2025屆甘肅省嘉峪關(guān)市數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

2025屆甘肅省嘉峪關(guān)市數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．隨機(jī)地向兩個(gè)標(biāo)號分別為1與2的格子涂色，涂上紅色或綠色，在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的概率為（）A. B.C. D.2．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A. B.C. D.3．直線的傾斜角是（）A. B.C. D.4．若復(fù)數(shù)的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.5．若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)6．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點(diǎn)，則直線AD與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.7．如果一個(gè)矩形長與寬的比值為，那么稱該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.8．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是雙曲線上的一點(diǎn),且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.489．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；②曲線是一個(gè)橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③10．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，（）A B.C. D.11．橢圓上的一點(diǎn)M到其左焦點(diǎn)的距離為2，N是的中點(diǎn)，則等于（）A.1 B.2C.4 D.812．已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.C.4 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，P是C上一點(diǎn)，若|PF|＝5，則|PM|＝__.14．在圓M：中，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為___________.15．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么它的前項(xiàng)和___________.16．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進(jìn)入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈．已知甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員均進(jìn)入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響（1）求甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙（甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù)）的概率18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC面積的最大值.19．（12分）如圖，OP為圓錐的高，AB為底面圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，并且，E為劣弧上的一點(diǎn)，且，.（1）若E為劣弧的中點(diǎn)，求證：平面POE；（2）若E為劣弧的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），求平面PEO與平面PEB的夾角的余弦值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為、，動(dòng)點(diǎn)P滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）設(shè)過且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，問：線段上是否存在一點(diǎn)D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請給出證明：若不存在，請說明理由21．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點(diǎn)，且平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值.22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，①求；②若不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色有紅色與綠色兩種情況，其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的情況有1種，所以在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的概率為.故選：D.2、C【解析】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系3、A【解析】將直線方程化為斜截式，由此確定斜率；根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，由得：，則斜率，.故選：A.4、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，設(shè)切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A5、C【解析】由條件，可得，利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的正誤，得出答案.【詳解】因?yàn)?，所?因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得、均為正數(shù)，所以，（由條件，所以等號不成立），所以④正確.故選：C.6、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)后求出直線的方向向量和平面的法向量，借助向量的運(yùn)算求出線面角的正弦值【詳解】取AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)三棱柱的棱長為2，則，∴設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由故令，得設(shè)直線AD與平面所成角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為故選A【點(diǎn)睛】空間向量的引入為解決立體幾何問題提供了較好的方法，解題時(shí)首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)后借助向量的運(yùn)算，將空間圖形的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算處理．在解決空間角的問題時(shí)，首先求出向量夾角的余弦值，然后再轉(zhuǎn)化為所求的空間角．解題時(shí)要注意向量的夾角和空間角之間的聯(lián)系和區(qū)別，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤7、B【解析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.8、C【解析】雙曲線的實(shí)軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了焦點(diǎn)三角形以及橢圓的定義運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)所以曲線圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個(gè)頂點(diǎn)在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D10、C【解析】求出圓心坐標(biāo)和直線過定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有，即，解得.故選：C.11、C【解析】先利用橢圓定義得到，再利用中位線定理得即可.【詳解】由橢圓方程，得，由橢圓定義得，又，，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，線段為中位線，∴.故選：C.12、B【解析】設(shè)，，根據(jù)向量的數(shù)量積得到，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到答案；【詳解】設(shè)，，，與橢圓聯(lián)立，解得：，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)及拋物線方程可求坐標(biāo)，進(jìn)而得解.【詳解】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由題意可得，設(shè)，有拋物線的性質(zhì)可得：，解得x＝4，代入拋物線的方程可得，所以，故答案為：.14、【解析】首先將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而可得點(diǎn)在圓內(nèi)，即可得到過點(diǎn)的最長弦、最短弦弦長，即可求出四邊形的面積；【詳解】解：圓M：，即，圓心，半徑，點(diǎn)，則，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以過點(diǎn)的最長弦，又，所以最短弦，所以故答案為：15、【解析】由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，..故答案為：.16、【解析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求出甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率，從而可求出甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）由于甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙6環(huán)，甲9環(huán)或10環(huán)，或者乙7環(huán)，甲10環(huán)，再利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可得甲運(yùn)動(dòng)員打中10環(huán)的概率為，所以甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率為【小問2詳解】因?yàn)榧妆纫衣浜?環(huán)，所以甲要獲勝，則乙打中6環(huán)，甲打中9環(huán)或10環(huán)，或者乙打中7環(huán)，甲打中10環(huán)，因?yàn)橛深}意可得乙打中6環(huán)的概率和打中7環(huán)的概率均為，甲打中9環(huán)的概率為，打中10環(huán)的概率為，且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲能戰(zhàn)勝乙的概率為18、（1）（2）【解析】（1）對，利用正弦定理和誘導(dǎo)公式整理化簡得到，即可求出；（2）先由正弦定理求出c，再由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值為1，代入面積公式求面積.【小問1詳解】對于.由正弦定理知：即.所以.所以.所以因?yàn)?，，所?所以.因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)?，由正弦定理知?由余弦定理知：，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以ab的最大值為1.所以，即面積的最大值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）推導(dǎo)出平面，，，由此能證明平面（2）推導(dǎo)出，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小問1詳解】證明：為圓錐的高，平面，又平面，，為劣弧的中點(diǎn)，，，平面，平面【小問2詳解】解：解：為劣弧的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)，為底面圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，并且，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，，，，0，，，3，，0，，，，，，，，，3，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，二面角的余弦值為20、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意用定義法求解軌跡方程；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理表達(dá)出兩根之和，兩根之積，求出直線l的垂直平分線，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，證明出結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：，所以，，而，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓方程，由得：，，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為；【小問2詳解】存，理由如下：顯然，直線l的斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程得：，設(shè)，，則，，要想以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，則點(diǎn)D為AB垂直平分線上一點(diǎn)，其中，，則，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則AB的垂直平分線為：，令得：，且無論為何值，，點(diǎn)D在線段上，滿足題意.21、（1）（2）線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問1詳解】由，，為中點(diǎn)，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內(nèi)所以所以,取的中點(diǎn)，連接，則,所以,所以所以所以則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由即,即【小問2詳解】線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過點(diǎn)作交于，則為中點(diǎn)，則為的中點(diǎn),即又平面，則平面過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面