新高考數(shù)學(xué)高頻考點+題型專項千題百練(新高考適用)專題16數(shù)列放縮證明不等式必刷100題(原卷版+解析)

專題16數(shù)列放縮證明不等式必刷100題任務(wù)一:邪惡模式(困難)1-100題提示:幾種常見的數(shù)列放縮方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.一、單選題1．2018年9月24日，英國數(shù)學(xué)家M.F阿帝亞爵在“海德堡論壇”展示了他“證明”黎曼猜想的過程，引起數(shù)學(xué)界震動，黎曼猜想來源于一些特殊數(shù)列求和.記無窮數(shù)列的各項的和，那么下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．2．已知數(shù)列滿足，，且，，則下列說法中錯誤的是（）A． B．C． D．3．已知數(shù)列滿足，，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．4．已知數(shù)列滿足，，若，對任意的，恒成立，則的最小值為（）．A． B． C． D．35．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，則 B．當(dāng)時，則C．當(dāng)時，則 D．當(dāng)時，則第II卷（非選擇題）二、解答題6．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.7．已知數(shù)列的前n項和為，對任意正整數(shù)n，點都在函數(shù)的圖象上，且在點處的切線的斜率為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求證：.8．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，又．求數(shù)列的通項公式；若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）證明見解析9．已知等差數(shù)列滿足，，的前n項和為．（1）求及；（2）記，求證：．10．公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，若，，，成等比．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明對任意的，恒成立．11．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn（n∈N*），且a1＝2．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝0，b2＝2，，n＝2，3，…．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅲ）證明：對于n∈N*，．12．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．若（1）當(dāng)時，試比較與的大小；（2）記試證.13．已知數(shù)列滿足．⑴求;⑵求數(shù)列的通項公式；⑶證明：14．?dāng)?shù)列滿足：；數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，證明：；（3）設(shè)，證明：.15．在下列條件：①數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，且數(shù)列為常數(shù)列，②，③中，任選一個，補充在橫線上，并回答下面問題.已知數(shù)列的前n項和為，___________.（1）求數(shù)列的通項公式和前n項和；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和記為，證明：.16．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和滿足，且，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前項和，求證：，.17．已知數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，，求證：18．?dāng)?shù)列滿足，是的前n項的和，．（1）求；（2）證明：．19．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，（1）求證：；（2）求證：．20．已知數(shù)列的首項，，、、．（1）證明：對任意的，，、、；（2）證明：.21．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，證明：.22．已知正項數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，證明：當(dāng)時，.23．已知數(shù)列的前n項和為，若.（1）求通項公式；（2）若，為數(shù)列的前n項和，求證：.24．已知數(shù)列滿足，，.（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：，.25．已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．26．已知數(shù)列的前n項和為，，．（1）求證為等比數(shù)列；（2）求證：．27．已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求證：對于任意的，.28．已知數(shù)列滿足，，，.（1）（i）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（ii）求數(shù)列的通項公式；（2）記，，，證明：當(dāng)時，.29．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，8成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.（3）若數(shù)列滿足，求證：.30．已知數(shù)列的首項，其前項和為，且滿足，，其中．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．31．已知數(shù)列滿足，的前項和滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，證明：.32．已知數(shù)列，滿足，（1）若，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式：（2）若，（i）求證：；（ii）33．已知數(shù)列滿足，，（1）求;（2）若數(shù)列滿足，，求證：．34．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，.（1）求與；（2）設(shè)，證明：.35．已知數(shù)列滿足：，，.（1）求證是等差數(shù)列并求；（2）求數(shù)列的前項和；（3）求證：.36．已知數(shù)列滿足，（1）求證：是等比數(shù)列；并寫出的通項公式（2）求證：對任意，有37．已知是正項等比數(shù)列的前n項和，且，是，的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．38．已知數(shù)列滿足，前項和滿足是正項等比數(shù)列，且是和的等比中項.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求證：.39．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，求；（3）若數(shù)列滿足，，求證：.40．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：．41．已知各項為正數(shù)的數(shù)列滿足：且．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．（2）若，證明：對一切正整數(shù)n，都有42．已知數(shù)列滿足：，.（I）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）設(shè)的前項和為，求證.43．記為等差數(shù)列的前項和，若，.（1）求和；（2）當(dāng)時，證明：.44．已知正項數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）證明：.45．已知數(shù)列的前n項和記為，且滿足n、、成等差數(shù)列．Ⅰ求，的值，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；Ⅱ證明：．46．給定數(shù)列，若滿足且，且對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”．1已知數(shù)列的通項公式，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；2若數(shù)列滿足：，；①判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；②若數(shù)列的前項和為，證明：.47．已知數(shù)列中，，其前項的和為，且當(dāng)時，滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：．48．已知函數(shù)，數(shù)列中，若，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.49．設(shè)為數(shù)列的前項和，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求證：．50．已知數(shù)列中，，其前項和滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，數(shù)列的前項和為，證明：對于任意的，都有．51．已知數(shù)列的各項均不為零．設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（Ⅲ）證明：.52．?dāng)?shù)列前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明．53．已知數(shù)列滿足，.(1)若為不恒カ0的等差數(shù)列，求；(2)若，證明：.54．?dāng)?shù)列的前n項和為，且滿足，Ⅰ求通項公式；Ⅱ記，求證：．55．已知正項數(shù)列滿足.（1）求證:，且當(dāng)時，；（2）求證:.56．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，a1＝b1＝1，S2＝.(1)若b2是a1，a3的等差中項，求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)若an∈N＋，數(shù)列{}是公比為9的等比數(shù)列，求證：＋＋＋…＋＜.57．已知數(shù)列，，二次函數(shù)的對稱軸為.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)，求證：.58．已知數(shù)列的前項和滿足：.（1）數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求證：.59．已知數(shù)列滿足，，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求證：．60．?dāng)?shù)列滿足，.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，求證：.61．設(shè)數(shù)列的前項和為.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù),有.62．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，.（1）求證：；（2）求證：.63．已知數(shù)列{an}滿足.(Ⅰ)若方程f(x)=x的解稱為函數(shù)y=f(x)的不動點,求an+1=f(an)的不動點的值；(Ⅱ)若,求證：數(shù)列{lnbn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項．(Ⅲ)當(dāng)任意時，求證：.64．?dāng)?shù)列{an}滿足a（1）求證數(shù)列{a（2）證明：對一切正整數(shù)n，有1a65．已知數(shù)列滿足條件：,（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；（2）若，令,證明66．已知數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．67．已知數(shù)列滿足：是公差為1的等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求證：68．已知正項數(shù)列滿足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．（1）求的通項公式；（2）求證＜1（n∈N+）69．已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，＝3，前n項和為Sn，是等比數(shù)列，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求證：對一切都成立．70．已知正項數(shù)列的前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的前項和；（2）記，證明：．71．已知數(shù)列滿足，且點在函數(shù)的圖象上．（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式：（2）若，數(shù)列的前n項和為，求證：．72．已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記，，證明：當(dāng)時，．73．已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．74．已知正項數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，，求證：．75．?dāng)?shù)列滿足，，，.（1）求，及(用表示)；（2）設(shè)，求證：；（3）求證：.76．已知是公比的等比數(shù)列，且滿足，，數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，求證：.77．設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足，.（1）求（用表示）；（2）求證：當(dāng)時，不等式成立.78．已知函數(shù)，滿足：①對任意，都有；②對任意都有．（1）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；（2）求；（3）令，試證明：79．已知正項數(shù)列滿足，.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，.80．已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，若，求證：．81．已知數(shù)列和滿足，且對任意的，，.（1）求，及數(shù)列的通項公式；（2）記，，求證：，.82．已知數(shù)列的前n項和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．83．正項數(shù)列的前項和為，滿足對每個，成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）求的通項公式；（3）求證：84．?dāng)?shù)列，，（1）是否存在常數(shù)，，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出，的值，若不存在，說明理由.（2）設(shè)，，證明：當(dāng)時，.85．已知數(shù)列滿足.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明；（Ⅲ）證明：.86．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且滿足，，．（1）求、的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)，有．87．已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：；（2）證明：.88．已知數(shù)列、滿足，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：當(dāng)時，．89．已知數(shù)列滿足，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）若，記數(shù)列的前項和為，證明：．90．在數(shù)列中，已知，其中.（1）求的值，并證明：；（2）證明：；（3）設(shè)，求證：.91．已知數(shù)列滿足：，，前項和為的數(shù)列滿足：，，又.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.92．已知數(shù)列，.(1)記，證明:是等比數(shù)列；(2)當(dāng)是奇數(shù)時，證明:；(3)證明:.93．已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)證明:.94．已知數(shù)列的首項，其前和為，且滿足.（1）用表示的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）當(dāng)時，證明：對任意，都有.95．已知數(shù)列，的前項和分別為，，且，，．（1）求，的通項公式；（2）求證：．96．已知數(shù)列，，的前n項和為．（1）若，，求證：，其中，；（2）若對任意均有，求的通項公式；（3）若對任意均有，求證：．97．已知數(shù)列，，，設(shè)，其中表示不大于的最大整數(shù)．設(shè)，數(shù)列的前項和為．求證：（1）判斷與的大小，并說明理由；（2）證明：；（3）證明：當(dāng)時，．98．已知數(shù)列中，.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）當(dāng)是奇數(shù)時，證明：；（3）證明：.99．已知數(shù)列滿足：．（1）證明：當(dāng)時，；（2）證明：．100．已知數(shù)列滿足，，，記，分別是數(shù)列，的前項和，證明：當(dāng)時，（1）；（2）；（3）.專題16數(shù)列放縮證明不等式必刷100題任務(wù)一:邪惡模式(困難)1-100題提示:幾種常見的數(shù)列放縮方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.一、單選題1．2018年9月24日，英國數(shù)學(xué)家M.F阿帝亞爵在“海德堡論壇”展示了他“證明”黎曼猜想的過程，引起數(shù)學(xué)界震動，黎曼猜想來源于一些特殊數(shù)列求和.記無窮數(shù)列的各項的和，那么下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】C【分析】由時，，由裂項相消求和以及不等式的性質(zhì)可得,排除，再由前3項的和排除，，從而可得到結(jié)論.【詳解】由時，，可得，時，，可得,排除，由，可排除,故選C.2．已知數(shù)列滿足，，且，，則下列說法中錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析得出，可判斷出CD選項的正誤；分析得出，利用累加法可判斷出A選項的正誤；當(dāng)時，分析得出，利用放縮法可判斷D選項的正誤.【詳解】由已知，數(shù)列滿足，，且，，即，故，由，，有，，故與同號，因為，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，則，所以，，D錯；，C對；因為，則，，，，累加得，所以，，可得，A對；當(dāng)時，，故，B對.故選：D.3．已知數(shù)列滿足，，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷A選項的正誤；利用放縮法得出，，利用放縮法可判斷BCD選項的正誤.【詳解】由，可得出，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，即，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故，A錯；在等式的兩邊同時除以可得，其中且，所以，，，，，累加得，所以，，則，故.故D錯誤；對于，所以，，，，，累加得，可得，則，所以，，故，.故選：B.4．已知數(shù)列滿足，，若，對任意的，恒成立，則的最小值為（）．A． B． C． D．3【答案】D【分析】先根據(jù)已知的遞推關(guān)系式得到，然后結(jié)合基本不等式得到，進(jìn)而得到，最后利用此不等式對放縮，并利用等比數(shù)列的前項和公式求解即可．【詳解】由，得，又，所以．由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為，，所以，所以，所以，所以，所以．又對任意的，恒成立，所以，故的最小值為3．故選：D5．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，則 B．當(dāng)時，則C．當(dāng)時，則 D．當(dāng)時，則【答案】B【分析】利用不等式放縮和裂項相消法對各選項進(jìn)行分析和計算，即可求出結(jié)果.【詳解】對于選項A，當(dāng)時，，所以，故選項A錯誤；對于選項B，當(dāng)時，，又，所以所以，故選項B正確；對于選項C，當(dāng)時，，所以，故選項C錯誤；對于選項D，當(dāng)時，，所以，故選項D錯誤；故選：B.第II卷（非選擇題）二、解答題6．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)1，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證結(jié)論；（2）由（1）知，，根據(jù)放大后裂項求和，可證不等式成立.【詳解】（1）因為，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，當(dāng)時，，所以.7．已知數(shù)列的前n項和為，對任意正整數(shù)n，點都在函數(shù)的圖象上，且在點處的切線的斜率為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）把點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，結(jié)合進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）解：依題意可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，也符合上式，∴；（2）證明：∵，∴，，∴，∴，∴原不等式成立.8．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，又．求數(shù)列的通項公式；若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】直接利用等差數(shù)列前n項和公式求出數(shù)列的公差，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項公式．利用等比數(shù)列的求和公式和放縮法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【詳解】解：設(shè)的公差為d,因為，又．所以，解得．故．證明：由于，所以，所以．9．已知等差數(shù)列滿足，，的前n項和為．（1）求及；（2）記，求證：．【答案】（1），（2）見詳解【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式可求解。（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和即可得出，再利用單調(diào)性即可證明結(jié)論?！驹斀狻浚?）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，解得，（2）由（1）可知：所以，10．公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，若，，，成等比．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明對任意的，恒成立．【答案】（1）；（2）見解析．【詳解】試題分析：（1）由已知，把此等式用公差表示出來，解得后可得通項公式；（2）由（1）計算出，為了證明不等式，要想辦法求出和，但此和不可能求出，為了證不等式，由（），這樣和通過放縮后就可求得，從而證得不等式成立．試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為由題∵，∴（2）由（1）得，∴，當(dāng)時，成立.當(dāng)時，，∴成立，所以對任意的正整數(shù)，不等式成立．考點：等差數(shù)列的通項公式，放縮法證明不等式．11．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn（n∈N*），且a1＝2．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝0，b2＝2，，n＝2，3，…．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅲ）證明：對于n∈N*，．【答案】（Ⅰ）＝2n，（Ⅱ），（Ⅲ）見解析.【分析】（Ⅰ）利用Sn，可得2Sn＝（n+1）an，再寫一式2Sn+1＝（n+2）an+1，兩式相減可得，利用疊乘法，可求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）根據(jù)b1＝0，b2＝2，，利用疊乘法，可求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅲ）先證明，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）解：∵Sn，∴2Sn＝（n+1）①，∴2Sn+1＝（n+2）②，∴①﹣②可得2＝（n+2）﹣（n+1），∴當(dāng)n≥2時，∵＝2∴數(shù)列{}的通項公式為＝2n；（Ⅱ）解：∵b1＝0，b2＝2，，n≥2，∴n≥3時，＝0，＝2滿足上式，∴數(shù)列{}的通項公式為；（Ⅲ）證明：當(dāng)k≥2時，∴∵＝0，∴2n﹣1﹣1∴對于n∈N*，12．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．若（1）當(dāng)時，試比較與的大?。唬?）記試證.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)條件得到解析式，得到，再求出的通項，從而得到的通項，再對二項展開，從而得到與的大?。唬?）對進(jìn)行放縮，然后得到的值，證明不等式.【詳解】（1）.，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，適合上式，因此.從而，當(dāng)時，故（2），，.13．已知數(shù)列滿足．⑴求;⑵求數(shù)列的通項公式；⑶證明：【答案】解：⑴；⑵；⑶證明過程見詳解．【分析】⑴根據(jù)，逐項求解，即可求出結(jié)果；⑵由，得到是等比數(shù)列，進(jìn)而可求出結(jié)果.⑶先由得到．再由放縮法，即可得出結(jié)果.【詳解】(1)因為數(shù)列滿足所以，，故．⑵因為所以所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．可得即．(3)因為所以．又因為所以故此．14．?dāng)?shù)列滿足：；數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，證明：；（3）設(shè)，證明：.【答案】（1），（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，,與條件等式兩邊相減，即得數(shù)列的通項公式，再利用累乘法求數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法求得，再利用單調(diào)性證明得解；（3）只需證明，再通過放縮和裂項相消證明不等式.（1）當(dāng)時，;當(dāng)時，與條件等式兩邊相減，得所以.所以=1,.故有所求通項公式分別為和（2）①②①-②：所以，所以所以遞增所以又當(dāng)時，所以（3）只需證明當(dāng)時，.所以故原不等式成立15．在下列條件：①數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，且數(shù)列為常數(shù)列，②，③中，任選一個，補充在橫線上，并回答下面問題.已知數(shù)列的前n項和為，___________.（1）求數(shù)列的通項公式和前n項和；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和記為，證明：.【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）選①：由題意，，所以或，又因為數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，且，所以數(shù)列為，即，構(gòu)造等比數(shù)列即可求解；選②：由，，兩式相減可得，以下過程與①相同；選③：由，可得，又，時，，所以，因為，所以也滿足上式，所以，即，以下過程與①相同.然后由分組求和法可得前n項和；（2）由（1）求出，，則，利用裂項相消求和法求出前n項和記為即可證明.（1）解：選①：因為，數(shù)列為常數(shù)列，所以，解得或，又因為數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，且，所以數(shù)列為，所以，即，所以，又，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，即；選②：因為，，所以兩式相減可得，即，以下過程與①相同；選③：由，可得，又，時，，所以，因為，所以也滿足上式，所以，即，以下過程與①相同；所以；（2）解：由（1）知，，所以，所以.16．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和滿足，且，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前項和，求證：，.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由項和轉(zhuǎn)換可得，結(jié)合，可得，分析即得解；（2）由可得，利用對數(shù)運算性質(zhì)可得，利用放縮即得證（1）由，結(jié)合，因此，由，得，又，得，從而是首項為2公差為3的等差數(shù)列，故的通項公式為.（2）由，故即可得，從而，∵，∴，于是，∴.17．已知數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)當(dāng)時，變形為，得到數(shù)列等比數(shù)列，再利用累加法求解；（2）由（1）得到時，，再利用裂項相消法求解.【詳解】（1）因為當(dāng)時，變形為，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，所以.（2）由（1）知：當(dāng)時，，所以，.18．?dāng)?shù)列滿足，是的前n項的和，．（1）求；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）通過累乘法求通項，再求前n項和即可.（2）通過二項展開式直接放縮即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時，由②-①得，即．，又得，故．（2）證明：因此，另一方面，易證則．因此，有，當(dāng)時，，左邊等號成立．19．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）運用基本不等式放縮；（2）放縮后構(gòu)造成等差數(shù)列求和．【詳解】（1）在條件中，令，得，，，又由條件，有，上述兩式相減，注意到得．，，故，，，，即證．（2），，；．20．已知數(shù)列的首項，，、、．（1）證明：對任意的，，、、；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）推出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而可求得的通項公式，然后利用配方法可證得結(jié)論成立；（2）取，由（1）中的結(jié)論結(jié)合等比數(shù)列求和可證得所證不等式成立.【詳解】（1）對任意的，，則，因為，可得，，，以此類推，可知，對任意的，，且有，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，所以，，解得，，對任意的，，，得證；（2）由（1）可知，對任意的，有取，所以，，故原不等式成立.21．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）依題意可得，再兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得證；（2）由（1）可得，則，利用放縮法得到，再利用裂項相消法求和即可得證；【詳解】解：（1）因為，所以，因為，所以﹐所以所以又因為.所以是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以，所以，所以即.22．已知正項數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，證明：當(dāng)時，.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用結(jié)合已知條件可得，而，從而得，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，則，再利用放縮法可得，從則得，化簡可得結(jié)果【詳解】（1）由得，則，化簡得，又，故.當(dāng)時，解得，因此數(shù)列的通項公式為.（2）由題意，.由于，且，所以，化簡得.23．已知數(shù)列的前n項和為，若.（1）求通項公式；（2）若，為數(shù)列的前n項和，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先求首項，再應(yīng)用與的關(guān)系，構(gòu)造兩式并相減消去，得到遞推關(guān)系從而證明是等比數(shù)列，求出通項公式；（2）化簡通項，法一放縮變形為可裂項形式，再裂項求和證明不等式，注意放縮成立條件，法二放縮為等比數(shù)列再公式法求和.【詳解】（1）由①，令，得.當(dāng)時，有②，①②兩式相減得，即，又，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故；（2）法一：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，則故.綜上，.法二：由真分?jǐn)?shù)性質(zhì)，若則，，，.故命題得證.24．已知數(shù)列滿足，，.（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：，.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）直接利用定義證明即得證；（2）分析得到，再利用等比數(shù)列求和得證.【詳解】解：（1），，則，又，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得，，，，，，，，當(dāng)時，，又，綜上，，.25．已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）遞推相減之后得到，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，則．（2）先由放縮法得到，進(jìn)而累加相消得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，兩式相減得，因此．當(dāng)時，，又，則，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，則．（2）由（1）得，則．26．已知數(shù)列的前n項和為，，．（1）求證為等比數(shù)列；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知得，即，可證明是等比數(shù)列；（2）有（1）知，即，合理利用放縮然后利用裂項相消可得證明.【詳解】證明：（1）∵數(shù)列的前n項和為，，，∴，∴，，∴是以為首項，以4為公比的等比數(shù)列．（2）∵是以為首項，以4為公比的等比數(shù)列，∴，∴．∴．，，所以，當(dāng)時，∴．綜上所述，．27．已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求證：對于任意的，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（1）由，所以，可得，當(dāng)時有，又，即可得解；（2）首先由，通過放縮和裂項可得：，求和即可得解.【詳解】（Ⅰ）數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，可得，，，又，（Ⅱ），當(dāng)時，，又，又，28．已知數(shù)列滿足，，，.（1）（i）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（ii）求數(shù)列的通項公式；（2）記，，，證明：當(dāng)時，.【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）；（2）證明見解析.【分析】（1）（i）根據(jù)與相除可得，變形得，從而可證數(shù)列是等差數(shù)列；（ii）根據(jù)（i）中等差數(shù)列的通項公式可得結(jié)果；（2）求出，根據(jù)可證，根據(jù)可證.【詳解】（1）（i）當(dāng)時，，所以，兩式相除得，所以，所以，所以.又，故，故也成立.∴，∴為等差數(shù)列（ii）由（i）得，，即.（2）因為，∴∴，又，所以，.29．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，8成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.（3）若數(shù)列滿足，求證：.【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，即得數(shù)列的通項公式，求出即得數(shù)列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求出數(shù)列的和；（3）利用放縮法證明不等式即可.【詳解】（1）數(shù)列滿足，，所以（常數(shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列，故，數(shù)列是公比為的正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，8成等差數(shù)列．所以，解得．所以．故，.（2）數(shù)列滿足，所以，．（3）數(shù)列滿足，所以，，，，．30．已知數(shù)列的首項，其前項和為，且滿足，，其中．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．【答案】（1）；（2）答案見解析【分析】(1)由題可得，又有當(dāng)時，得，所以，故可判斷數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，則可得其通項公式；（2）由（1）得，利用不等式放縮得，疊加即可證明.【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，，所以；又當(dāng)時，，所以，得，故有，所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，則有；（2）由（1）得因為，所以，又，所以，綜上所以有31．已知數(shù)列滿足，的前項和滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由求得，令，由得出，兩式作差可得出，推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項公式；（2）推導(dǎo)出，然后利用放縮法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證得成立.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，作差得，整理得，且，又，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比等比數(shù)列，，因此，；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，，.綜上所述，對任意的，.32．已知數(shù)列，滿足，（1）若，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式：（2）若，（i）求證：；（ii）【答案】（1）證明見解析；；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（1）將代入化簡，得到即可求解；（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性可得，通過適當(dāng)放縮得到和，進(jìn)一步化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）∵∴與同號，∴，∴，即∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項為∴；∴，（2）（i）由（1）知∵∴是遞減數(shù)列，且∴（ii），∴，∴，由（i）知∴，∴綜上所述，33．已知數(shù)列滿足，，（1）求;（2）若數(shù)列滿足，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）用累乘法求得通項；（2）求出滿足不等式，從開始用放縮法，然后利用累加法求和可證結(jié)論．【詳解】（1）由題意（），∴，也適合．所以（）；（2）由已知，，，當(dāng)時，，因此，則綜上，．34．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，.（1）求與；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1），；（2）證明見解析．【分析】（1）把已知用和表示后解得，然后可得通項公式和前項和公式；（2）寫出，利用放縮法有，然后求和可證明不等式成立．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得，解得，∴，；（2）由（1），∴．35．已知數(shù)列滿足：，，.（1）求證是等差數(shù)列并求；（2）求數(shù)列的前項和；（3）求證：.【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)的定義結(jié)合已知的遞推式證明即可；（2）由（1）可知，然后利用錯位相減法求；（3）由及可得，從而再利用放縮法可證得結(jié)果.【詳解】（1）證明：，∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴.（2）∵，∴，兩式相減得：，，∴.（3）證明：∵，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∴，∴.36．已知數(shù)列滿足，（1）求證：是等比數(shù)列；并寫出的通項公式（2）求證：對任意，有【答案】（1）見解析，（2）見解析【分析】（1）由已知式求得，寫出，然后作差得遞推關(guān)系，湊配后可得是等比數(shù)列，從而可得通項公式．（2）用放縮法求和，但前2項不放縮．【詳解】（1）證明：，，時，，相減可得：，即，變形為：時也成立.是等比數(shù)列，首項為3，公比為3．∴，∴．（2）37．已知是正項等比數(shù)列的前n項和，且，是，的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）由題得，解方程組得，，即得數(shù)列的通項公式；（2）①當(dāng)，2時不等式顯然成立；②當(dāng)時，，再證明即得解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意得，則，因為，所以兩邊同時除以得，因為，所以，代入，解得，所以．（2）①當(dāng)，2時不等式顯然成立；②當(dāng)時，．所以綜合得原不等式成立.38．已知數(shù)列滿足，前項和滿足是正項等比數(shù)列，且是和的等比中項.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析；【分析】（1）根據(jù)題中的條件利用數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式，根據(jù)等比中項的概念求解數(shù)列的公比，從而得到其通項公式；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論合理放縮，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，由，得，相減得.當(dāng)時，符合上式，.設(shè)的公比為，由題意得，即，又.（2）證明：由題意得，.39．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，求；（3）若數(shù)列滿足，，求證：.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）利用遞推公式，結(jié)合累加法即可容易求得通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合裂項求和法即可容易求得；（3）利用（1）中所求，即可求得，以及，對進(jìn)行放縮，即可容易求得.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，當(dāng)時，也適合，∴.（2）由（1）知，∴.（3）∵，所以，令，所以，因為，所以，所以，所以.40．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】（1）．（2）見解析【分析】（1）令求得的值，令，由得出，兩式相減得出，由此可得出數(shù)列為常數(shù)列，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用放縮法得出，再利用不等式的基本性質(zhì)和裂項求和法可證得所證不成立成立.【詳解】（1）當(dāng)時，，即，當(dāng)時，①，②，①②，得：，即，，且，數(shù)列是以每一項均為的常數(shù)列，則，即；（2）由（1）得，，.41．已知各項為正數(shù)的數(shù)列滿足：且．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．（2）若，證明：對一切正整數(shù)n，都有【答案】（1）證明見解析．（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)所給遞推公式，將式子變形，即可由等差數(shù)列定義證明數(shù)列為等差數(shù)列.（2）根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項公式求法求得通項公式，并變形后令.由求得的取值范圍，即可表示出，由不等式性質(zhì)進(jìn)行放縮，求得后，即可證明不等式成立.【詳解】（1）證明：各項為正數(shù)的數(shù)列滿足：則，，同取倒數(shù)可得，所以，由等差數(shù)列定義可知數(shù)列為等差數(shù)列．（2）證明：由（1）可知數(shù)列為等差數(shù)列．，則數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列.則，令，因為，所以，則，所以，所以，所以由不等式性質(zhì)可知，若，則總成立，因而，所以所以不等式得證.42．已知數(shù)列滿足：，.（I）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）設(shè)的前項和為，求證.【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析.【分析】（I）證明出為非零常數(shù)，即可得出結(jié)論；（II）利用（I）中的結(jié)論，確定數(shù)列的首項和公比，求出該數(shù)列的通項公式，進(jìn)而得出，利用放縮法得出，然后分和兩種情況證明不等式，由此可得出結(jié)論.【詳解】（I），，因此，數(shù)列是等比數(shù)列；（II），所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，.綜上所述，對任意的，.43．記為等差數(shù)列的前項和，若，.（1）求和；（2）當(dāng)時，證明：.【答案】（1），；；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，，利用“”法求解.（2）由（1）知，，則，再利用數(shù)列求和證明.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，解得，所以，；（2）當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，，，當(dāng)時，.綜上所述，原命題成立.44．已知正項數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）將題干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定義證明出數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求出，利用放縮法得出，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證明出結(jié)論成立.【詳解】（1），.，，，即，則有且，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，即，得，.45．已知數(shù)列的前n項和記為，且滿足n、、成等差數(shù)列．Ⅰ求，的值，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；Ⅱ證明：．【答案】(I)；見解析(II)見解析【分析】Ⅰ先根據(jù)已知條件把1，2代入，即可求出前兩項，再根據(jù)n、、成等差數(shù)列，得到一個新等式，兩個相結(jié)合即可證明結(jié)論．Ⅱ根據(jù)第一問的結(jié)論得到數(shù)列的通項，對通項進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s即可證明．【詳解】解：Ⅰ由已知n、、成等差數(shù)列，可得；令，可得，令，可得，，；得：，即；，；有，可得．?dāng)?shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．Ⅱ由Ⅰ，．．．．．．46．給定數(shù)列，若滿足且，且對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”．1已知數(shù)列的通項公式，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；2若數(shù)列滿足：，；①判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；②若數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)①數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，證明見解析；②證明見解析【分析】1利用“指數(shù)型數(shù)列”的定義即可證明是指數(shù)型數(shù)列；（2）①數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，證明即得證；②先由題得，再利用等比數(shù)列的求和公式即得解證.【詳解】(1)解：對于數(shù)列，任意，，所以是指數(shù)型數(shù)列.(2)①數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，證明如下：，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，，故數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”．②由①可得，；故.47．已知數(shù)列中，，其前項的和為，且當(dāng)時，滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)n≥2時，Sn﹣Sn﹣1?Sn﹣Sn﹣1＝Sn?Sn﹣1（n≥2），取倒數(shù)，可得1，利用等差數(shù)列的定義即可證得：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）利用進(jìn)行放縮并裂項求和即可證明【詳解】（1）當(dāng)時，，，即從而構(gòu)成以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，，．則當(dāng)時．故當(dāng)時又當(dāng)時，滿足題意，故．法二：則當(dāng)時，那么又當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足題意.48．已知函數(shù)，數(shù)列中，若，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）將代入到函數(shù)表達(dá)式中，得，兩邊都倒過來，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得出an的通項公式，然后根據(jù)不等式＜在求和時進(jìn)行放縮法的應(yīng)用，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計算，即可證出．【詳解】（1）由函數(shù)，在數(shù)列中，若，得：，上式兩邊都倒過來，可得：＝＝﹣2，∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3＝3（﹣1）．∵﹣1＝3．∴數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），可知：＝3n，∴an＝，n∈N*．∵當(dāng)n∈N*時，不等式＜成立．∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣?＜．∴．49．設(shè)為數(shù)列的前項和，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）令，由求出的值，再令，由得，將兩式相減并整理得，計算出為非零常數(shù)可證明出數(shù)列為等比數(shù)列；（2）由（1）得出，可得出，利用放縮法得出，利用等比數(shù)列求和公式分別求出數(shù)列和的前項和，從而可證明出所證不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由得，上述兩式相減得，整理得.則，且.所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，則．因為，所以.又因為，所以．綜上，．50．已知數(shù)列中，，其前項和滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，數(shù)列的前項和為，證明：對于任意的，都有．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）由，可得，即數(shù)列時以1為首項公比為2的等比數(shù)列，即可求解．（Ⅱ），當(dāng)時，，當(dāng)時，，即有．【詳解】（Ⅰ）由，于是，當(dāng)時,，即，，∵，數(shù)列為等比數(shù)列，∴，即．（Ⅱ），∴當(dāng)時，，當(dāng)時，顯然成立，綜上，對于任意的，都有．51．已知數(shù)列的各項均不為零．設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（Ⅲ）證明：.【答案】（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）證明見解析，；（Ⅲ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）直接給n賦值求出，的值；（Ⅱ）利用項和公式化簡，再利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列，即得等比數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比數(shù)列求和證明不等式.【詳解】（Ⅰ），令，得，，；令，得，即，，．證明：（Ⅱ），①，②②①得：，，，從而當(dāng)時，，④③④得：，即，，．又由（Ⅰ）知，，，．?dāng)?shù)列是以2為首項，以為公比的等比數(shù)列，則.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，因為當(dāng)時，，所以.于是.52．?dāng)?shù)列前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明．【答案】（1）；（2）證明見詳解.【分析】(1)由已知結(jié)合可得，變形得，利用疊加法可求.(2)由可得，用放縮法證明不等式.【詳解】(1)由,得，以上兩式相減得，則.兩邊同除以，可得.，，…，，以上個式子相加得，又，則，所以.(2)證明：因為，所以.所以.記，則，當(dāng)時，，可得，所以.所以.53．已知數(shù)列滿足，.(1)若為不恒カ0的等差數(shù)列，求；(2)若，證明：.【答案】（1）1；（2）證明見解析.【分析】(1)通過對變形、整理可以知道,設(shè),利用等式恒成立列方程組求解即可；(2)利用放縮可以知道,通過疊加可以知道,利用，并項相加可以得到.【詳解】(1)數(shù)列為不恒為0的等差數(shù)列,

可設(shè),

,

,

,

,

,

整理得:,

,

計算得出:或(舍),

，

；

(2)易知,

,

，

兩端同時除以,得：，

，

，

，

疊加得：，

又，

又，

，

，

.54．?dāng)?shù)列的前n項和為，且滿足，Ⅰ求通項公式；Ⅱ記，求證：．【答案】Ⅰ；Ⅱ見解析【解析】【分析】Ⅰ直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式．Ⅱ利用等比數(shù)列的前n項和公式和放縮法求出數(shù)列的和．【詳解】解：Ⅰ，當(dāng)時，，得，又，，數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，；證明：Ⅱ，，時，，，同理：，故：．55．已知正項數(shù)列滿足.（1）求證:，且當(dāng)時，；（2）求證:.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）由a1﹣a12=a2＞0，解得0＜a1＜1．用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，（2）記f（x）=ln（1+x）﹣，x＞0，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，再利用放縮法即可證明．【詳解】證明：（1）由，解得．下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，①當(dāng)時，．所以不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即則當(dāng)時，有,.則當(dāng)時，不等式也成立．綜合①②，當(dāng)時，都有．（2）記當(dāng)時，所以在上是增函數(shù)，則，即令，則，從而有．56．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，a1＝b1＝1，S2＝.(1)若b2是a1，a3的等差中項，求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)若an∈N＋，數(shù)列{}是公比為9的等比數(shù)列，求證：＋＋＋…＋＜.【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1或an＝6－5n，bn＝(－4)n－1.（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出d，q，再求出通項公式.（2）利用數(shù)列{ban}是公比為9的等比數(shù)列，求出d＝2，q＝3.再放縮成能利用裂項求和的方法即可.【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.因為S2＝，所以a1＋a1＋d＝.而a1＝b1＝1，則q(2＋d)＝12.①因為b2是a1，a3的等差中項，所以a1＋a3＝2b2，即1＋1＋2d＝2q，即1＋d＝q.②聯(lián)立①②，解得或所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.(2)證明：因為an∈N＋，ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③由(1)，知q(2＋d)＝12，即q＝.④因為a1＝1，an∈N＋，所以d∈N.根據(jù)③④，知q＞1且q為正整數(shù)．所以d可為0或1或2或4.但同時滿足③④兩個等式的只有d＝2，q＝3，所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.所以＝＜＝(n≥2)．當(dāng)n≥2時，＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－＜.顯然，當(dāng)n＝1時上式也成立．故n∈N＋，＋＋…＋＜.57．已知數(shù)列，，二次函數(shù)的對稱軸為.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)，求證：.【答案】（1）（2）見解析【分析】(1)先由題得，再利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式.(2)，先證明.因為，再證明.【詳解】由已知得，整理得，左右同時乘以得，，所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2），，k=1,2,…n；所以又因為，k=1,2,…n；所以；所以58．已知數(shù)列的前項和滿足：.（1）數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1）；（2）見解析．【解析】試題分析：(1)結(jié)合通項公式與前n項和的關(guān)系可得數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，則.(2)指數(shù)裂項求和放縮可得，據(jù)此裂項求和可得．據(jù)此即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）解：當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，即，，，所以數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，所以.（2）證明：．由，所以，所以．因為，所以，即．59．已知數(shù)列滿足，，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求證：．【答案】見解析【解析】試題解析：證明：（1）∵，∴，∴3分∴數(shù)列{}是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列．5分證法2：由已知即，即（常數(shù)）3分∴數(shù)列{}是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列．5分（2）由（1）得，所以，6分一方面，∵7分∴9分另一方面，∵11分∴13分故不等式成立．14分60．?dāng)?shù)列滿足，.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）分別令，，可得；（2）借助題設(shè)條件運用數(shù)列的遞推關(guān)系求解；（3）借助題設(shè)運用放縮法和不等式的性質(zhì)推證.試題解析：（1）令，得；令，有，得；令，有，得.（2）∵，（1）式所以，當(dāng)時，，（2）式兩式相減得：，∴.當(dāng)時，也適合，∴.（3），當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，，綜合可得：.61．設(shè)數(shù)列的前項和為.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù),有.【答案】(Ⅰ)4(Ⅱ)(Ⅲ)見解析【詳解】(Ⅰ)依題意,,又,所以；(Ⅱ)當(dāng)時,,兩式相減得整理得,即,又故數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以.(Ⅲ)當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,,此時綜上,對一切正整數(shù),有.(1)直接將n換為2代入遞推式求解；（2）借助進(jìn)行遞推轉(zhuǎn)化，進(jìn)而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生對式子的操作能力和轉(zhuǎn)化能力.(3)借助放縮法進(jìn)行證明，放縮的關(guān)鍵是62．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，.（1）求證：；（2）求證：.【答案】（1）見詳解；（2）見詳解.【分析】（1）先用數(shù)學(xué)歸納法證明；再的正負(fù)即可得出結(jié)論；（2）用放縮法得到，進(jìn)而可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明，時，顯然成立；假設(shè)，則，因為在上單調(diào)遞增，所以即也有成立.從而，所以；（2），所以，.63．已知數(shù)列{an}滿足.(Ⅰ)若方程f(x)=x的解稱為函數(shù)y=f(x)的不動點,求an+1=f(an)的不動點的值；(Ⅱ)若,求證：數(shù)列{lnbn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項．(Ⅲ)當(dāng)任意時，求證：.【答案】(Ⅰ)0或1或；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)證明見解析.【分析】(Ⅰ)由題意解方程即可確定不動點；(Ⅱ)利用遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義可得數(shù)列是等比數(shù)列，據(jù)此即可確定數(shù)列的通項公式；(Ⅲ)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的增長速度比一次函數(shù)的增長速度快，利用放縮法結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)由方程an+1=f(an)得,解得an=0,或an=?1,或an=1.(Ⅱ)，，兩式相除得，據(jù)此可得，由可以得到，則，又，得.故數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列..從而.(Ⅲ)對于任意，，從而.64．?dāng)?shù)列{an}滿足a（1）求證數(shù)列{a（2）證明：對一切正整數(shù)n，有1a【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）可在遞推式an+1=3an+2n的兩邊同時加上2n+1可得an+1+2n+1=3(an+2試題解析：(1)由an+1=3an+所以是以3位首項,3為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知又,故65．已知數(shù)列滿足條件：,（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；（2）若，令,證明【答案】（1）當(dāng)時，不是等比數(shù)列當(dāng)時，是等比數(shù)列；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意得，討論，兩種情況，利用等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；（2）由⑴知，可得，根據(jù)裂項相消法求和，再由放縮法可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得又所以，當(dāng)時，不是等比數(shù)列當(dāng)時，是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．（2）由⑴知，故66．已知數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】(1)本題可通過得出，然后根據(jù)以及等比數(shù)列的定義即可得出數(shù)列的通項公式，最后根據(jù)數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果；(2)本題可通過放縮法將轉(zhuǎn)化為，再通過等比數(shù)列前項和公式即可得出結(jié)果．【詳解】(1)因為，所以，，因為，所以數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以，．(2)由(1)可知，所以成立．67．已知數(shù)列滿足：是公差為1的等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由于是公差為1的等差數(shù)列，可得，又化簡可求數(shù)列{an}的通項公式；

（2），從而可利用疊加法求解可得．【詳解】（1）∵是公差為1的等差數(shù)列，∴，∵∴；

（2）因為，＜2-1．68．已知正項數(shù)列滿足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．（1）求的通項公式；（2）求證＜1（n∈N+）【答案】（1）＝（n+1）2；（2）見解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項是2，公差為1的等差數(shù)列，從而求出的通項公式，即可求出{an}的通項公式；（2）根據(jù)，代入，可證得不等式成立．【詳解】（1）已知正項數(shù)列滿足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．得數(shù)列是首項是2，公差為1的等差數(shù)列，∴∴＝（n+1）2（2）證明：∴＜1﹣﹣+…+﹣＝1﹣＜169．已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，＝3，前n項和為Sn，是等比數(shù)列，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求證：對一切都成立．【答案】（1）＝2n+1，＝8n﹣1；（2）見解析【解析】【分析】（1）由為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，根據(jù)＝3，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．列出，d，，q的關(guān)系式，求出，d，，q即可；（2）由（1）得數(shù)列的前n項和Sn，再由裂項相消法計算，最后用放縮法即可證明.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d（d＞0），等比數(shù)列的公比為q，則，解得或（舍）所以＝3+2（n﹣1）＝2n+1，＝8n﹣1．（2）因為Sn＝3+5+…+（2n+1）＝n（n+2）所以＝＝．故對一切都成立．70．已知正項數(shù)列的前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的前項和；（2）記，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)，整理后，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知是首項為1，公差為1的等差數(shù)列（2）先對進(jìn)行放縮，然后利用分母有理化進(jìn)行裂項后求和.（1）解：由題意得：等式兩邊同乘，得整理得，由，得，即是首項為1，公差為1的等差數(shù)列∴，；（2），∴，，∴，綜上可證：．71．已知數(shù)列滿足，且點在函數(shù)的圖象上．（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式：（2）若，數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】（1）證明見解析；；（2）證明見解析．【分析】（1）由題意得，推得，即可證明是等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式即可求得結(jié)果；（2）推得，由不等式的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，即可求證.【詳解】（1）由點在函數(shù)的圖象上，可得，所以，即，也即，由，所以，所以是首項和公比均為的等比數(shù)列，則，所以；（2），所以，．72．已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記，，證明：當(dāng)時，．【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【分析】（1）作比構(gòu)造出新數(shù)列的遞推關(guān)系，從而滿足等差數(shù)列定義，求得通項公式.

（2）求出Tn，Sn，利用放縮法把Sn變成可以裂項求和的和式，從而證得不等式.【詳解】（1）因為當(dāng)時，，所以，上述兩式相除，可得，所以，所以，所以，又，所以，，，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以．（2）因為，所以，所以，所以當(dāng)時，．73．已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析；；（2）證明見解析．【分析】（1）由題得，即得數(shù)列為等比數(shù)列，再求數(shù)列的通項公式；（2）對分類討論利用放縮法求證.【詳解】（1）因為，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即，故．（2）由，，得，當(dāng)且為偶數(shù)時，，所以；當(dāng)且為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則，由于，則．綜上，．74．已知正項數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，，求證：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）先求首項，再應(yīng)用與的關(guān)系，構(gòu)造兩式并相減消去，得到遞推關(guān)系從而證明是等差數(shù)列，求出通項公式；（2）法一：化簡通項，放縮變形為可裂項形式，再裂項求和證明不等式；法二：數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得或（舍去）；當(dāng)時，由，兩式相減得，即，又，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，故，．（2）由（1）得，故，法一：由所以，即．法二：當(dāng)時，，，不等式成立；假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，那么當(dāng)時，要證，只需證，即證明，.，所以當(dāng)時，不等式成立．綜上，故對任意恒成立．75．?dāng)?shù)列滿足，，，.（1）求，及(用表示)；（2）設(shè)，求證：；（3）求證：.【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）由遞推關(guān)系及可得，，按奇數(shù)項、偶數(shù)項分別求通項.（2）由（1）所求通項可得，進(jìn)一步可得通項，再進(jìn)行放縮變換即可.（3）依（2）進(jìn)行放縮可求和即可得證.【詳解】（1）依題意，.由知，數(shù)列是首項為2.公比為2的等比數(shù)列.所以.因此，.故數(shù)列的通項公式為.（2）證明：由（1）知，，當(dāng)時，.（3）證明：.76．已知是公比的等比數(shù)列，且滿足，，數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，求證：.【答案】（1）；；（2）證明見解析.【分析】（1）先根據(jù)條件解得即得通項公式；利用條件可得，再與原式兩式相減可得的通項公式；（2）先放縮，再利用裂項相消法證得不等式.【詳解】解：（1）因為是公比的等比數(shù)列，所以因為，，所以，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時①②將②乘2得到③①－③，得，所以因為當(dāng)時，，所以（2）因為而，所以因此77．設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足，.（1）求（用表示）；（2）求證：當(dāng)時，不等式成立.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，代入即得，整理可得，為等差數(shù)列，即可得解；（2）代入整理，通過放縮即可證明.【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴，為首項為為首項，公差為等差數(shù)列，∴.（2）∵，∴時，，時，.78．已知函數(shù)，滿足：①對任意，都有；②對任意都有．（1）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；（2）求；（3）令，試證明：【答案】（1）證明見解析；（2）66；（3）證明見解析.【分析】（1）對①中等式變形，利用定義法判斷出的單調(diào)性；（2）先假設(shè)，根據(jù)條件確定出的值，即可求解出的值，再結(jié)合（1）的單調(diào)性確定出的值，由此計算出結(jié)果；（3）根據(jù)條件判斷出為等比數(shù)列并求解出通項公式，利用不等式以及二項展開式采用放縮方法證明不等式.【詳解】解：（1）由①知，對任意，都有，由于，從而，所以函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)；（2）令，則，顯然，否則，與矛盾.從而，而由，即得.又由（1）知，即.于是得，又，從而，即.又由知.于是，，，，，，由于，而且由（1）知，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，因此.從而.（3），，.即數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.∴于是，顯然，另一方面，從而.綜上所述，.79．已知正項數(shù)列滿足，.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，.【答案】（1），理由見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，求得數(shù)列的通項公式，可求得，然后利用作差法可比較出與的大??；（2）利用不等式的性質(zhì)得出，然后分和，結(jié)合放縮法以及等比數(shù)列的求和公式證明出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1），即，，，則且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，可得，，；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，由（1）可得，則.綜上所述，對任意的，.80．已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，若，求證：．【答案】（1），；（2）證明見解析．【分析】（1）由已知式，用代換得，相減后可求得，同時要驗證也符合此表達(dá)式即可；（2）求出，用放縮法求和，一個放縮是，另一個放縮是，放縮求和后可證得不等式成立．【詳解】（1）∵①，∴時，②，①－②得，，又，也適合上式，∴，；（2）由（1）得，由，得，∴，又，，，，，∴，綜上，．81．已知數(shù)列和滿足，且對任意的，，.（1）求，及數(shù)列的通項公式；（2）記，，求證：，.【答案】（1）；；.；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系，，得，再利用等比數(shù)列通項公式，即可得答案；（2）求出，再利用錯位相減法求和，進(jìn)行不等式的證明；【詳解】（1）根據(jù)，，得，根據(jù)，得，即，故，.同理可得，，.根據(jù)，，得，即.又，故數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，.所以.（2）由（1）知，.當(dāng)時，，成立；當(dāng)時，根據(jù)，得：.令①則②①-②得：.所以.所以，當(dāng)時，.又，所以，當(dāng)時，.綜上所述，對任意，恒有.82．已知數(shù)列的前n項和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先根據(jù)和項與通項關(guān)系得，再根據(jù)等差數(shù)列定義以及通項公式得，即得結(jié)果；（2）先利用放縮得，（），再利用裂項相消法證得結(jié)果.【詳解】解：（1）因為，所以，故，即，又因為，所以，故為等差數(shù)列，即，亦即；（2）顯然當(dāng)時，，故83．正項數(shù)列的前項和為，滿足對每個，成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）求的通項公式；（3）求證：【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)對和成立，得到兩個方程，根據(jù)成等比數(shù)列得到一個方程，三個方程聯(lián)立組成方程組可解得；（2）根據(jù)當(dāng)時，可得，再兩邊除以后，可得為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式可求得結(jié)果；（3）利用進(jìn)行放縮后，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得因為，所以（2）因為成等差數(shù)列，所以當(dāng)時，又符合上式，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列（3）因為，當(dāng)時，易知時，原不等式成立；當(dāng)時，綜上，原不等式成立.84．?dāng)?shù)列，，（1）是否存在常數(shù)，，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出，的值，若不存在，說明理由.（2）設(shè)，，證明：當(dāng)時，.【答案】（1）存在；，（2）證明見解析；【分析】（1）設(shè)，，由題設(shè)導(dǎo)出．存在，使得數(shù)列是等比數(shù)列．（2），，當(dāng)時，由得，由此能夠?qū)С霎?dāng)時，．【詳解】解：（1）設(shè)可化為，即故解得可化為又故存在，使得數(shù)列是等比數(shù)列（2）證明：由（1）得，故時，現(xiàn)證.當(dāng)時，，而，，故時不等式成立當(dāng)時，由得，綜上可得當(dāng)時，.85．已知數(shù)列滿足.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明；（Ⅲ）證明：.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）由，可得證.（Ⅱ）利用得，可得證；.（Ⅲ）由，可得證.【詳解】（Ⅰ），所以.（Ⅱ）當(dāng)時，由得，所以，不等式成立；當(dāng)時，由得，所以，所以.（Ⅲ），所以，當(dāng)時，.又因為，所以對一切成立.86．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且滿足，，．（1）求、的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)，有．【答案】（1），；（2）；（3）證明詳見解析．【分析】（1）由得，，解得，同理可得；（2）當(dāng)時，，可得，化簡構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，求出的通項公式；（3）當(dāng)時，，利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）由得，，又，所以；當(dāng)時，得，解得；（2），當(dāng)時，，所以，化簡得：，所以，即，又，所以，故數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，所以，得；（3），當(dāng)時，，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，當(dāng)時，，原不等式成立，當(dāng)時，，所以，原不等式成立，綜上，對一切正整數(shù)，有．87．已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【分析】（1）對題中的遞推關(guān)系合理化簡證明結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論利用累加法化簡證明結(jié)論.【詳解】證明：（1）由題得，故，由，可知，所以與同號，又，故.（2）由（1）知，故，所以.因為，所以，，相加得.所以，即，于是，因為，，.又由題知，故當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上，.88．已知數(shù)列、滿足，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：當(dāng)時，．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出數(shù)列，可得出，利用基本不等式可得出，再由可得出，利用作差法證得，進(jìn)而可證得結(jié)論；（Ⅱ）由可得出，結(jié)合可推導(dǎo)出，進(jìn)而得出，再利用放縮法可證得結(jié)論成立；（Ⅲ）由可推導(dǎo)出，進(jìn)而可得出，再利用累加法及等比數(shù)列的求和公式即可證明．【詳解】（Ⅰ）因為，則為常數(shù)數(shù)列，又，，且，則，故，，易知，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），因為，因此．又，所以；（Ⅱ）由，有，又，則，則；故，即，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此，的前項和；（Ⅲ）由，得，又，則，故，所以，因此，的前項和．89．已知數(shù)列滿足，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）若，記數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)證明出不等式對任意的恒成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法可證得；（Ⅱ）利用分析法，得出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出，即可證得結(jié)論；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可推導(dǎo)出，再由可得出，再利用放縮法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式證明結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）設(shè)，其中，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則.再用數(shù)學(xué)歸納法證明.①因為，所以，由知；②假設(shè)當(dāng)時，，則當(dāng)時，因為，所以，由得，綜上由①②知對一切恒成立；（Ⅱ）要證，即證，其中，令，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單