌縣期末）求若干個相同的不為零的有理數(shù)的除法運算叫做除方．如：2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記做2③，讀作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記做（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記做a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結(jié)果：（﹣）③＝﹣2，（﹣3）④＝，2⑤＝．（2）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，請嘗試將有理數(shù)的除方運算轉(zhuǎn)化為乘方運算，歸納如下：一個非零有理數(shù)的圈n次方等于這個數(shù)倒數(shù)的（n﹣2）次方．（3）計算：24÷23+（﹣8）×2③．解：（1）（﹣）③＝（﹣2）3﹣2＝﹣2，（﹣3）④＝＝，2⑤＝．故答案為：﹣2，，；（2）一個非零有理數(shù)的圈n次方等于這個數(shù)倒數(shù)的（n﹣2）次方；故答案為：這個數(shù)倒數(shù)的（n﹣2）次方；（3）24÷23+（﹣8）×2③＝24÷8+（﹣8）×＝3+（﹣4）＝﹣1．考點05：近似數(shù)和有效數(shù)字31．（2021秋?姚安縣校級月考）對0.08049用四舍五入法取近似值，精確到0.001的是（）A．0.08 B．0.081 C．0.0805 D．0.080解：對0.08049用四舍五入法取近似值，精確到0.001的是0.080．故選：D．32．（2022?蕭山區(qū)二模）2019年11月，聯(lián)合國教科文組織正式宜布，將每年的3月14日定為“國際數(shù)學(xué)日”．國際數(shù)學(xué)日之所以定在3月14日，是因為“3.14”是圓周率數(shù)值最接近的數(shù)字．將圓周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精確到（）A．個位 B．十分位 C．百分位 D．千分位解：將圓周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精確到百分位．故選：C．33．（2020秋?北侖區(qū)期中）把a精確到百分位得到的近似數(shù)是5.28，則a的取值范圍是（）A．5.275＜a＜5.285 B．5.275≤a＜5.285 C．5.275＜a≤5.285 D．5.275≤a≤5.285解：∵a精確到百分位得到的近似數(shù)是5.28，∴5.275≤a＜5.285．故選：B．34．