考點17切線的性質(zhì)和判定-2022四川中考數(shù)學(xué)試題分類匯編

考點17:切線的性質(zhì)和判定1.（2022自貢）為⊙外一點，與⊙相切于點，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接OT，根據(jù)切線的性質(zhì)求出求，結(jié)合利用含的直角三角形的性質(zhì)求出OT，再利用勾股定理求得PT的長度即可．【詳解】解：連接OT，如下圖．

∵與⊙相切于點，∴．∵，，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出OT的長度是解答關(guān)鍵．2.（2022達(dá)州）如圖，在中，，點O為邊上一點，以為半徑的⊙與相切于點D，分別交，邊于點E，F(xiàn)．

（1）求證：平分；（2）若，，求⊙的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，繼而證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（2）連接DE，根據(jù)直徑所對圓周角是直角可得，繼而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)即可求解．【小問1詳解】

連接OD，，以為半徑的⊙與相切于點D，，，，，，，平分；【小問2詳解】

連接DE，AE是直徑，，，，，，，，，解得，，⊙的半徑為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)及銳角三角函數(shù)，熟練掌握知識點并準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3.（2022德陽）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足是點，過點作直線分別與，的延長線交于點，，且．（1）求證：是的切線；（2）如果，，①求的長；②求的面積．【答案】（1）證明過程見詳解（2）①②【解析】【分析】（1）連接OC、BC，根據(jù)垂徑定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根據(jù)∠ECD=2∠BAD，證得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，則有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，則問題得證；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，則問題得解；②過F點作FP⊥AB，交AE的延長線于點P，先證△PAF∽△HAC，再證明△PEF∽△HEC，即可求出PF，則△PEF的面積可求．【小問1詳解】連接OC、BC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切線；【小問2詳解】①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的結(jié)論中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OBOH=54=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切線，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②過F點作FP⊥AB，交AE的延長線于點P，如圖，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面積為．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．利用相似三角形的性質(zhì)是解題的難點．4.（2022廣安）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點，延長AB至點C，連接CD，∠BDC=∠BAD．（1）求證：CD是⊙O切線．（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半徑．【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）連接OD，只要證明，則有，即可證明結(jié)論成立；（2）由圓周角定理，求得，然后證明△ACD∽△DCB，求出CD的長度，再根據(jù)勾股定理，即可求出答案．【小問1詳解】證明：連接OD，如圖∵AB為⊙O的直徑，∴，∴，∵OA=OD，∴，∵∠BDC=∠BAD，∴，∴，∴，∴CD是⊙O的切線．【小問2詳解】解：∵，∴，∵△ABD是直角三角形，∴，∵，，∴△ACD∽△DCB，∴，∵，∴，∴，在直角△CDO中，設(shè)⊙O的半徑為，則，∴，解得：；∴⊙O的半徑為；【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的理解題意，從而進(jìn)行解題．5.（2022廣元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E是邊BC的中點，連結(jié)DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O半徑．【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）連接OD，OE，由題意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，則有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，進(jìn)而問題可求證；（2）連接CD，由題意易得∠ADC=90°，然后可證△ADC∽△CDB，則有，進(jìn)而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解．【小問1詳解】證明：連接OD，OE，如圖所示：∵，∴∠A=∠ODA，∵點E是邊BC的中點，∴OE∥AB，∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，∴∠DOE=∠COE，∵，∴△COE≌△DOE（SAS），∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴DE是⊙O的切線；【小問2詳解】解：連接CD，如圖所示：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，即，∵AD＝4，BD＝9，∴，∴，在Rt△ADC中，由勾股定理得：，∴⊙O的半徑為．【點睛】本題主要考查切線的判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握切線的判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．6.（2022樂山）如圖，線段AC為⊙O的直徑，點D、E在⊙O上，=，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．連結(jié)CE交DF于點G．（1）求證：CG=DG；（2）已知⊙O的半徑為6，，延長AC至點B，使．求證：BD是⊙O的切線．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）連接AD，得到∠ADF+∠FDC=90°，由DF⊥AC，得到∠ADF+∠DAF=90°，再由=，可推出∠DCE=∠FDC，即可證明CG=DG；（2）要證明BD是⊙O的切線，只要證明OD⊥BD，只要證明BD∥CE，通過計算求得sin∠B=，即可證明結(jié)論．【小問1詳解】證明：連接AD，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，則∠ADF+∠FDC=90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，則∠ADF+∠DAF=90°，∴∠FDC=∠DAF，∵=，∴∠DCE=∠DAC，∴∠DCE=∠FDC，∴CG=DG；【小問2詳解】證明：連接OD，設(shè)OD與CE相交于點H，∵=，∴OD⊥EC，∵DF⊥AC，∴∠ODF=∠OCH=∠ACE，∵，∴sin∠ODF=sin∠OCH=，即=，∴OF=，由勾股定理得DF=，F(xiàn)C=OCOF=，∴FB=FC+BC=，由勾股定理得DB==8，∴sin∠B==，∴∠B=∠ACE，∴BD∥CE，∵OD⊥EC，∴OD⊥BD，∵OD是半徑，∴BD是⊙O的切線．【點睛】本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識點，熟練掌握圓的切線的判定及圓中的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵．7.（2022涼山州）如圖，已知半徑為5的⊙M經(jīng)過x軸上一點C，與y軸交于A、B兩點，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6（1）判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求AB的長；（3）連接BM并延長交圓M于點D，連接CD，求直線CD的解析式．【答案】（1）⊙M與x軸相切，理由見解析（2）6（3）y=x+【解析】【分析】（1）連接CM，證CM⊥x即可得出結(jié)論；（2）過點M作MN⊥AB于N，證四邊形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，設(shè)AN=x，則OA=5x，MN=OC=6(5x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂徑定理得AB=2AN即可求解；（3）連接BC，CM，過點D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以O(shè)B=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，求得CD=2，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=，PD=，從而得出點D坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線CD解析式即可．【小問1詳解】解：⊙M與x軸相切，理由如下：連接CM，如圖，∵M(jìn)C=MA，∴∠MCA=∠MAC，∵AC平分∠OAM，∴∠MAC=∠OAC，∴∠MCA=∠OAC，∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，∵M(jìn)C是⊙M的半徑，點C在x軸上，∴⊙M與x軸相切；【小問2詳解】解：如圖，過點M作MN⊥AB于N，由（1）知，∠MCO=90°，∵M(jìn)N⊥AB于N，∴∠MNO=90°，AB=2AN，∵∠CON=90°，∴∠CMN=90°，∴四邊形OCMN是矩形，∴MN=OC，ON=CM=5，∵OA+OC=6，設(shè)AN=x，∴OA=5x，MN=OC=6(5x）=1+x，在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，解得：x1=3，x2=4（不符合題意，舍去），∴AN=3，∴AB=2AN=6；【小問3詳解】解：如圖，連接BC，CM，過點D作DP⊥CM于P，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，∴OB=8，C（4，0）在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得BC=，∵BD是⊙M的直徑，∴∠BCD=90°，BD=10，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得CD=，在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2CP2=22CP2=4CP2，在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2MP2=MD2（MCMP）2=52（5CP）2=10CP+CP2，∴4CP2=10CPCP2，∴CP=，∴PD2=4CP2=4=，∴PD=，∴D（+4，），設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，把C（4，0）,D（+4，）代入，得，解得：，∴直線CD的解析式為：y=x+．【點睛】本題考查直線與圓相切的判定，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握直線與圓相切的判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法是解題的關(guān)鍵．8.（2022綿陽）如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點，D為劣弧的中點，過點D作⊙O的切線與AC的延長線交于點P，與AB的延長線交于點F，AD與BC交于點E．（1）求證：；（2）若⊙O的半徑為，DE＝1，求AE的長度；（3）在（2）的條件下，求的面積．【答案】（1）見解析（2）3（3）【解析】【分析】（1）連接，利用垂徑定理可得，由為⊙O的切線可得，由平行線的判定定理可得結(jié)論；（2）連接，，設(shè)，則，由可得，，在中，利用勾股定理可得，即；（3）連接，，設(shè)與交于點，利用可得，在中利用勾股定理可得，所以，又證明四邊形為矩形，所以面積為矩形面積的一半，進(jìn)而可得的面積．【小問1詳解】解：證明：如圖，連接，為劣弧的中點，，，又為⊙O的切線，，；【小問2詳解】解：如圖，連接，，設(shè)，則，為劣弧的中點，，，又，，，，，為⊙O的直徑，，又⊙O的半徑為，，由得，解得或（舍），；【小問3詳解】解：如圖，設(shè)與交于點，由（2）知，，，在中，，，，，又，，，，，為⊙O的直徑，，由（1）可知，，四邊形為矩形，，，．【點睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．9.（2022南充）如圖，為的直徑，點C是上一點，點D是外一點，，連接交于點E．（1）求證：是的切線．（2）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）3【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到結(jié)論；（2）過點O作OF⊥BC于F，設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根據(jù)OF∥AC，得到，證得OF為△ABC的中位線，求出OF及EF，即可求出的值．【小問1詳解】證明：連接OC，∵為的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴是切線．【小問2詳解】解：過點O作OF⊥BC于F，∵，∴設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BCCE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=，∵OA=OB，OF∥AC，∴，∴CF=BF=2x，EF=CECF=0.5x，∴OF為△ABC的中位線，∴OF=，∴=．【點睛】此題考查了圓周角定理，證明直線是圓的切線，銳角三角函數(shù)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．10.（2022遂寧）如圖，是的外接圓，點O在BC上，的角平分線交于點D，連接BD，CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．（1）求證：PD是的切線；（2）求證：∽；（3）若，，求點O到AD的距離．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）點O到AD的距離為【解析】【分析】（1）連接OD，證明，則，即可得證；（2）由，，可得，根據(jù)四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，又，可得，即可證明∽；（3）過點O作于點E，由∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得，證明∽，繼而求得，在中，利用勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：連接OD，∵AD平分，∴，∴．又∵BC為直徑，∴O為BC中點，∴．∵，∴．又∵OD為半徑，∴PD是的切線；【小問2詳解】證明：∵，∴．∵，∴．∵四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，∴．又∵，∴，∴∽．【小問3詳解】過點O作于點E，∵BC為直徑，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．由（2）知∽，∴，∴，∴．又∵，，∴∽，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，∴點O到AD的距離為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．11.（2022雅安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O與直線AO交于點E和點D．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）連接CE，求證：△ACE∽△ADC；（3）若＝，⊙O的