專題3.1變量之間的關(guān)系（舉一反三）（北師大版）

專題3.1變量之間的關(guān)系【六大題型】【北師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1常量與變量】 1【題型2自變量與因變量】 3【題型3用表格表示變量之間的關(guān)系】 4【題型4用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系】 8【題型5用圖象表示變量之間的關(guān)系】 10【題型6根據(jù)變量之間的關(guān)系判斷圖象】 13【題型1常量與變量】【例1】（2022春·四川·七年級校考期中）球的體積是V，球的半徑為R，則V=43πA．變量是V，R；常量是43，π B．變量是R，π；常量是C．變量是V，R，π；常量是43 D．變量是V，R3【答案】A【分析】所謂變量是指變化的量，常量是指固定不變的量，根據(jù)變量、常量的含義即可作出判斷．【詳解】解：球的體積是V，球的半徑為R，則V=4其中變量是V，R；常量是43，π故選：A．【點睛】本題考查了常量與變量，知道其含義是關(guān)鍵．【變式11】（2022春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，把兩根木條AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木條AC自由轉(zhuǎn)動至AC′位置．在轉(zhuǎn)動過程中，下面的量是常量的為（

）A．∠BAC的度數(shù) B．BC的長度 C．△ABC的面積 D．AC的長度【答案】D【分析】根據(jù)常量和變量的定義進行判斷．【詳解】解：木條AC自由轉(zhuǎn)動至AC′位置中，AC的長度始終保持不變，∴AC的長度是常量；故選：D【點睛】本題考查常量和變量，理解題意，確定變與不變是求解本題的關(guān)鍵．【變式12】（2022春·四川·七年級?？计谥校┫旅嬲f法中正確的是(

)A．兩個變量間的關(guān)系只能用關(guān)系式表示B．圖象不能直觀的表示兩個變量間的數(shù)量關(guān)系C．借助表格可以表示出因變量隨自變量的變化情況D．以上說法都不對【答案】C【詳解】表示函數(shù)的方法有三種：解析法、列表法和圖象法．解：A、兩個變量間的關(guān)系只能用關(guān)系式表示，還能用列表法和圖象法表示，故錯誤；B、圖象能直觀的表示兩個變量間的數(shù)量關(guān)系，故錯誤；C、借助表格可以表示出因變量隨自變量的變化情況，正確；D、以上說法都不對，錯誤；故選C．【變式13】（2022春·河南駐馬店·七年級校聯(lián)考期中）一本筆記本5元，買x本共付y元，則常量和變量分別是（）A．常量：5；變量：x B．常量：5；變量：yC．常量：5；變量：x，y D．常量：x，y；變量：5【答案】C【分析】在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量，數(shù)值始終不變的量稱為常量，所以5是常量，x、y是變量，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：一本筆記本5元，買x本共付y元，則5是常量，x、y是變量．故選：C．【點睛】此題主要考查了常量與變量問題，解題的關(guān)鍵是要明確：常量與變量必須存在于同一個變化過程中，判斷一個量是常量還是變量，需要看兩個方面：一是它是否在一個變化過程中；二是看它在這個變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化．【題型2自變量與因變量】【例2】（2022春·四川·七年級?？计谥校┠充N售商對某品牌豆?jié){機的銷量與定價的關(guān)系進行了調(diào)查，結(jié)果如下表所示，則（

）定價（元）100110120130140150銷量（臺）801001101008060A．定價是常量 B．銷量是自變量 C．定價是自變量 D．定價是因變量【答案】C【分析】根據(jù)自變量、因變量、常量的定義即可得．【詳解】由表格可知，定價與銷量都是變量，其中，定價是自變量，銷量是因變量，故選：C．【點睛】本題考查了常量與變量、自變量與因變量，掌握理解相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．【變式21】（2022春·四川·七年級?？计谥校┲匕俅髽堑匿N售量隨商品價格的高低而變化，在這個變化過程中，自變量是（）A．銷售量 B．顧客 C．商品 D．商品的價格【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)題意，銷售量隨商品價格的高低而變化，結(jié)合函數(shù)的定義，分析可得答案．解：根據(jù)題意，銷售量隨商品價格的高低而變化，則在這個變化過程中，自變量是商品的價格，故選D．點評：本題考查函數(shù)的概念，在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)，x叫自變量．【變式22】（2022秋·云南昆明·七年級統(tǒng)考期中）生活中太陽能熱水器已經(jīng)慢慢普及使用．在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫隨所曬太陽時間的長短而變化，這個問題中因變量是(

)A．太陽光的強弱 B．水的溫度 C．曬太陽的時間 D．熱水器【答案】B【詳解】∵在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫是隨所曬太陽時間的長短而變化的，∴在這個問題中，“因變量”是“水的溫度”.故選B.【變式23】（2022春·四川·七年級校考期中）圓柱的高是6cm，當圓柱的底面半徑r由小到大變化時，圓柱的體積V也隨之發(fā)生變化．在這個變化過程中，自變量是_____，因變量是_____．【答案】

r

V【詳解】∵圓柱的高固定為6cm，當圓柱底面半徑r由小到大變化時，圓柱的體積v也隨之發(fā)生變化，∴在上述變化過程中，自變量是：r，因變量是v.故答案為（1）r；（2）v.【題型3用表格表示變量之間的關(guān)系】【例3】（2022春·河南焦作·七年級?？计谀┠撤N蔬菜的價格隨月份變化如下表所示，根據(jù)表中信息，下列結(jié)論錯誤的是（

）月份x123456789101112價格y(元/千克)5.005.505.004.802.001.500.901.001.503.003.303.50A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量B．7月份這種蔬菜的價格最低，最低為0.90元千克C．1～D．7～【答案】C【分析】列表法能具體地反映自變量與函數(shù)的數(shù)值對應關(guān)系，依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可得到正確答案．【詳解】解：A、x是自變量，y是因變量，本選項不合題意；B、7月份這種蔬菜的價格最低，最低為0.90元千克，本選項不合題意；C、2～D、7～故選：C．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的表示方法，列表法能具體地反映自變量與函數(shù)的數(shù)值對應關(guān)系，在實際生活中應用非常廣泛；解析式法準確地反映了函數(shù)與自變量之間的對應規(guī)律，根據(jù)它可以由自變量的取值求出相應的函數(shù)值，反之亦然；圖象法直觀地反映函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律．【變式31】（2022秋·云南昆明·七年級統(tǒng)考期中）一個蓄水池有水50m放水時間（min）1234…水池中水量（m348464442…則放水14min時，水池中有水______m3【答案】22【分析】根據(jù)表格中“放水時間”與“水池中水量”之間的變化規(guī)律可得答案．【詳解】解：由表格中“放水時間”與“水池中水量”對應值的變化規(guī)律可知，放水時間每增加1min，水池中水量就減少2m3所以當放水時間為14min時，水池中水量為48﹣2×（14﹣1）＝22(m3故答案為：22．【點睛】本題考查用表格表示變量間的關(guān)系，掌握表格中兩個變量的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．【變式32】（2022春·江西九江·七年級統(tǒng)考期中）心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：min）之間有如下關(guān)系（其中2?x?20）：提出概念所用的時間x257101213141720學生對概念的接受能力y47.853.556.359.059.859.959.858.355.0(1)上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？(2)當提出概念所用的時間是5min(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)回答：當提出概念所用的時間是幾分鐘時，學生的接受能力最強？(4)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)回答：當x在什么范圍內(nèi)時，學生的接受能力在增強？當x在什么范圍內(nèi)時，學生的接受能力在減弱？【答案】(1)提出概念所用的時間x和對概念的接受能力y；提出概念所用時間x是自變量，對概念的接受能力y是因變量．(2)53.5(3)13(4)當2≤x<13時，學生的接受能力逐步增強；當13<x≤20時，學生的接受能力逐步減弱【分析】（1）根據(jù)自變量與因變量的定義即可求解；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)即可求解；（3）根據(jù)表格中x=13時，y的值最大是59.9（4）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：提出概念所用的時間x和對概念的接受能力y兩個變量；提出概念所用時間x是自變量，對概念的接受能力y是因變量．（2）解：當x=5時，y=53.5，答：當提出概念所用時間是5min時，學生的接受能力是53.5（3）解：當x=13時，y的值最大是59.9答：提出概念所用時間為13分鐘時，學生的接受能力最強．（4）解：由表中數(shù)據(jù)可知：當2≤x<13時，y值逐漸增大，學生的接受能力逐步增強；當13<x≤20時，y值逐漸減小，學生的接受能力逐步減弱．【點睛】本題主要考查了變量及變量之間的關(guān)系，理解題意，分析出表格中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．【變式33】（2022秋·河南鄭州·八年級?？计谥校?022年3月23日，“天宮課堂”第二課在中國空間站正式開講，航天員王亞平、葉光富、翟志剛為學生們上了一堂豪華的太空課，引發(fā)了學生了解科學知識的新熱潮．八（1）班社團通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，聲音在空氣中傳播的速度和氣溫的變化存在如下的關(guān)系：氣溫t0510152025聲音在空氣中的傳播速度v/331334337340343346(1)在這個變化過程中，________是自變量，______________是因變量．(2)從表中數(shù)據(jù)可知，氣溫每升高1℃，聲音在空氣中傳播的速度就提高__________m/s．(3)聲音在空氣中的傳播速度v/m/s與氣溫t(4)某日的氣溫為22℃，小樂看到煙花燃放5s后才聽到聲響，那么小樂與燃放煙花所在地大約相距多遠？【答案】(1)氣溫，聲音在空氣中的傳播速度(2)0.6(3)v=0.6y+331(4)1721m【分析】根據(jù)題意和表格中的兩個量的變化關(guān)系得出答案；從表格中兩個變量對應值的變化規(guī)律得出答案；利用（2）中的變化關(guān)系得出函數(shù)關(guān)系式；當t=22℃時，求出v，再根據(jù)路程等于速度乘以時間進行計算即可；【詳解】（1）解：在這個變化過程中，氣溫是自變量，聲音在空氣中傳播的速度是因變量；故答案為：氣溫，聲音在空氣中的傳播速度．（2）解：由表中的數(shù)據(jù)得：氣溫每升高5℃，聲音在空氣中的傳播速度就提高3m/s．∴氣溫每升高1℃，聲音在空氣中傳播的速度就提高3÷5=0.6m/s．故答案為：0.6．（3）解：根據(jù)題意：當t=0°C時，聲音在空氣中傳播的速度為331m/s，氣溫每升高1℃，聲音在空氣中傳播的速度就提高0.6m/s．∴聲音在空氣中的傳播速度vm/s與氣溫t（℃）的關(guān)系式可以表示為v=0.6y+331故答案為：v=0.6y+331．（4）解：當t=22℃時，v=22×0.6t+331=344.2m/s，答：小樂與燃放煙花所在地大約相距1721m．【點睛】本題考查了函數(shù)的表示方法，常量與變量，理解常量與變量的定義，求出函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【題型4用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系】【例4】（2022春·山東濟南·七年級濟南十四中?？计谥校┠撤N長途收費方式為按時收費，前3分鐘收費1.8元，以后每加一分鐘收費1元，當時間t≥3分鐘時的費y（元）與t（分）之間的關(guān)系式是___________【答案】y=x?1.2【分析】將通電時間分為兩部分，根據(jù)大于3分鐘部分的收費+前3分鐘收費，得出總的費即可．【詳解】解：∵前3分鐘收費1.8元，以后每加一分鐘收費1元，∴當時間t≥3分鐘時的費y（元）與t（分）之間的關(guān)系式為：y=1.8+x?3故答案為：y=x?1.2．【變式41】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖所示是關(guān)于變量x，y的程序計算，若開始輸入的x值為4，則最后輸出因變量y的值為______．【答案】20【分析】將x=4代入關(guān)系式xx+1【詳解】解：當x=4，∴xx+1∴輸出因變量y=20．故答案為：20．【點睛】本題主要考查求因變量的值，熟練掌握自變量對應的因變量的值的求法是解決本題的關(guān)鍵．【變式42】（2022秋·八年級課時練習）某移動通信公司開設(shè)了兩種通信業(yè)務．“全球通”，使用時首先交50元月租，然后每通話1min，付費0.4元；“動感地帶”：不交月租費，每通話1min，付費0.6元．若一個月通話xmin，兩種方式的費用分別為y1元和y(1)分別寫出y1，y2與(2)一個月內(nèi)通話多少分，兩種移動通信業(yè)務費用相同？(3)某人估計一個月內(nèi)通話300min那么他選擇哪種移動通信業(yè)務更合適？【答案】(1)y1＝50＋0.4x；y2(2)250分鐘(3)選擇“全球通”移動通信業(yè)務更合適【分析】（1）由“第一種通訊業(yè)務費用y1＝月租費＋通話時間×每分鐘通話費用”可得出y1與x的關(guān)系式，由“第二種通訊業(yè)務費用y2＝通話時間×每分鐘通話費用”可得出y（2）令y1＝y(tǒng)2，即可得出關(guān)于（3）將x＝300分別代入y1、y2中，求出【詳解】（1）解：由題意得：y1＝50＋0.4x；y2（2）令y1＝y(tǒng)2，即50＋0.4x＝0.6x解得：答：一個月內(nèi)通話250分鐘，兩種通信費用相同．（3）在y1＝50＋0.4x令x＝300，則y1在y2＝0.6x令x＝300，則y2180＞170答：選擇“全球通”移動通信業(yè)務更合適【變式43】（2022春·安徽·七年級校考期中）如圖所示，梯形ABCD上底的長是xcm，下底長BC=30cm，高(1)梯形面積ycm2與上底長(2)當x每增加1cm時，y如何變化？(3)當x=0時，y等于什么？此時y表示的是什么？【答案】(1)y=8x+240(2)當x每增加1cm時，y增加8(3)y等于240，此時y表示的是三角形的面積【分析】（1）根據(jù)梯形的面積=（上底+下底）×高÷2即可得；（2）直接根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；（3）將x=0代入（1）的結(jié)論即可得y的值，再根據(jù)梯形的上底為0時，梯形就變成了三角形，由此即可得y表示的是三角形的面積．（1）解：∵梯形ABCD上底的長是xcm，下底長BC=30cm，高∴梯形面積y=16即y=8x+240．（2）解：由（1）已得：y=8x+240，則當x每增加1cm時，y增加8cm（3）解：將x=0代入y=8x+240得：y=240，當x=0時，梯形的上底為0時，梯形就變成了三角形，則此時y表示的是三角形的面積．【點睛】本題考查了利用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系、求函數(shù)值，熟練掌握梯形的面積公式是解題關(guān)鍵．【題型5用圖象表示變量之間的關(guān)系】【例5】（2022秋·八年級課時練習）圖象中所反映的過程是：張強從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示時間，y表示張強離家的距離．則體育場離張強家_____千米，張強在體育場鍛煉了_____分鐘，張強從早餐店回家的平均速度是_____千米/小時．【答案】

2.5

15

3【分析】結(jié)合圖象，可得出體育場離張強家的距離為第一段圖象所對應的y軸的最高點；進而得出在體育場鍛煉的時間；根據(jù)圖象，可得出早餐店離張強家為1.5千米，所用時間為30分鐘，注意要將單位轉(zhuǎn)化為小時，再根據(jù)“平均速度=總路程÷總時間”，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由圖象得：體育場離張強家的距離2.5千米，張強在體育場鍛煉的時間為：30?15=15分鐘，∵早餐店離張強家為1.5千米，又∵張強從早餐店回家所用時間為：95?65=30分鐘，即30分鐘=0.5小時，∴張強從早餐店回家的平均速度為：1.5÷0.5=3千米/小時．故答案為：2.5；15；3【點睛】本題考查了用圖象表示變量之間的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想．【變式51】（2022春·遼寧沈陽·七年級沈陽市南昌初級中學（沈陽市第二十三中學）?？茧A段練習）一港口受潮汐的影響，某天24小時港內(nèi)的水深大致如圖，港口規(guī)定：為了保證航行安全，只有當船底與水底間的距離不少于4米時，才能進出該港．一艘吃水深度（即船底與水面的距離）為2米的輪船進出該港的時間最多為（單位：時）______小時．【答案】9【分析】從圖像上找到當水深為6米的兩個時間相減即可得到本題的答案．【詳解】解：∵當船底與水底間的距離不少于4米時，才能進出該港．∴水深度(即船底與水面的距離)為2米的輪船在水深為2+4=6米時才可以通航，從圖像可知水深為6米的時間為6時和15時，∴進出該港口的時間為15?6=9小時，故答案為：9．【點睛】本題考查了用圖像表示變量之間的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是理解吃水的概念．【變式52】（2022春·四川雅安·七年級統(tǒng)考期末）在雨地里放置一個無蓋的容器，如果雨水均勻地落入容器，容器內(nèi)水面高度?與時間t的函數(shù)圖象如圖所示，那么這個容器的形狀可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象得到高度隨時間的增大，高度增加的速度，即可判斷．【詳解】根據(jù)圖象可以得到：杯中水的高度?隨注水時間t的增大而增大，而增加的速度越來越小．則杯子應該是越向上開口越大．故杯子的形狀可能是C．故選：C．【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象，讀函數(shù)的圖象時首先要理解橫縱坐標表示的含義，理解問題敘述的過程，能夠通過圖象得到函數(shù)是隨自變量的增大，知道函數(shù)值是增大還是減?。咀兪?3】（2022秋·八年級課時練習）如圖，是駱駝的體溫隨時間變化而變化的的關(guān)系圖，據(jù)圖回答下列問題：(1)一天中，駱駝體溫的變化范圍是什么？它的體溫從最低上升到最高需要多少時間？(2)從16時到24時，駱駝的體溫下降了多少？(3)在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫在上升？在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫在下降？(4)A點表示的是什么？【答案】(1)35℃~40℃；12小時(2)3℃(3)4時到16時體溫上升；0時到4時，16時到24時體溫下降(4)12時，駱駝的體溫為39℃【分析】觀察0時到24時，駱駝的體溫變化，進行解答即可．【詳解】（1）解：由圖可知，最低體溫為35℃，最高體溫為40℃，∴駱駝體溫的變化范圍為35℃~∵16?4=12，∴從最低體溫上升到最高體溫需要12小時．（2）解：由圖可知16時體溫為40℃，24時體溫為37℃∵40?37=3∴駱駝體溫下降了3℃．（3）解：由圖可知，在4時到16時，駱駝體溫上升；在0時到4時，16時到24時，駱駝體溫下降．（4）解：A點表示，在12時，駱駝的體溫為39℃．【點睛】本題考查了圖象表示變量間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于從圖中獲取正確的信息．【題型6根據(jù)變量之間的關(guān)系判斷圖象】【例6】（2022春·河南鄭州·七年級?？计谥校┬∶鲝募因T自行車上學，先以0.4千米/分的速度勻速騎行5分鐘，途經(jīng)超市時，買文具用了5分鐘，為按時到校，再以0.5千米/分的速度騎行2分鐘到學校．設(shè)小明騎自行車的速度為v（千米/分），離家路程為s（千米），上學時間為t（分）．下列圖象能表達這一過程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)路程、速度與時間的關(guān)系以及函數(shù)圖象的特點，結(jié)合題意逐項判斷解答即可．【詳解】解：由題意，小明先以0.4千米/分的速度勻速騎行5分鐘，路程從0開始隨時間勻速增加到2千米；途經(jīng)超市時，買文具用了5分鐘，路程不變；再以0.5千米/分的速度騎行2分鐘到學校，離家路程隨時間勻速增加到3千米．故選：D．【點睛】本題考查用圖象表示變量間關(guān)系，理解題意，能判斷出路程與時間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，注意買文具時路程不變．【變式61】（2022春·河南鄭州·七年級?？计谥校┮荒?65天，天安門廣場的升旗