專題13.8命題（拓展提高）

專題13.8命題（拓展提高）一、單選題1．下列命題為真命題的是（）A．如果，那么且B．兩邊分別相等的兩個直角三角形全等C．三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等D．如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離都相等【答案】D【分析】分清“或”與“且”的區(qū)別，可判斷A，利用全等三角形的判定方法可判斷B，利用角平分線的性質(zhì)可判斷C，利用平行線間的距離處處相等性質(zhì)可判斷D．【詳解】A．∵，∴m=0或n=0，如果，那么且不是真命題，故選項A不正確B.∵有兩邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，∴兩邊分別相等的兩個直角三角形全等不是真命題，故選項B不正確；C.∵三角形的三條角平分線相交于以點，這點到三邊的距離相等，∴三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等不是真命題，故選項C不正確；D.如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離都相等是真命題，故選項D正確．故選擇D．【點睛】本題考查真命題，由正確的題設(shè)能推出結(jié)論正確，是真命題，否則是假命題是解題關(guān)鍵．2．下列說法中正確的是（）A．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等B．平移不改變圖形的形狀和大小C．平行線間的距離是夾在兩平行線間的線段的長度D．相等的角是對頂角【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)對進行判斷；根據(jù)平移的性質(zhì)對進行判斷；根據(jù)平行線間的距離的定義對進行判斷；根據(jù)對頂角的定義對進行判斷．【詳解】解：、兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，所以選項不符合題意；、平移不改變圖形的形狀和大小，所以選項符合題意；、平行線間的距離是從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度，所以選項不符合題意；、相等的角不一定對頂角，所以選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行線間的距離和對頂角，解題的關(guān)鍵是掌握新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點，連接各組對應(yīng)點的線段平行（或共線）且相等．3．下列命題是真命題的是（）A．同旁內(nèi)角互補 B．鄰補角相等C．兩個銳角的和是銳角 D．垂線段最短【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，鄰補角的概念，銳角的概念以及垂線段最短逐項判斷即可．【詳解】A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，故該選項為假命題，不符合題意；B．鄰補角互補，不一定相等，故該選項為假命題，不符合題意；C．兩個銳角的和不一定是銳角，例如，為鈍角，故該選項為假命題，不符合題意；D．垂線段最短，是真命題，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查判斷命題的真假．正確的命題是真命題，錯誤的命題是假命題．掌握平行線的性質(zhì)，鄰補角的概念，銳角的概念以及垂線段最短是解答本題的關(guān)鍵．4．下列命題中假命題有（）①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等②如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行③點到直線的垂線段叫做點到直線的距離④過一點有且只有一條直線與已知直線平行⑤若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，點到直線距離定義一一判斷即可．【詳解】解：①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等，錯誤，缺少平行的條件；②如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，正確；③點到直線的垂線段叫做點到直線的距離，錯誤，應(yīng)該是垂線段的長度；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行，錯誤，應(yīng)該是過直線外一點；⑤若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行，錯誤，條件是同一平面內(nèi)．故選B．【點睛】本題主要考查命題與定理，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定，點到直線距離定義．5．下列說法正確的是（）A．若AB＝BC，則點B為線段AC的中點 B．射線AB和射線BA是同一條射線C．兩點之間的線段長度就是兩點之間的距離 D．同角的補角不一定相等【答案】C【分析】根據(jù)線段中點的概念、射線的表示方法、兩點間的距離的定義、補角的概念判斷即可．【詳解】解：A、當點在線段上，，則點為線段的中點，錯誤，不符合題意；B、射線和射線不是同一條射線，錯誤，不符合題意；C、兩點之間的線度長度就是兩點之間的距離，正確，符合題意；D、同角的補角一定相等，錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了線段中點的概念、射線的表示方法、兩點間的距離的定義、補角的概念，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的概念．6．已知下列命題：①同旁內(nèi)角互補；②若a＝b，則a2＝b2；③有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形；④若a＞0，b＞0，則a+b＞0，其中逆命題屬于假命題的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先交換原命題的題設(shè)與結(jié)論部分得到各命題的逆命題，然后分別根據(jù)同旁內(nèi)角的定義、平方的定義、直角三角形的定義和有理數(shù)的性質(zhì)判斷四個逆命題的真假．【詳解】解：①同旁內(nèi)角互補的逆命題為互補的角為同旁內(nèi)角，此逆命題為假命題；②若a＝b，則a2＝b2，它的逆命題為若a2＝b2，則a＝b，此逆命題為假命題；③有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，它的逆命題為直角三角形有一個內(nèi)角為直角，此逆命題為真命題；④若a＞0，b＞0，則a+b＞0，它的逆命題為若a+b＞0，則a＞0，b＞0，此逆命題為假命題．故選：C．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．二、填空題7．下列語句哪些是命題，哪些不是命題？（1）作，（）（2）兩個銳角互余．（）（3）直線a與b有可能垂直．（）（4）作射線．（）（5）作直線．（）（6）整數(shù)一定是有理數(shù)．（）【答案】（1）不是，（2）是，（3）不是，（4）不是，（5）不是，（6）是【分析】判斷一件事情的語句叫命題，根據(jù)定義解答．【詳解】解：（1）作，不是命題；故答案為：不是．（2）兩個銳角互余，是命題；故答案為：是．（3）直線a與b有可能垂直，不是命題；故答案為：不是．（4）作射線，不是命題；故答案為：不是．（5）作直線，不是命題；故答案為：不是．（6）整數(shù)一定是有理數(shù)，是命題；故答案為：是．【點睛】此題考查命題的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．8．“銳角與鈍角是互為補角”是________命題．（填寫“真”或“假”）【答案】假【分析】利用互補的定義進行判斷即可．【詳解】解：30°的銳角和100°的鈍角的和為130°，不是互為補角，所以“銳角與鈍角是互為補角”是假命題．故答案為：假．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是能夠舉出反例．9．下列語句：①同旁內(nèi)角相等；②如果，那么；③對頂角相等嗎？④畫線段；⑤兩點確定一條直線．其中是命題的有______；是真命題的有______．（只填序號）【答案】①②⑤②⑤【分析】判斷一件事情的語句叫命題，正確的命題叫真命題，根據(jù)定義依次分析解答．【詳解】解：①同旁內(nèi)角相等是命題，是假命題；②如果，那么是命題，是真命題；③對頂角相等嗎？不是命題；④畫線段不是命題；⑤兩點確定一條直線是命題，是真命題．故答案為：①②⑤，②⑤．【點睛】此題考查命題的定義，真命題的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．10．下列命題中：①帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；②直線外一點與直線上各點的連線段中，垂線段最短；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④已知三條直線，，，若，，則．真命題有______（填序號）．【答案】②④【分析】由無理數(shù)的定義、垂線段最短的性質(zhì)、平行公理、平行線的推論分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：是有理數(shù)，帶根號的數(shù)都是無理數(shù)是錯誤的；則①錯誤；直線外一點與直線上各點的連線段中，垂線段最短；②正確；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；則③錯誤；已知三條直線，，，若，，則；④正確；故答案為：②④．【點睛】本題考查了無理數(shù)的定義、垂線段最短的性質(zhì)、平行公理、平行線的推論，解題的關(guān)鍵是熟記所學的知識進行判斷．11．用一組的值說明命題“若，則”是假命題，這組值可以是___________．（按的順序填寫）【答案】2，1，1（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意選擇a、b、c的值即可．【詳解】解：當a＝2，b＝1，c＝﹣1時，2＞1，而2×（﹣1）＜1×（﹣1），∴命題“若a＞b，則ac＞bc”是錯誤的，故答案為：2，1，1（答案不唯一）．【點睛】本題考查了命題與定理，不等式的性質(zhì)，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．12．用一組a，b的值說明“若a>b，則a2>b2”是假命題，若小亮取a=3，則b=________．【答案】4（答案不唯一）【分析】找出一個小于3的值，使a2＜b2即可得答案．【詳解】當b=4時，∵3＞4，32＜42，∴“若a>b，則a2>b2”是假命題，故答案為：4【點睛】本題考查命題，正確找出反例是解題關(guān)鍵．13．下列命題中，屬于真命題的有______（填序號）：①互補的角是鄰補角；②無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；③同位角相等；④兩條平行線的同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直；⑤如果，那么．【答案】②④⑤【分析】根據(jù)鄰補角、無理數(shù)、平行線的性質(zhì)和平方根進行判斷即可．【詳解】解：①鄰補角一定互補，但互補的角不一定是鄰補角，故錯誤，是假命題；②無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，正確，是真命題；③兩直線平行，同位角相等，故錯誤，是假命題；④如圖所示，直線a，b被直線c所截，且a//b，直線AB平分∠CAE，直線CD平分∠ACF，AB，CD相交于點G．求證：AB⊥CD．證明：∵a//b，∴∠CAE+∠ACF=180°．又AB平分∠CAE，CD平分∠ACF，所以∠1=∠CAE，∠2=∠ACF．所以∠1+∠2=∠CAE+∠ACF=(∠CAE+∠ACF)=×180°=90°．又∵△ACG的內(nèi)角和為180°，∴∠AGC=180°(∠1+∠2)=180°90°=90°，∴AB⊥CD．∴兩條平行線的同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直，正確，是真命題；⑤如果，那么，正確，是真命題．故答案為：②④⑤．【點睛】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的定義、性質(zhì)定理及判定定理．14．下列命題：①對頂角相等；②為了了解某校七年級600名學生的體重情況，從中抽查了50名學生的體重進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，總體是指600名學生的體重；③已知正實數(shù)的平方根是和，若，則；④若不等式對一切實數(shù)都成立，則的最大值是5；其中真命題是：______．（請?zhí)钚蛱枺敬鸢浮竣佗冖邸痉治觥坑蓪斀堑男再|(zhì)判斷①，由總體的含義判斷②，由平方根的含義及利用平方根解方程可判斷③，利用數(shù)軸及絕對值的含義可判斷④，從而可得答案.【詳解】解：①對頂角相等是對頂角的性質(zhì)，是真命題；②為了了解某校七年級600名學生的體重情況，從中抽查了50名學生的體重進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，總體是指600名學生的體重；符合總體的含義，是真命題；③由題可知，，，，則正實數(shù)；是真命題，④不等式可以看作在數(shù)軸上，其中點所表示的數(shù)是，則數(shù)對應(yīng)的點到數(shù)對應(yīng)的點與對應(yīng)的到數(shù)4對應(yīng)的點的距離之和，如圖，距離之和的最小值是，，則的最大值是3.故是假命題，綜上：真命題有：①②③故答案為：①②③【點睛】本題考查的是對頂角的性質(zhì)，總體的概念，平方根的含義，利用平方根解方程，數(shù)軸，真假命題的判斷，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.三、解答題15．說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（3）如果，那么．【答案】（1）多邊形是四邊形，真，假；（2）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，真，真；（3）如果a=0，b=0，則ab=0，假，真．【分析】（1）交換命題的題設(shè)與結(jié)論得到原命題的逆命題，根據(jù)四邊形與多邊形的定義判斷兩命題的真假；（2）交換命題的題設(shè)與結(jié)論得到原命題的逆命題，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定方法判斷兩命題的真假；（3）交換命題的題設(shè)與結(jié)論得到原命題的逆命題，根據(jù)有理數(shù)的性質(zhì)判斷兩命題的真假．【詳解】解：（1）四邊形是多邊形為真命題，其逆命題為多邊形是四邊形，此逆命題為假命題；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補為真命題，其逆命題為同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，此逆命題為真命題；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0為假命題，其逆命題為如果a=0，b=0，則ab=0，此逆命題為真命題．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．16．把下列命題改寫成“如果…那么…”的形式．（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）同角的補角相等；（3）三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4）等腰三角形的兩個底角相等．【答案】（1）如果兩直線平行，那么內(nèi)錯角相等；（2）如果兩個角是同角的補角，那么在兩個角相等；（3）如果兩個三角形三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；（4）如果一個三角形是等腰三角形，那么它的兩個底角相等．【分析】根據(jù)如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論把各個命題寫成“如果…那么…”的形式．【詳解】解：（1）如果兩直線平行，那么內(nèi)錯角相等；（2）如果兩個角是同角的補角，那么在兩個角相等；（3）如果兩個三角形三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；（4）如果一個三角形是等腰三角形，那么它的兩個底角相等．【點睛】本題考查將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解題關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論．17．下列各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？（1）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；（2）如果兩個角是直角，那么它們相等；（3）全等三角形的對應(yīng)邊相等；（4）如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等．【答案】（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．成立；（2）如果兩個角相等，那么這兩個角是直角．不成立；（3）三條邊對應(yīng)相等的三角形全等．成立；（4）如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等．不成立【分析】首先寫出各自的逆命題，再根據(jù)所學知識進行判斷：（1）逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；平行線的判定定理，命題成立；（2）逆命題：如果兩個角相等，那么它們是直角；兩個相等的角不一定是直角，命題不成立；（3）逆命題：如果兩個三角形的三條對應(yīng)邊相等，則它們?nèi)龋蝗绻麅蓚€三角形的三條對應(yīng)邊相等，則它們一定全等，命題成立；（4）逆命題：如果兩個實數(shù)的平方相等，那么它們相等；如果兩個實數(shù)的平方相等，那么它們不一定相等，有可能互為相反數(shù)，命題不成立．【詳解】（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，成立；（2）如果兩個角相等，那么它們是直角；不成立；（3）如果兩個三角形的三條對應(yīng)邊相等，則它們?nèi)?；成立；?）如果兩個實數(shù)的平方相等，那么它們相等；不成立．【點睛】本題主要考查命題與逆命題，解此題的關(guān)鍵在于準確寫出逆命題，且熟練掌握各個基本知識點.18．如圖，有如下四個論斷：①，②，③平分，④平分．（1）若選擇四個論斷中的三個作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，構(gòu)成一個數(shù)學命題，其中正確的有哪些？不需說明理由．（2）請你在上述正確的數(shù)學命題中選擇一個進行說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）選擇四個論斷中的三個作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如果①②③，那么④，正確；如果①②④，那么③，正確；如果①③④，那么②，正確；如果②③④，那么①，正確；（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求證：EF平分∠BED．證明：∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【點睛】本題考查了命題與定理，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例．（1）兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角；（2）內(nèi)錯角相等；（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．【答案】（1）題設(shè)：如果兩個角的和等于平角時，結(jié)論：那么這兩個角互為補角；是真命題；（2）題設(shè)：如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等；是假命題，反例見解析；（3）題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么內(nèi)錯角相等．是真命題．【分析】（1）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論可得題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平角的定義可得該命題是真命題；（2）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論可得題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得該命題是假命題；利用相交直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角不相等可舉反例；（3）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論可得題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得該命題是真命題；．【詳解】（1）題設(shè)：如果兩個角的和等于平角，結(jié)論：那么這兩個角互為補角；是真命題；（2）題設(shè)：如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等；是假命題，如圖∠1與∠2是內(nèi)錯角，∠2＞∠1；（3）題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么內(nèi)錯角相等．是真命題．【點睛】本題考查了命題與定理的相關(guān)知識．將命題寫成“如果…，那么…”的形式，就是要明確命題的題設(shè)和結(jié)論，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論．關(guān)鍵是明確命題與定理的組成部分，會判斷命題的題設(shè)與結(jié)論．20．（概念學習）定義：對于一個三位的自然數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和除以個位數(shù)字的商為整數(shù)，則稱這個自然數(shù)為“好數(shù)”．例如：714是“好數(shù)”，因為它是一個三位的自然數(shù)，7，1，4都不為0，且，，2為整數(shù)；643不是“好數(shù)”，