第09講根的判別式及其應用

第09講根的判別式及其應用 運用根的判別式，判別方程根的情況會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍掌握韋達定理 模塊一：判別式的值與根的關系 一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，記作．一元二次方程， 當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根； 當時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當時，方程沒有實數(shù)根．不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）； （2）；（3）； （4）． 【答案】（1）方程有兩不等實根；（2）方程無實數(shù)根；（3）方程有兩相等實根；（4）方程有兩不等實根．【解析】（1），，，，方程有兩不等實根；，，，，方程無實數(shù)根；，，，，方程有兩相等實根；（4），，，，方程有兩不等實根．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，先將方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值計算，根據(jù)與0的大小關系確定方程根的情況，注意、異號時則必有兩不等實根．關于的方程（其中是實數(shù)）一定有實數(shù)根嗎？為什么？【答案】一定有．【解析】∵，，，∴恒成立，可知方程一定有實數(shù)根．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況．已知關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值及方程的根．【答案】或；時，方程根為；時，方程根為．【解析】化為一般式，即為：，其中，，，則，因為方程有兩相等實數(shù)根，則有，解得：，；時，方程化為，解得方程根為：；時，方程化為，解得方程根為．已知關于的方程．（1）有兩個不相等的實根，求的取值范圍；（2）有兩個相等的實根，求的值，并求出此時方程的根；（3）有實根，求的最大整數(shù)值．【答案】（1）；（2），此時方程根為；（3）．【解析】，，，， 由此可知：（1）當，即時，方程有兩個不相等的實根；（2）當，即時，方程有兩個相等的實根，此時方程即為 ，解得方程根為：；（3）當，即時，方程有實根，此時最大整數(shù)值為．【總結】可由方程根的情況確定其值與0的大小關系，方程有實數(shù)根，即其，可在此基礎上進行分類討論． 模塊二：根的判別式的應用 （1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質確定根的范圍；（3）解與根有關的證明題．當為何值時，方程，（1）有兩個不相等的實數(shù)根；（2）有兩個相等的實數(shù)根；（3）沒有實數(shù)根．【答案】（1）且；（2）；（3）．【解析】將方程整理成關于的一元二次方程的一般形式，即得：，此時，，，，由方程為一元二次方程，可知，故；，由此可知，（1）當，即且時，方程有兩不等實根；（2）當，即時，方程有兩相等實根；（3）當，即時，方程無實根．【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，首先將方程整理成一元二次方程的一般形式，然后確定二次項系數(shù)不能為0的情況，然后確定其值，可由方程根的情況確定其值與0的大小關系，可在此基礎上進行分類討論．已知關于的方程總有實數(shù)根，求的取值范圍．【答案】．【解析】（1）當，即時，方程為一元一次方程，方程有實根；當，即時，方程為一元二次方程，其中，，，方程有實根，則必有：，可解得且；綜上所述，的取值范圍為．【總結】對于形如的方程，首先要根據(jù)題意確定二次項系數(shù)能否為0，在此基礎上進行相關分類討論和計算．已知，關于的一元二次方程，（1）若，求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求的值．【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）證明：對于一元二次方程而言，其中，，，則，當時，恒成立，由此即可證得方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）由（1）中值，解方程得方程兩根為，，方程有兩整數(shù)根，則必為平方數(shù)，由，可得，為整數(shù)，則為奇數(shù)，這之間的平方數(shù)且為奇數(shù)的僅有49，即，解得：．【總結】考查對于一元二次方程根的判別式的應用，為完全平方數(shù)或完全平方式時，方程可直接分解因式，進而求解討論． 模塊三：韋達定理韋達定理：如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,，．那么可推得．這是一元二次方程根與系數(shù)的關系．寫出下列一元二次方程（方程的根為）的兩實數(shù)根的和與兩實數(shù)根的積（1），________；________； （2）， ________；________．【答案】（1）3，1；（2），．【解析】（1），，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，可得 ，；（2），，，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，可得，；【總結】考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，在方程有實數(shù)根的前提下，由一般式確定相應的、、值即可快速得到結果．已知是方程的一個根，求另一根及值．【答案】方程另一根為，．【解析】根據(jù)韋達定理，可知方程兩根滿足條件，，，令，則可求得，代入可得【總結】考查韋達定理的應用，本題可根據(jù)一元二次方式根的定義代入求值計算，但是更簡單的，可以通過韋達定理直接快速得到題目結果．已知是方程的兩個根，分別根據(jù)下列條件求出的值．（1）； （2）．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）根據(jù)韋達定理，可得，，可得，；（2）根據(jù)韋達定理，可得，，可得，．【總結】考查韋達定理的應用，可快速由方程的根得到方程中的相關字母量．設是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2；（5）4．【解析】根據(jù)韋達定理，可得，，由此：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【總結】考查韋達定理的應用，只需將所求式子轉化為只含有兩根之和和兩根之積的式子即可進行求解計算．一、單選題（2022秋·上海寶山·八年級?？计谥校╆P于x的一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根； B．有兩個相等的實數(shù)根；C．沒有實數(shù)根； D．不能確定．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的值，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選A．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，關鍵是掌握，一元二次方程有兩個不相等的根，，一元二次方程沒有根，，一元二次方程有兩個相等的根，（2022秋·上海虹口·八年級?？计谥校┤绻P于x的二次三項式在實數(shù)范圍內能分解因式，那么a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】D【分析】因二次三項式在實數(shù)范圍內能分解因式，所以有實數(shù)根，據(jù)此求解即可．【詳解】∵二次三項式在實數(shù)范圍內能分解因式，∴有實數(shù)根，∴，∴且．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的兩根為，那么一元二次方程可整理為．（2022秋·上海虹口·八年級校考期中）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是()A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，以及一元二次方程根的判別式得出不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴且，即，解得且．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．（2023秋·上海靜安·八年級上海市風華初級中學?？计谀┫铝嘘P于的方程中，一定有實數(shù)根的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進行計算即可求解．【詳解】解：A.，∴原方程沒有實數(shù)根，故該選項不符合題意；

B.，∴原方程沒有實數(shù)根，故該選項不符合題意；

C.，，當時，，∴原方程沒有實數(shù)根，故該選項不符合題意；

D.，，∴原方程有實數(shù)根，故該選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．（2023春·上?！ぐ四昙壠谥校┓匠探M解的情況是（

）A．有兩組不同的實數(shù)解 B．有兩組相同的實數(shù)解C．沒有實數(shù)解 D．不能確定【答案】A【分析】方程②減去方程①得出，整理可得，求出，根據(jù)根的判別式得出方程有兩個不相等的實數(shù)根，從而得出方程組有兩組不相等的實數(shù)解．【詳解】解：方程減去方程，消去得：，整理得：，，，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以方程組也有兩組不相等的實數(shù)解，故選：A．【點睛】本題考查了二次方程組和根的判別式，能得出關于x的一元二次方程是解此題的關鍵．（2022秋·上?！ぐ四昙壠谀┮阎獮閷崝?shù)，則關于的方程的實數(shù)根情況一定是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】C【分析】計算判別式的值，利用配方法得到△＝（m+2）2≥0，然后根據(jù)判別式的意義對各選項進行判斷．【詳解】解：∵a＝1，b＝－(m－2)，c＝－2m，∴，∵，∴，∴方程有兩個實數(shù)根，故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2－4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．二、填空題（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┤绻P于的一元二次方程有實數(shù)根，那么的取值范圍是________．【答案】且【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得且，解得且．故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程沒有實數(shù)根．（2022秋·上海寶山·八年級校考期中）關于x的方程的根的判別式是_____________．【答案】【分析】分別找出該方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，即可進行解答．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握根的判別式的求法以及正確找出方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┤絷P于的方程（）有兩個相等的實數(shù)根，則代數(shù)式的值是______．【答案】【分析】根據(jù)題意可知一元二次方程根的判別式，得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵關于的方程（）有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．三、解答題（2022秋·上海嘉定·八年級統(tǒng)考期末）已知關于的方程．(1)當為何值時，此方程有實數(shù)根；(2)選擇一個你喜歡的的值，并求解此方程．【答案】(1)當時，方程有實數(shù)根；(2)取，，．【分析】（1）根據(jù)，確定的取值范圍；（2）從上題中求得的范圍中找到一個喜歡的值代入后得到方程，求解即可．【詳解】（1）解：要使方程有實數(shù)根，必須，即，解得，∴當時，方程有實數(shù)根；（2）解：取，方程變?yōu)?，，，，∴，∴，∴，?答案不唯一)【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程根的情況與判別式的關系是解答此題的關鍵．當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┮阎P于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根(1)求m的取值范圍；(2)請寫出m的最小整數(shù)值，并求出此時方程的根.【答案】(1)且；(2)，．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后解不等式即可；（2）根據(jù)（1）的結論得到m滿足條件的最小負整數(shù)為，則原方程化為，然后利用公式法解方程．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得且，解得且；（2）解：m滿足條件的最小整數(shù)值，則原方程化為，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．（2022秋·上海虹口·八年級?？计谥校┤鬽為非負整數(shù)，且一元二次方程有兩個實數(shù)根，求m的值和這時方程的根．【答案】；方程的根為，【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及判別式的意義，得出且，解出關于的不等式組，即可求得的值，然后把的值代入原方程，得出，解出即可得出答案．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴可得：且，即，解得：，∵為非負整數(shù)，∴，當時，一元二次方程為，即，解得：，，∴當時，方程的根，．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義、一元二次方程的判別式、解一元二次方程，解本題的關鍵在正確求出的值．（2022秋·上海寶山·八年級校聯(lián)考期末）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值并求出方程的根【答案】，【分析】先由根的判別式求出k的值，再解方程即可得到方程的根．【詳解】解；，由題意得，，解得，∴所求方程為，∴，解得，【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解法，用根的判別式求出k的值是解題的關鍵．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┮阎P于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)如果m為非負整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，求出取值范圍即可；（2）由且m為非負整數(shù)，得到或0，代入后求出方程的解，即可得出答案．【詳解】（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根．即有兩個不相等的實數(shù)根．∴．解得；（2）∵且m為非負整數(shù)，∴或0．當時，原方程為．解得，，它的根都是整數(shù)，符合題意；當時，原方程為．解得，，∴它的根都是不整數(shù)，不符合題意；．綜上所述，．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式和解一元二次方程，能根據(jù)題意求出的值和的范圍是解此題的關鍵．下列關于x的二次三項式中，一定能在實數(shù)范圍內因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一定能在實數(shù)范圍內因式分解可知必須滿足，分別進行判斷即可；【詳解】的，故A錯誤；的，可能大于0，也可能小于0，故B錯誤；的，故C正確；的，故D錯誤；故選C．【點睛】本題主要考查了能在實數(shù)范圍內分解因式的條件，根據(jù)題意判斷出判別式的符號，認真計算，熟練掌握任何數(shù)的平方都是非負數(shù)是解題的關鍵．下列方程中，有實數(shù)解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負性判斷未知數(shù)的取值，即可判斷方程的解．【詳解】解：A、∵，∴，∴無實數(shù)解，故A錯誤；B、∵，∴，∴，，故B正確；C、∵，，∴且，∴且，∴無解，故C錯誤；D、∵，∴，∴，∴無解，故D錯誤；故選：B．【點睛】此題考查了解一元二次方程，二次根式的性質，解一元一次方程，正確掌握各知識點是解題的關鍵．等腰三角形的一邊長為2，另兩邊長是關于x的方程的兩個實數(shù)根，則m的值為______.【答案】10【分析】討論：當?shù)走呴L為2時，則腰長為方程的兩個根，利用判別式得到m的值；當腰長為2，則將代入方程求解，然后根據(jù)三角形三邊的關系加以判斷．【詳解】解：當?shù)走呴L為2時，則腰長為方程的兩個根，∴，解得；當腰長為2，則為方程的一個根，∴，解得，方程化為，解得，∵，∴2、2、4不符合三角形三邊的關系，舍去，綜上所述，m的值為10．故答案為：10．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關系．若關于x的方程在實數(shù)范圍內沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是______．【答案