4.5利用三角形全等測(cè)距離（分層練習(xí)）

第四章三角形4.5利用三角形全等測(cè)距離精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，紅紅書上的三角形被墨跡污染了一部分，她根據(jù)所學(xué)的知識(shí)很快就畫了一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么紅紅畫圖的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】C【分析】由題意可知：被墨跡污染了的三角形保留了完整的兩角及其夾邊，于是可根據(jù)ASA進(jìn)行判斷.【詳解】解：由題意可知：被墨跡污染了的三角形保留了完整的兩角及其夾邊，可根據(jù)ASA畫出一個(gè)與書上完全一樣的三角形；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，正確理解題意、熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.2．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）慶陽湖國家水利風(fēng)景區(qū)位于甘肅省慶陽市西峰區(qū)，依托慶陽市城市雨洪集蓄工程而建，景區(qū)規(guī)劃面積，其中水域面積，屬于城市河湖型水利風(fēng)景區(qū)，億萬年前，這里是一個(gè)巨大的史前湖泊，范圍之大，難以想象．如圖，小明利用全等三角形的知識(shí)測(cè)量慶陽湖兩端M、N的距離，若，則只需測(cè)出其長度的線段是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴要測(cè)量出M、N的距離，只需要測(cè)出線段的長度即可，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣西南寧·八年級(jí)南寧三中?？计谥校┤鐖D，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂線DE，使點(diǎn)A、C、E在同一條直線上（如圖），可以說明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此測(cè)得DE的長就是AB的長，判定△ABC≌△EDC，最恰當(dāng)?shù)睦碛墒牵ǎ〢．SAS B．HL C．SSS D．ASA【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．【詳解】解：因?yàn)樽C明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等即ASA這一方法．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的應(yīng)用，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時(shí)注意選擇．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．4．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為了測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的A，B兩點(diǎn)之間的距離，小明同學(xué)在池塘外取AB的垂線BF上兩點(diǎn)C，D，BC=CD，再畫出BF的垂線DE，使點(diǎn)E與A，C在同一條直線上，可得△ABC≌△EDC，從而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依據(jù)是（

）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．【詳解】解：在△ABC和△EDC中：，∴△ABC≌△EDC（ASA）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，將兩根鋼條，的中點(diǎn)O連在一起，使，可繞點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件，則的長等于內(nèi)槽寬，那么判定的理由是（

）A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．角角邊【答案】A【分析】由已知有，且對(duì)頂角相等，則由SAS可判斷，從而問題解決．【詳解】由已知∵∴(SAS)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，掌握全等三角形的幾個(gè)判定方法是關(guān)鍵．6．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個(gè)木樁上，則兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離與的距離間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)“兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個(gè)木樁上”可以判斷，又，，所以，所以．【詳解】解：，，由，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用；充分運(yùn)用題目條件，圖形條件，尋找三角形全等的條件．本題關(guān)鍵是證明．二、填空題7．（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出了完全一樣的一個(gè)三角形，他的依據(jù)是__．【答案】【分析】根據(jù)圖形，未污染的部分兩角與這兩角的夾邊可以測(cè)量，然后根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【詳解】解：小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出了完全一樣的一個(gè)三角形，他根據(jù)的定理是：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）．故答案為：ASA．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．8．（2022秋·廣東河源·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，要測(cè)量水池寬，可從點(diǎn)出發(fā)在地面上畫一條線段，使，再從點(diǎn)觀測(cè)，在的延長線上測(cè)得一點(diǎn)，使，這時(shí)量得，則水池寬的長度是__m．【答案】120【分析】利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】，，，，，，故答案為120．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．9．（2020秋·北京·八年級(jí)?？计谥校┬∶鞑簧鲗⒁粔K三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊）你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形?應(yīng)該帶______．依據(jù)__________________．【答案】

2

角邊角【分析】應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行一一驗(yàn)證．【詳解】解：（1）1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)ィ挥械?塊有完整的兩角及夾邊，故應(yīng)帶第2塊；（2）第2塊具備三角形全等的要素兩角及夾邊，所緊依據(jù)是角邊角；故答案為：2；角邊角．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個(gè)包含的條件符合某個(gè)判定．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊分別在坐標(biāo)軸上，，．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)且速度是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的倍，若用來表示運(yùn)動(dòng)秒時(shí)與全等，寫出滿足與全等時(shí)的所有情況_____________．【答案】或【分析】當(dāng)和全等時(shí)，得到OA＝CQ，OQ＝PC或OA＝PC，OQ＝QC，代入即可求出a、t的值．【詳解】當(dāng)和全等時(shí)，OA＝CQ，OQ＝PC或OA＝PC，OQ＝QC∵OA＝8=BC，PC＝2t，OQ＝2at，QC＝12?2at，代入得：或，解得：t＝2，a＝1，或t＝4，a＝，∴的所有情況是或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是正確分組討論．三、解答題11．（2020秋·安徽銅陵·八年級(jí)銅陵市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，≌，已知，，求的度數(shù)．【答案】【分析】由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等知∠B=∠D=30°，然后由三角形外角定理來求∠EFC的度數(shù)．【詳解】解：∵≌，．又∵，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等及全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．12．（2020秋·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AD=CB，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F是垂足，AE=CF．求證：（1）AB=CD（2）AB//CD．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用HL得到直角三角形ADE與直角三角形CBF全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到DE=BF，可得DF=BE，利用SAS得到三角形AEB與三角形CFD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得證．【詳解】證明：（1），，∴DE=BF∵，∴（SAS）∴AB=CD；（2）∵∴【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2020秋·吉林長春·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)是AD上的任意兩點(diǎn)、若，，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】12【分析】利用SSS證明△ADC≌△ADB，可得△ABD的面積=△ACD的面積，通過拼接可得陰影部分的面積=△ABD的面積，再利用三角形的面積公式可求解．【詳解】解：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ADC≌△ADB（SSS），∴S△ADC=S△ADB，∵BC=8，∴BD=4，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴EB=EC，F(xiàn)B=FC，∵EF=EF，∴△BEF≌△CEF（SSS）∴S△BEF=S△CEF，∵AD=6，∴S陰影=S△ADB=BD?AD＝×4×6＝12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積，理解S陰影=S△ADB是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，小明用塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放一個(gè)等腰直角三角尺，點(diǎn)在上，點(diǎn)，分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為______．【答案】7【分析】根據(jù)題意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD=EC=2cm，DC=BE=5cm，∴DE=DC+CE=7（cm），所以兩堵木墻之間的距離為7cm．故答案為：7【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．3．（2020秋·北京海淀·八年級(jí)海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┙滩闹杏腥缦乱欢挝淖郑核伎迹喝鐖D，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC，固定住長木棍，轉(zhuǎn)動(dòng)短木棍，得到△ABD，這個(gè)實(shí)驗(yàn)說明了什么？如圖中的△ABC與△ABD滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不全等．這說明，有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等．小明通過對(duì)上述問題的再思考，提出：兩邊分別相等且這兩邊中較大邊所對(duì)的角相等的兩個(gè)三角形全等．請(qǐng)你判斷小明的說法_____．（填“正確”或“不正確”）【答案】正確【分析】根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知條件，然后可得∠ACG＝∠DFH，進(jìn)而可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行分析問題．【詳解】解：小明的說法正確．理由：如圖，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．∵∠ACB＝∠DFE，∴∠ACG＝∠DFH，在△ACG和△DFH中，，∴△ACG≌△DFH，∴AG＝DH，在Rt△ABG和Rt△DEH中，，∴△ABG≌△DEH，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF．（當(dāng)△ABC和△DEF是銳角三角形時(shí)，證明方法類似）．故答案為正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形全等的判定及三角形全等的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形全等的判定及三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，垂足為，，，射線，垂足為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度設(shè)射線運(yùn)動(dòng)，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終滿足．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)______s時(shí)，與全等．【答案】6或10或16【分析】根據(jù)題意可分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行分類求解即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，由題意得：，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，且滿足，∵，∴，∵，∴，即，解得：；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，且滿足，則，∴，即，解得：；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，且滿足，則，∴，即，解得：；綜上所述：當(dāng)為6或10或16秒時(shí)，與全等．故答案為6或10或16．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為______厘米/秒時(shí)，能夠使與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．【答案】或【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則，，∵，∴①當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，解得，∴，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒；②當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，，解得，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒；綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒或厘米/秒時(shí)，能夠使與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．二、解答題6．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，請(qǐng)猜想圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（2）如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化，四周修有步行小徑，且，在小徑上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)經(jīng)測(cè)量得到，米，米，試求兩涼亭之間的距離．【答案】（1），證明見解析；（2）米【分析】（1）延長到點(diǎn)G，使，連接，利用證明，推出，再證明，據(jù)此即可得到；（2）延長至H，使，連接，利用證明，推出，再證明，據(jù)此計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1）猜想：，證明：如圖1，延長到點(diǎn)G，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）如圖2，延長至H，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵米，米，∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學(xué)興趣小組在老師帶領(lǐng)下不用涉水過河就測(cè)得河的寬度，他們是這樣做的：①在河流的一條岸邊B點(diǎn)，選對(duì)岸正對(duì)的一棵樹A；②沿河岸直走有一樹C，繼續(xù)前行到達(dá)D處；③從D處沿河岸垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處時(shí)停止行走；④測(cè)得的長為6米．根據(jù)他們的做法，回答下列問題