專題12 特殊的平行四邊形中的最值模型之費馬點模型（原卷版）

專題12特殊的平行四邊形中的最值模型之費馬點模型費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類考試中都以中高檔題為主。本專題就特殊平行四邊形中的最值模型-費馬點問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊科ひさ隆べM馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學(xué)．費馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等．費馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之和最小的點。【模型解讀】結(jié)論：如圖，點M為△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個頂點連線的夾角為120°時，MA+MB+MC的值最小。注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小．此時，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費馬點的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點為M，則點M即為△ABC的費馬點。【最值原理】兩點之間，線段最短。例1．（2023·福建泉州·八年級校考期末）如圖，是邊長為2的正方形內(nèi)一動點，為邊上一動點，連接，則的最小值為（

）

A．4 B．3 C． D．例2．（2023·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，如圖所示，若∠α＝30°，則對角線BD上的動點P到A，B，C三點距離之和的最小值是．例3．（2023上·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點是矩形內(nèi)一點，且，，為邊上一點，連接，則的最小值為．

例4．（2024·廣東·九年級培優(yōu)訓(xùn)練）如圖，在正方形中，點為對角線上一點，為等邊三角形．(1)當(dāng)點在何處時，的值最小，說明理由；(2)當(dāng)正方形的邊長為8時，求的最小值是多少？例5．（2023·廣東廣州·?？级＃┢叫兴倪呅沃?，點E在邊上，連，點F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點E為中點，．若，求的長度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點C作交于點G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．例6．（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）【問題提出】（1）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對角線（不含B點）上任意一點，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，．若連接，則的形狀是________．（2）如圖2，在中，，，求的最小值．【問題解決】（3）如圖3，某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個平行四邊形的公園，千米，，公園內(nèi)有一個兒童游樂場E，分別從A、B、C向游樂場E修三條，求三條路的長度和（即）最小時，平行四邊形公園的面積．例7．（2023·江蘇·九年級階段練習(xí)）如圖，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，AB＝10公里，BC＝15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個車站E，F(xiàn)，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為公里．例8．（2023上·廣東廣州·九年級校考期中）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸交于，兩點，點為中點，四邊形和四邊形都是正方形．(1)求的長；(2)如圖②，連接，，過點作于點，延長交于點，求證：；(3)如圖③，，點在邊上，且，為的中點，點為正方形內(nèi)部一點，連接，，，請直接寫出的最小值．課后專項訓(xùn)練1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A． B． C． D．2．（2023·廣東廣州·一模）如圖，正方形ABCD內(nèi)一點E，E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，正方形的邊長為_______．3．（2024上·陜西漢中·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長為2．為與點不重合的動點，以為一邊作正方形．設(shè)，點、與點的距離分別為、，則的最小值為．4．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，P為平面內(nèi)的一點，連接，若，則的最小值是（

）A． B．36 C． D．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，點P是矩形對角線上的一個動點，已知，則的最小值是__．6．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，，，P是平面內(nèi)一點，則的最小值為______．

7．（2023·廣東佛山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的對角線AC上有一動點P，BC=6,∠ABC＝150°，則AP+BP+PD的最小值為_____．8．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動線段，且，則的最小值為________．

9．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)求證：；(2)①當(dāng)M點在何處時，AM＋CM的值最小；②當(dāng)M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；(3)當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長．10．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）問題提出(1)如圖，點、是直線外兩點，在直線上找一點，使得最?。畣栴}探究(2)在等邊三角形內(nèi)有一點，且，，，求度數(shù)的大小．問題解決(3)如圖，矩形是某公園的平面圖，米，米，現(xiàn)需要在對角線上修一涼亭，使得到公園出口、，的距離之和最小．問：是否存在這樣的點？若存在，請畫出點的位置，并求出的和的最小值；若不存在，請說明理由．11．（2023·重慶綦江·九年級期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點E、F分別是AB、BC上的動點，連接DE、DF、EF．(1)如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點，且EF＝5，求DF的長；(2)如圖2，若BE＝BF，G為DE的中點，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；(3)如圖3，若AB＝7，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請直接寫出當(dāng)PA＋PB＋PC值最小時PB的長．12．（2023·綿陽市·九年級專題練習(xí)）如圖：(1)如圖1，已知銳角△ABC的邊BC＝3，S△ABC＝6，點M為△ABC內(nèi)一點，過點M作MD⊥BC交BC于點D，連接AM，則AM+MD的最小值為．(2)如圖2．點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度數(shù)．(3)如圖3，在長方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800點P是長方形內(nèi)一動點，且S△ABC＝2S△PBC，點Q為△ADP內(nèi)的任意﹣點，是否存在一點P和一點Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，請求出此時PQ的長度，若不存在，請說明理由．13．（2022·河南南陽·統(tǒng)考三模）【發(fā)現(xiàn)奧秘】(1)如圖1，在等邊三角形中，，點E是內(nèi)一點，連接，分別將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．當(dāng)B，E，F(xiàn)，D四個點滿足______時，的值最小，最小值為_______．【解法探索】(2)如圖2，在中，，點P是內(nèi)一點，連接，請求出當(dāng)?shù)闹底钚r的度數(shù)，并直接寫出此時的值．（提示：分別將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接）【拓展應(yīng)用】(3)在中，，點P是內(nèi)一點，連接，直接寫出當(dāng)?shù)闹底钚r，的值．14．（2023·山東九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接BN、AM、CM．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的邊長為，正方形內(nèi)是否存在一點P，使得PA＋PB＋PC的值最??？若存在，求出它的最小值；若不存在，說明理由．15．（2023春·江蘇·八年級?？贾軠y）如圖①，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對角線（不含B點）上任意一點，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：；(2)如圖1，當(dāng)M點在何處時，的值最