知識(shí)講解解三角形應(yīng)用舉例提高

/解三角形應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能夠利用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的問(wèn)題；2.提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，并初步掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法；3.掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決幾何計(jì)算問(wèn)題的方法.【學(xué)習(xí)策略】解斜三角形的知識(shí)主要用于測(cè)量及航海兩大類型問(wèn)題.實(shí)際應(yīng)用中，首先要弄清題意，畫(huà)出直觀示意圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題，再確定是哪類解三角形問(wèn)題，即應(yīng)用哪個(gè)定理來(lái)解決.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測(cè)量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡(jiǎn)練，算式工整，計(jì)算正確.其解題的一般步驟是：(1)準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形模型；(3)分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；(4)將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位及近似計(jì)算要求，回答實(shí)際問(wèn)題.要點(diǎn)二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實(shí)際問(wèn)題畫(huà)圖數(shù)學(xué)問(wèn)題解三角形數(shù)學(xué)問(wèn)題的解檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的解要點(diǎn)三、實(shí)際問(wèn)題中的一些名詞、術(shù)語(yǔ)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示：坡角和坡度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者""坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角與方向角：方位角：一般指正北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角。方位角的取值范圍為0°～360°。如圖，點(diǎn)的方位角是。方向角：一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角(一般指銳角)，通常表達(dá)成北(南)偏東(西)多少度。如圖為南偏西方向（指以正南方向?yàn)槭歼?，向正西方向旋轉(zhuǎn)）；如圖為北偏東方向（指從正北開(kāi)始向正東方向旋轉(zhuǎn)）.東南方向：指經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射線是正東與正南的夾角平分線.依此可類推西南方向、西北方向等；要點(diǎn)四、解三角形應(yīng)用中的常見(jiàn)題型正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型有：1.測(cè)量距離問(wèn)題：這類問(wèn)題的情景一般屬于“測(cè)量有障礙物相隔的兩點(diǎn)間的距離”，在測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，測(cè)量工具要有較高的精確度.2.測(cè)量高度問(wèn)題：這類問(wèn)題的情景屬于“測(cè)量底（頂）部不能到達(dá)的物體的高度”.測(cè)量過(guò)程中，要注意選取適量不同的測(cè)量點(diǎn)，使測(cè)量有較高的精確度.3.測(cè)量角度問(wèn)題：這類問(wèn)題的情景屬于“根據(jù)需要，對(duì)某些物體定位”.測(cè)量數(shù)據(jù)越精確，定位精度越高【典型例題】類型一：距離問(wèn)題例1．如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌，其中D為頂端，長(zhǎng)35米，長(zhǎng)80米，設(shè)點(diǎn)A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α和β．(1)設(shè)計(jì)中是鉛垂方向，若要求α≥2β，問(wèn)的長(zhǎng)至多為多少(結(jié)果精確到0.01米)？(2)施工完成后，與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測(cè)得α＝38.12°，β＝18.45°，求的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.01米)．【答案】(1)28.28米.(2)26.93米.【思路點(diǎn)撥】(1)這是一道關(guān)于求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題。題目條件告訴了邊、的長(zhǎng)以及以A、C為頂點(diǎn)的兩個(gè)角，根據(jù)正切函數(shù)的定義及性質(zhì)得到一個(gè)關(guān)于x的不等式，解之得到的長(zhǎng)度。（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理，解得的長(zhǎng)?！窘馕觥?1)設(shè)的長(zhǎng)為x米，則α＝，β＝，∵，∴α≥2β，∴，即，解得0，即的長(zhǎng)至多為28.28米．(2)設(shè)＝a，＝b，＝m，則∠＝180°－α－β＝123.43°，由正弦定理得，即，∴，答：的長(zhǎng)為26.93米．【總結(jié)升華】1.此題雖為解三角形問(wèn)題的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過(guò)程中應(yīng)注意排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準(zhǔn)確地提煉出來(lái).2.解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解。3.在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。舉一反三：【變式1】如圖，為測(cè)量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠＝60°，C點(diǎn)的仰角∠＝45°以及∠＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠＝60°．已知山高＝100m，則山高＝m．【答案】△中，∵∠＝45°，∠＝90°，＝100，∴＝＝100．△中，∵∠＝75°，∠＝60°，∴∠＝45°，由正弦定理可得，即，解得＝100．△中，＝?∠＝100×60°＝150(m)，故答案為：150．【變式2】為了開(kāi)鑿隧道，要測(cè)量隧道上D、E間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)點(diǎn)C，如圖，測(cè)得400m，600m，∠60°，又測(cè)得A、B兩點(diǎn)到隧道口的距離80m，40m(A、D、E、B在一條直線上)，計(jì)算隧道的長(zhǎng).【答案】在△中，400m，600m，∠60°，由余弦定理得∴∴答：隧道長(zhǎng)約為409.2m.【變式3】（2016春邢臺(tái)校級(jí)期中）張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24／h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見(jiàn)電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15后到點(diǎn)B處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是（）A．B．C．D．【答案】如圖，由已知可得，在△中，∠30°，6，∠180°－75°=105°，∠45°由正弦定理可得故選B類型二：測(cè)量高度問(wèn)題【高清課堂：解三角形應(yīng)用舉例377493例2】例2某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進(jìn)40米后，望見(jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為，求塔高.【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出空間圖形后，先尋找可解的三角形，進(jìn)而解目標(biāo)所在三角形?！窘馕觥坑缮蠄D所示，過(guò)B做于點(diǎn)E,由題意知在E點(diǎn)測(cè)得塔的最大仰角，在.由正弦定理，得∴在中，∴在中，∴（米）故所求塔高為米【總結(jié)升華】測(cè)量高度是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形，在依條件結(jié)合正弦定理和余弦定理來(lái)解，解決測(cè)量高度的問(wèn)題時(shí)，常出現(xiàn)仰角與俯角的問(wèn)題，要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.舉一反三：【變式1】（2016綿陽(yáng)校級(jí)模擬）如圖，無(wú)人機(jī)在離地面高200m的A處，觀測(cè)到山頂M處的仰角為15°、山腳C處的俯角為45°，已知∠60°，則山的高度為?！敬鸢浮吭凇髦?，∠∠45°，∠90°，200，∴，∵∠60°，∴∠180°－∠－∠75°，∵∠15°+45°=60°，∴∠180°－∠－∠45°。在△中，由正弦定理得，即解得。∵，∴。故答案為：300?！咀兪?】在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物的頂端A的仰角為，沿方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物的高?！敬鸢浮克蠼?，建筑物高度為15m。類型三：方位角問(wèn)題例3如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北的方向上,行駛后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北的方向上,仰角為,求此山的高度.【思路點(diǎn)撥】欲求出，只需在中求出或，而在中先求邊比較適合；或設(shè),列方程解答.【解析】方法一：在中,，，,根據(jù)正弦定理：=,有，∴.方法二：設(shè)，則，根據(jù)正弦定理：=,有，∴，解得，即.【總結(jié)升華】正確地畫(huà)出其空間示意圖是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】?jī)蔁羲嗀、B與海洋觀察站C的距離都等于a,燈塔A在觀察站C的北偏西30，燈塔B在觀察站C南偏西60，則A、B之間的距離為；【答案】；如圖，，，。【變式2】如圖示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(

)A.

B.C.

D.【答案】B類型四：航海問(wèn)題【高清課堂：解三角形的應(yīng)用舉例377493例3】例4如圖所示，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A為()的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向，距A為2的C處的緝私船奉命以的速度追截走私船.此時(shí)走私船正以10的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，則緝私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的時(shí)間.【思路點(diǎn)撥】這里必須弄清楚三個(gè)概念：(1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3)最快追上，即應(yīng)理解為按直線航行，且兩船所用時(shí)間相等，畫(huà)出示意圖，即可求出的方位角及由C到D所需航行的時(shí)間.【解析】設(shè)緝私船追上走私船需，則，.由余弦定理，得，由正弦定理，得，∴，而，∴∴，.∴，即，∴答：緝私船向東偏北方向，只需便能追上走私船.【總結(jié)升華】航海問(wèn)題中關(guān)鍵是方向角的表示，最好要參照方向坐標(biāo)，準(zhǔn)確的畫(huà)出圖形.舉一反三：【變式1】如圖A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，求該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】由題意知＝5(3＋)海里，∠＝90°－60°＝30°，∠＝90°－45°＝45°，∴∠＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△中，由正弦定理得∴＝＝＝10(海里)又∠＝∠＋∠＝30°＋(90°－60°)＝60°＝20海里在△中，由余弦定理得2＝2＋2－2··∠＝300＋1200－2×10×20×＝900∴＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．【高清課堂：解三角形應(yīng)用舉例377493變式演練3】【變式2】如圖所示，海中小島