專題04 相似三角形重要模型之一線三等角模型（原卷版）

專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．例2．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．

例3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究：若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用：如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長．例4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的大??；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．例5.（2022·浙江·嘉興一中一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分別過A、B向經(jīng)過點(diǎn)C直線作垂線，垂足分別為D、E，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC≌△CEB．(1)探究問題：如果AC≠BC，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；△ADC∽△CEB．請你說明理由．(2)學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x與直線CD交于點(diǎn)M（2，1），且兩直線夾角為α，且tanα＝，請你求出直線CD的解析式．(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)E為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD外部時(shí)，連接PC，PD．若△DPC為直角三角形時(shí)，請你探究并直接寫出BE的長．例6．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點(diǎn)G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由．例7．（2023秋·遼寧錦州·九年級統(tǒng)考期末）已知四邊形．(1)問題探究：如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)E，Q分別在邊，上，于點(diǎn)M，點(diǎn)F，G分別在邊，上，．①判斷與的數(shù)量關(guān)系：___________；②推斷：的值為___________．(2)變式應(yīng)用：如圖2，當(dāng)四邊形是矩形，．點(diǎn)F，G分別在邊，上，將四邊形沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形，連接交于點(diǎn)O．試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，若點(diǎn)E，Q分別在邊BC，上，，請直接寫出的值．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長是（

）．

A．1 B．3 C．1或3 D．1或42．（2023春·重慶榮昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，將點(diǎn)折疊到邊上點(diǎn)處，折痕為，連接，，若點(diǎn)是中點(diǎn)，則長為（

）

A． B． C． D．3．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，等邊的邊長為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊沿過點(diǎn)的直線折疊，該直線與直線交于點(diǎn)，使點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，且折痕為則的長為．4．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級統(tǒng)考期末）如圖．是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別為邊，上的點(diǎn)，，若，，則的長為．

5．（2022秋·陜西西安·九年級校考期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在上，且，若的邊長為6，，則的長為．

6．（2022秋·陜西西安·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，如果，，，那么正方形的邊長等于．

7．（2023春·山東聊城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②射線是的角平分線；③；④．其中正確結(jié)論的結(jié)論：（填序號(hào)）

8．（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）在等邊中，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，，則的邊長為．

9．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為______．10．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級期末）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=____．

11．（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)從點(diǎn)以每分鐘個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)以每分鐘2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)分鐘后，與全等．12．（2023·吉林長春·九年級校聯(lián)考期中）[感知]如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與A、B重合），，易證：△DAP∽△PBC（不要求證明）[探究]如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與A、B重合），（1）求證：△DAP∽△PBC．（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的長.[應(yīng)用]如圖③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與A、B重合），連結(jié)CP，作，與邊BC交于點(diǎn)E.當(dāng)CE=3EB時(shí)，直接寫出AP的長.13．（2023·北京西城·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是上一點(diǎn)，，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作，射線交線段于.（1）求證：；（2）當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求線段的長；14．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）⑴如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D、E在直線AB同側(cè)，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求證：AC＝BE.⑵如圖2，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D、E在直線AB同側(cè)，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.①求證：；②連接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；⑶如圖3，在△ABD中，點(diǎn)C在AB邊上，且∠ADC＝∠ABD，點(diǎn)E在BD邊上，連接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接寫出的值.15．（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期中）【感知】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．【探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．【拓展】（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG=CG．16．（2023春·湖北孝感·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）【模型建立】（1）如圖1，在等邊中，點(diǎn)D、E分別在邊上，，求證：；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)F在邊上，，則的值為_____________；【模型拓展】（3）如圖3，在鈍角中，，點(diǎn)D、E分別在邊上，，若，，求的長．17．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，（），，交邊于點(diǎn)，，連接．

(1)如圖，當(dāng)時(shí)，①求的度數(shù)；②若，，請直接寫出的長；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，若，，求的