數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：2任意角的三角函數(shù)（第2課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)三角函數(shù)線1.了解三角函數(shù)線的定義和意義。2。會(huì)用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切.3.掌握三角函數(shù)線的簡單應(yīng)用.三角函數(shù)線(1）有向線段：帶有的線段叫做有向線段.(2)定義：如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與角α的終邊交于點(diǎn)P(角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合）。過點(diǎn)P作x軸的垂線PM，垂足為M，過點(diǎn)A作單位圓的切線交OP的延長線(或反向延長線)于T點(diǎn),這樣就有sinα＝，cosα＝，tanα＝.單位圓中的有向線段MP、OM、AT分別叫做角α的線、線、線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.①三角函數(shù)線的位置:正弦線為α的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上;正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中正弦線和余弦線在單位圓內(nèi)，正切線在單位圓外.②三角函數(shù)線的方向：正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn);余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向單位圓與α的終邊（或反向延長線)的交點(diǎn)。③三角函數(shù)線的正負(fù)：三條有向線段凡與x軸正方向或y軸正方向同向的為正值,與x軸正方向或y軸正方向反向的為負(fù)值。④三角函數(shù)線的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后.⑤三角函數(shù)線的意義：三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的符號(hào);三角函數(shù)線的長度等于所表示的三角函數(shù)值的絕對值.【做一做1－1】如圖所示,P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn),PM⊥x軸于M，AT和A′T′均是單位圓的切線，則角α的(）A。正弦線是PM，正切線是A′T′ B.正弦線是MP,正切線是A′T′C.正弦線是MP，正切線是AT D。正弦線是PM,正切線是AT【做一做1－2】不論角α的終邊位置如何，在單位圓中作三角函數(shù)線時(shí)，下列說法正確的是（）A?？偰芊謩e作出正弦線、余弦線、正切線B?？偰芊謩e作出正弦線、余弦線、正切線，但可能不只一條C。正弦線、余弦線、正切線都可能不存在D.正弦線、余弦線總存在，但正切線不一定存在答案：(1）方向（2）MPOMAT正弦余弦正切【做一做1－1】C【做一做1－2】D三角函數(shù)線的應(yīng)用剖析:三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的直觀表達(dá)形式，從三角函數(shù)線的方向可看出三角函數(shù)值的符號(hào)，從三角函數(shù)線的長度可看出三角函數(shù)值的絕對值大小。三角函數(shù)線的主要作用是解三角方程和不等式、證明三角不等式、求函數(shù)定義域及比較大小，同時(shí)它也是以后畫三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)。題型一解三角方程【例1】在單位圓中畫出滿足sinα＝eq\f(1,2）的角α的終邊，并寫出α組成的集合。分析：先作出直線y＝eq\f（1,2）與單位圓的交點(diǎn)P,Q，再連接OP，OQ即得。反思：形如sinα＝m，cosα＝n，tanα＝t的等式,可借助于三角函數(shù)線寫出α組成的集合.其步驟是：①在單位圓中畫出α的終邊；②在[0,2π）內(nèi)找出滿足條件的角；③用終邊相同的角的集合寫出。題型二解簡單的三角不等式【例2】解不等式sinα≥－eq\f（1,2）。分析：由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6）））＝sineq\f(7,6）π＝－eq\f（1，2)，則在坐標(biāo)系中畫出－eq\f（π，6)和eq\f(7,6)π，確定α的終邊位置。反思：解簡單的三角不等式時(shí)，常借助于三角函數(shù)線，轉(zhuǎn)化為終邊在某區(qū)域內(nèi)的角的范圍.如本題轉(zhuǎn)化為求終邊在優(yōu)弧對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)角的范圍.題型三易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)錯(cuò)解函數(shù)的定義域【例3】求函數(shù)y＝eq\r(1＋2cosx）＋lg（2sinx＋eq\r(3))的定義域.＞－eq\f（\r（3),2).所以2kπ＋eq\f（4π,3）≤x≤2kπ＋eq\f（8π,3)且2kπ－eq\f(π,3)＜x＜2kπ＋eq\f（4π,3）,其中k∈Z。其交集為空集，故無定義域。錯(cuò)因分析：因兩個(gè)不等式中的k各自獨(dú)立，因此上述兩集合是有公共部分的,如圖所示。反思：解三角不等式組時(shí),先解每個(gè)三角不等式，再取它們的交集.取交集時(shí),要注意各自解集中k的獨(dú)立性。答案：【例1】解:如圖，作直線y＝eq\f（1，2）交單位圓于點(diǎn)P，Q,連接OP，OQ,則射線OP，OQ為角α的終邊．由于sineq\f（π，6)＝eq\f(1，2），sineq\f(5π,6）＝eq\f(1，2）,則OP是eq\f（π，6)的終邊，OQ是eq\f（5π,6）的終邊．所以α＝eq\f（π，6）＋2kπ或α＝eq\f(5π，6）＋2kπ，k∈Z。則α組成的集合為S＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f（π，6）＋2kπ或α＝\f(5π，6）＋2kπ，k∈Z）)）)?！纠?】解:如圖所示，作直線y＝－eq\f（1，2）交單位圓于A，B兩點(diǎn)，則∠xOA＝eq\f(7π,6)，∠xOB＝－eq\f（π,6）.過在直線AB上方的圓弧上任一點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，則MP＝sinα.則α的終邊不能與直線AB下方的圓弧有交點(diǎn)，則有2kπ－eq\f(π,6)≤α≤2kπ＋eq\f（7π,6)(k∈Z)．即原不等式的解集是eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π，6)≤α≤2kπ＋\f(7，6)π，k∈Z)）））?！纠?】正解：要使函數(shù)有意義，則需同時(shí)滿足1＋2cosx≥0且2sinx＋eq\r(3）＞0，即cosx≥－eq\f（1，2)，且sinx＞－eq\f（\r(3）,2）.由cosx≥－eq\f(1，2)，知2kπ－eq\f（2π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z。由sinx＞－eq\f（\r（3）,2），知2nπ－eq\f（π,3)＜x＜2nπ＋eq\f（4π，3）,n∈Z,∴x的取值范圍是｛x|2kπ－eq\f(π,3）＜x≤2kπ＋eq\f（2π，3），k∈Z}．1．下列各式正確的是（）A.sin1＞ B。sin1＜C.sin1＝ D.sin1≥2．已知tanx＝1,則x＝________。3．不等式cosx＞0的解集是________。4．在單位圓中畫出滿足cosα＝的角α的終邊，并寫出α組成的集合。5．求函數(shù)y＝的定義域.答案：1．B1和的終邊均在第一象限,且的正弦線大于1的正弦線,則sin1＜。2．x＝＋kπ(k∈Z）3．｛x|2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z}．如圖所示，OM是角x的余弦線，則有cosx＝OM＞0，∴OM的方向向右．∴角x的終邊在y軸的右方．∴2kπ－＜x＜2kx＋，k∈Z.4。解:如圖所示，作直線x＝交單位圓于M，N,連接OM，ON，則OM，ON為α的終邊．由于＝,＝，則M