專題11.1三角形重難點題型11個

專題11.1三角形重難點題型11個重難點題型題型1三角形三邊關(guān)系及其運用性質(zhì)：兩邊之差的絕對值<第三邊<兩邊之和解題技巧：（1）已知兩條邊，根據(jù)限定條件求第三條邊，求解完成后，切勿忘記要驗證三邊是否能構(gòu)成三角形。（2）題干告知為等腰三角形，但未告知哪條邊是腰時，往往有多解。最后，也需驗證三邊是否能構(gòu)成三角形。（3）遇到證明邊之間大小關(guān)系的題型，想辦法構(gòu)造三角形，將需要證明的邊轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，利用三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊解題.1．（2022·淮北市八年級期末）以下列長度的各組線段為邊，能組成三角形的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【分析】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，進行分析判斷．【詳解】解：A、1＋2=3，故不能構(gòu)成三角形，選項錯誤；B、2＋3＝5，故不能構(gòu)成三角形，選項錯誤；C、5＋6＜12，故不能構(gòu)成三角形，選項錯誤；D、4+6＞8，能構(gòu)成三角形，選項正確，故選：D．【點睛】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件．注意：用兩條較短的線段相加，如果大于最長那條就能夠組成三角形．2．（2022·上海徐匯·七年級期中）其中兩條邊長分別為和4，第三條邊長為整數(shù)的三角形共有____個．【答案】5【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍，再根據(jù)第三條邊長為整數(shù)，即可求解．【詳解】解：設(shè)第三條邊長為x∵三角形的兩條邊長分別為和4，∴∵第三條邊長為整數(shù)，∴x=2或3或4或5或6．∴第三條邊長為整數(shù)的三角形共有5個．故答案為：5．【點睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．也考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2022·云南紅河·八年級期末）如果一個三角形的兩邊長分別為3、4，第三邊最長且為偶數(shù)，則此三角形的第三邊長是______．【答案】6【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，求得第三邊的取值范圍，再進一步進行分析．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得第三邊大于1，而小于7．又第三邊最長且是偶數(shù)，則此三角形的第三邊是6．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇南京·七年級期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是(

)A．7 B．10 C．11 D．14【答案】B【分析】若兩個螺絲的距離最大，則此時這個木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可．【詳解】已知4條木棍的四邊長為3、4、6、8；選3+4、6、8作為三角形，則三邊長為7、6、8；，能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為8；選4+6、8、3作為三角形，則三邊長為10、8、3，，能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為10；選6+8、3、4作為三角形，則三邊長為14、3、4；，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；選3+8、4、6作為三角形，則三邊長為11、4、6；，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10；故選：B．【點睛】本題實際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵．5．（2022·安徽·淮南市八年級期中）已知a，b，c是△ABC的三邊，化簡：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝________．【答案】【分析】首先利用三角形的三邊關(guān)系得出，然后根據(jù)求絕對值的法則進行化簡即可．【詳解】解：∵是的三條邊，∴，∴=．故答案為：．【點睛】熟悉三角形的三邊關(guān)系和求絕對值的法則，是解題的關(guān)鍵，注意，去絕對值后，要先添加括號，再去括號，這樣不容易出錯．6.（2022?雁塔區(qū)期中）觀察并探求下列各問題，寫出你所觀察得到的結(jié)論．（1）如圖①，在△ABC中，P為邊BC上一點，則BP+PCAB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）將（1）中點P移到△ABC內(nèi)，得圖②，試觀察比較△BPC的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．（3）將（2）中點P變?yōu)閮蓚€點P1、P2得圖③，試觀察比較四邊形BP1P2C的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊，即可得出結(jié)果，（2）可延長BP交AC與M，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，即可得出結(jié)果，（3）分別延長BP1、CP2交于M，再根據(jù)（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形兩邊之和大于第三邊，（2）△BPC的周長＜△ABC的周長．理由：如圖，延長BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，兩式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周長＜△ABC的周長，（3）四邊形BP1P2C的周長＜△ABC的周長，理由：如圖，分別延長BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得結(jié)論．【點評】本題考查比較線段的長短常常利用三角形的三邊關(guān)系以及不等式的性質(zhì)，通過作輔助線進行解答．題型2中線與三角形面積（周長）性質(zhì)：（1）三角形中線將三角形的面積分成相等的兩部分（2）兩個三角形的面積之比等于它們的底、高乘積之比；（3）等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；（4）等底等高的兩個三角形面積相等。解題技巧：（1）明確中線是哪個三角形的中線，這條中線將對應(yīng)三角形的面積平分。題目中往往會出現(xiàn)多個三角形和多條中線，利用中線性質(zhì)依次類推三角形的面積，直至求解出題干要求的面積。（2）尋找兩個面積相等三角形技巧：選取底邊相同的兩個點的三角形，三角形的另一個頂點為與底邊平行的線段上的點（等高）；（3）兩圖形面積之比，就是底邊與高乘積之比。1．（2022·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在中，，，為中線，則與的周長之差為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得，則兩個三角形的周長之差就是AB和AC長度的差．【詳解】解：∵AD是中線，∴，∵，，∴．故選：B．【點睛】本題考查中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中線的性質(zhì)．2．（2022·廣西·八年級階段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，已知點D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點，且△ABC的面積是，則陰影部分面積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中線把三角形分成面積相等的兩部分可以得到解答．【詳解】解：∵點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點，∴，選B【點睛】本題考查三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·泰興市洋思中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上任意一點，、、分別是、、的中點，，則的值為______．【答案】6【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答．【詳解】連接CD，如圖所示：∵點D是AG的中點，∴S△ABD=S△ABG，S△ACD=S△AGC，∴S△ABD+S△ACD=S△ABC=24，∴S△BCD=S△ABC=24，∵點E是BD的中點，∴S△CDE=S△BCD=12，∵點F是CE的中點，∴S△DEF=S△CDE=6．故答案為：6．【點睛】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等．4．（2022·四川遂寧初一期末）如圖，在中，點D，E，F(xiàn)分別在三邊上，E是AC的中點，AD，BE，CF交于一點G，，，，則的面積是（）A．42 B．48 C．54 D．60【答案】D【分析】根據(jù)部分三角形的高相等，由這些三角形的底邊的比例關(guān)系可求三角形ABC的面積．【解析】解：三角形BDG和CDG中，BD=2DC．根據(jù)這兩個三角形在BC邊上的高相等，那么S△BDG=2S△GDC，∴S△GDC=，同理S△AGE=S△GEC=6，S△BEC=S△BGC+S△GEC=16+8+6=30，∴三角形ABC的面積=2S△BEC=60．故選：D．【點睛】本題中由于部分三角形的高相等，可根據(jù)這些三角形的底邊的比例關(guān)系來求三角形ABC的面積．5．（2022·棗莊市市中區(qū)實驗中學(xué)初一月考）如圖，是的中線，，，的周長和的周長差為()A．6 B．3 C．2 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)三角形的周長的計算方法得到△ABD的周長和△ADC的周長的差就是AB與AC的差．【解析】∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周長的差=（AB+BC+AD）（AC+BC+AD）=ABAC=53=2，故選C．【點睛】本題考查三角形的中線的定義以及周長的計算方法，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．6．（2022·上海閔行初一期中）如圖，對面積為的逐次進行操作：第一次操作，分別延長、、至點、、，使得，，，順次連接、、，得到，記其面積為；第二次操作，分別延長、、至點、、，使得、、，順次連接、，得到，記其面積為，，按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到，則其面積________．【答案】361【分析】根據(jù)三角形等高時底之比等于面積比得出的面積為面積的兩倍，則的面積是的2倍…，以此類推，得出的面積．【解析】連接，,,根據(jù)，的面積為的2倍，所以的面積為2；同理的面積為的2倍，所以的面積為4；以此類推：的面積為2，的面積為4，的面積為2，的面積為4∴，即面積為面積的19倍，以此類推的面積為面積的倍，所以．故答案為：361【點睛】利用三角形的底與高之間的數(shù)量關(guān)系判斷面積的數(shù)量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022·西安市鐵一中學(xué)九年級模擬）如圖，△ABC的面積是21，點D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，且AE＝2，EB＝4．若△ABD與四邊形DFEB面積相等，則△ADC的面積＝_____．【答案】7【分析】連接CE，由S△ABD=S四邊形DFEB可得S△AEG=S△DFG，證明S△AEF=S△ADF，進而可證S△AEC=S△ADC，求出△AEC的面積，即可求出△ADC的面積．【詳解】解：連接CE，記AD與EF交于點G，∵S△ABD=S四邊形DFEB，∴S△AEG=S△DFG，∴S△AEG+S△AFG=S△DFG+S△AFG，∴S△AEF=S△ADF，設(shè)△ACE的邊AC上的高為h，則，，設(shè)△ACD的邊AC上的高為x，則，，∵S△AEF=S△ADF，∴h=x，∴S△AEC=S△ADC，∵AE＝2，EB＝4，∴，∴．故答案為：7．【點睛】本題考查了三角形的面積，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等是解答本題的關(guān)鍵．題型3高線與三角形面積性質(zhì)：三角形面積等于對應(yīng)底邊和高乘積的一半，同一個三角形面積不變注：求面積時，底邊和高必須對應(yīng)解題技巧：同一個三角形面積不變，利用這條性質(zhì)，可得出等式：BC×AD=AB×CE=AC×BF。利用個等式，可求出三角形中某些不太方便求解的邊。1．（2021·內(nèi)蒙古林西?初二期末）如圖，在中，AB=8，BC=6，AB、BC邊上的高CE、AD交于點H，則AD與CE的比值是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可得．【解析】由題意得：解得故選：A．【點睛】本題考查了三角形的高，利用三角形的面積公式列出等式是解題關(guān)鍵．2．（2021·四川涼山初三期末）如圖，在△ABC中，過點A作射線AD∥BC，點D不與點A重合，且AD≠BC，連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)CD，設(shè)△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面積分別為S1、S2、SA．S1=S3B．S1+S2【答案】D【分析】根據(jù)同底等高判斷△ABD和△ACD的面積相等，即可得到S1+S2=S3+S2，即【解析】∵△ABD和△ACD同底等高，∴S△ABD=S△ACD△ABC和△DBC同底等高，∴S△ABC=S△DBC，∴S1+S【點睛】考查三角形的面積，掌握同底等高的三角形面積相等是解題的關(guān)鍵.3．（2021·江蘇海安?初一月考）△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，則∠BAC=___________．【答案】70°或30°【分析】根據(jù)AD的不同位置，分兩種情況進行討論：AD在△ABC的內(nèi)部，AD在△ABC的外部，分別求得∠BAC的度數(shù)．【解析】①如圖，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°．②如圖，當(dāng)AD在△ABC的外部時，∠BAC=∠BAD∠CAD=50°20°=30°．故答案為：70°或30°．【點睛】本題主要考查了三角形高的位置情況，充分考慮三角形的高在三角形的內(nèi)部或外部進行分類討論是解題的關(guān)鍵．4．（2021·哈爾濱市第六十九中學(xué)校初一期中）如圖，是的高，，則_____________．【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積公式解答即可．【解析】因為AD、CE、BF是△ABC的三條高，AB=5，BC=4，AD=3，所以可得：BC?AD=AB?CE，可得：CE=．故答案為：．【點睛】此題考查三角形的面積，解題關(guān)鍵是根據(jù)同一三角形面積相等來分析．5．（2021·貴州省施秉縣第二中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，BE⊥AC，BC＝5cm，AC＝8cm，BE＝3cm．（1）求△ABC的面積；（2）畫出△ABC中BC邊上的高AD，并求出AD的長．【答案】（1）；（2）作圖見解析，cm【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)三角形面積計算公式分析，即可得到答案；（2）過點A作交BC于點D，結(jié)合三角形面積公式計算，即可得到答案．【詳解】（1）∵BE⊥AC，AC＝8cm，BE＝3cm∴（2）如圖，過點A作交BC于點D∵∴cm．【點睛】本題考查了三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形高的性質(zhì)，從而完成求解．6．（2021·云南昭通·八年級期中）如圖所示，AD，CE是△ABC的兩條高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．（1）求△ABC的面積；（2）求AD的長．【答案】（1）27；（2）4.5【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式進行求解即可；（2）利用面積法進行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：．（2）∵，∴．解得．【點睛】本題主要考查了與三角形高有關(guān)的面積求解，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握三角形面積公式．題型4直角三角板中的求角度問題1．（2021·安徽中考真題）兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，AB與DF交于點M．若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】由圖可得∵，∴∴故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江齊齊哈爾市·九年級其他模擬）將一副直角三角尺，按如圖所示位置擺放，使30°角所對的直角邊和含45°角的三角尺的直角邊放在同一條直線上，則∠1的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，即可求解．【詳解】解：由題意得：∠A=60°，∠B=45°，∴∠1=180°60°45°=75°，故選C．【點睛】本題朱主要考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°，是解題的關(guān)鍵．3．（2021·合肥市第四十五中學(xué)九年級其他模擬）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過含角的三角板的直角頂點做一條平行紙條邊的線，在圖上標(biāo)出相應(yīng)的角，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，同位角相等，兩角互補相關(guān)知識求出．【詳解】解：過含角的三角板的直角頂點做一條平行紙條邊的線，在圖上分別標(biāo)出、、、，由題意及根據(jù)兩直線平行知：，，所求，由圖可知：與互補，，，，故選：B．【點睛】本題考查了兩直線平行內(nèi)錯角相等，同位角相等及兩角互補等相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)兩直線平行，找出角之間的關(guān)系，間接求出．4．（2021·浙江八年級期中）一副三角板按如圖所示放置，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠BAC=∠ACD=30°，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=30°，∵∠AED=45°，∴∠AEC=135°，∵∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°，∴∠EAC=180°∠AEC∠ACE=180°30°135°=15°，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．5.（2021?定興縣月考）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過B、C．（1）若∠A＝40°，則∠ABC+∠ACB＝°，∠DBC+∠DCB＝°∠ABD+∠ACD＝°．（2）若∠A＝55°，則∠ABD+∠ACD＝°．（3）請你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，進而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，進而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定義有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，則∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；故答案為：140；90；50．（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，故答案為：35；（3）∠ABD+∠ACD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．證明如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，故答案為：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解答的關(guān)鍵．6．（2021·山西晉城市·八年級期末）綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，全班同學(xué)分組進行了一副三角尺上角的探究活動，如圖所示，放置一副三角尺，兩個三角尺的頂點O重合，邊與邊重合，試求的度數(shù)．（1）探究展示勤奮小組展示了如下的解決方法（請結(jié)合圖形1，完成填空）解：∵，∴__________（___________________）又∵，∴__________．（2）反思交流：創(chuàng)新小組受勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖2所示，繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，求得的度數(shù)．（請你寫出解答過程）（3）探索發(fā)現(xiàn)：小明受到旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究（如圖3），繼續(xù)繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在邊上，此時發(fā)現(xiàn)與之間的數(shù)量關(guān)系．以下是他的解答過程，請補充完整解：在與中，∵又∵（___________________）__________，__________，∴__________．【答案】（1）；三角形內(nèi)角和是；；（2）；見解析；（3）對頂角相等；；；【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）利用平行線的性質(zhì)求得∠AOC=45°，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可；（3）在△AOE與△BCE中，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C，計算即可求解．【詳解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形內(nèi)角和是180°），又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；（2）解：∵DC∥AO，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180°?∠AOC?∠BAO=180°?45°?30°=105°（三角形內(nèi)角和是180°）；（3）在△AOE與△BCE中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C，又∵∠AEO=∠CEB（對頂角相等），∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C，∠1?∠2=15°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．考點5三角形的折疊問題1．（2021·江蘇八年級專題練習(xí)）如圖，把ABC紙片沿DE折疊，使點B落在圖中的B處，設(shè)EC1，DA2若25，則21=______【答案】50【分析】由折疊性質(zhì)求得，由三角形的外角性質(zhì)，用表示，進而求得．【詳解】解：，，，，，故答案為50．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)表示出與的關(guān)系式．2．（2022·江蘇如皋初一期末）在△ABC中，將∠B、∠C按如圖所示方式折疊，點B、C均落于邊BC上一點G處，線段MN、EF為折痕．若∠A＝82°，則∠MGE＝_____°．【答案】82【分析】由折疊的性質(zhì)可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，可求出∠B+∠C的度數(shù)，進而得到∠MGB+∠EGC的度數(shù)，問題得解．【解析】解：∵線段MN、EF為折痕，∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，∵∠A＝82°，∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，∴∠MGE＝180°﹣98＝82°，故答案為：82．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，解題的關(guān)鍵是利用整體思想得到∠MGB+∠EGC的度數(shù)．3．（2021·長沙市初一期末）如圖，在中，點是上的點，，將沿著翻折得到，則______°．【答案】20【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和翻折的性質(zhì)解答即可．【解析】，將沿著翻折得到，，，，故答案為20【點睛】此題考查翻折的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和和翻折的性質(zhì)解答．4.（2021?龍崗區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，將△ABC沿著直線l折疊，點C落在點D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．36° B．72° C．50° D．46°【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠D＝∠C，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：∠D＝∠C＝36°，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，則∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，則∠1﹣∠2＝72°．故選：B．【點評】此題考查了翻折變換（折疊問題）以及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．（2020·浙江八年級期末）已知，在直角三角形中，，是上一點，且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，將沿所在直線翻折，點落在邊上，記為點．①若，求的度數(shù)；②試求與的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①22°；②∠A′CB=90°2∠B【分析】（1）根據(jù)直角三角形中兩銳角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，則∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根據(jù)垂直的定義得CD⊥AB；（2）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD∠A′CD求解；②同①的方法，進行分類討論即可．【詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB；（2）①∵∠B=34°，∴∠ACD=34°，∴∠BCD=90°34°=56°，∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點落在BD邊上，記為A′點，∴∠A′CD=∠ACD=34°，∴∠A′CB=∠BCD∠A′CD=56°34°=22°；②∵∠B=∠ACD，則∠BCD=90°∠ACD，∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點落在BD邊上，記為A′點，∴∠A′CD=∠ACD=∠B，∠A′CB=∠BCD∠A′CD=90°∠B∠B=90°2∠B．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期中）如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使得點A落在四邊形的外部的位置且與點C在直線的異側(cè)，折痕為，已知，．（1）求的度數(shù)；（2）若保持的一邊與平行，求的度數(shù)．【答案】（1）60°；（2）45°或30°【分析】（1）先求出∠B的度數(shù)，在根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出∠1+∠BFD的度數(shù)，由∠BFD=∠A′FE和∠A′的度數(shù)可求出答案．（2）分EA'∥BC和DA'∥BC兩種情況討論．當(dāng)DA'∥BC時，先求出∠A′DA=90°，再根據(jù)折疊可得出∠ADE=45°；當(dāng)EA'∥BC時，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠2=∠ABC=60°，由（1）得出∠1=120°，再根據(jù)折疊可求出∠ADE的度數(shù)．【詳解】解：（1）由折疊可知，在中，在中，在四邊形中，因為（2）①當(dāng)時，沿折疊②當(dāng)時，由（1）知，，，沿折疊綜上，∠ADE的度數(shù)為：45°或30°．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和等于180°，平行線的性質(zhì)，屬于綜合題，但難度不大．熟記性質(zhì)準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．題型6雙角平分線（兩內(nèi)、兩外、一內(nèi)一外）1．（2021·無錫市江南中學(xué)七年級月考）如圖，BD、CE為△ABC的兩條角平分線，則圖中∠1、∠2、∠A之間的關(guān)系為___________．【答案】∠1+∠2∠A=90°【分析】先根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，寫出∠1+∠2與∠A的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，求出∠1+∠2與∠A的度數(shù)關(guān)系．【詳解】∵BD、CE為△ABC的兩條角平分線，∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，∵∠1=∠ACE+∠A，∠2=∠ABD+∠A∴∠1+∠2=∠ACE+∠A+∠ABD+∠A=∠ABC+∠ACB+∠A+∠A＝（∠ABC+∠ACB+∠A）+∠A=90°+∠A故答案為∠1+∠2∠A=90°．【點睛】考查了三角形的內(nèi)角和等于180°、外角與內(nèi)角關(guān)系及角平分線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．三角形的外角與內(nèi)角間的關(guān)系：三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補，等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．2．（2021·江蘇揚州市·七年級月考）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠P=______°．【答案】30【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出∠P的度數(shù).【詳解】∵BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACM的平分線，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM∠PBC=50°20°=30°，故答案為30【點睛】本題考查及角平分線的定義及三角形外角性質(zhì)，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3．（2021·蘇州外國語學(xué)校八年級期中）如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．【答案】52°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出∠E，利用三角形內(nèi)角和求出，得到，從而求出，再次利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和得到∠A．【詳解】解：、分別平分、，，，，，即，，，、分別平分、，，，，，∴，∴，、分別平分、，，，∴，，故答案為：52°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．4．（2021·上海市川沙中學(xué)南校八年級期中）如圖1，、的角平分線、相交于點，（1）如果，那么的度數(shù)是多少，試說明理由并完成填空；（2）如圖2，，如果、的角平分線、相交于點，請直接寫出度數(shù)；（3）如圖2，重復(fù)上述過程，、的角平分線、相交于點得到，設(shè)，請用表示的度數(shù)（直接寫出答案）解：（1）結(jié)論：______度．說理如下：因為、平分和（已知），所以，（角平分線的意義）．因為，（）（完成以下說理過程）【答案】（1）32；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；過程見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)（1）的解法進行求解即可；（3）利用（1）的結(jié)論求解即可．【詳解】（1）結(jié)論：；理由如下：∵、的角平分線、相交于點∴，（角平分線的意義）∵，（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴，（等式性質(zhì)）∴（等量代換）∴；（2）∵、的角平分線、相交于點∴，（角平分線的意義）∵，（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴，（等式性質(zhì)）∴（等量代換）∴；（3）∵當(dāng)，、∴當(dāng)，=．【點睛】本題主要考查了角的平分線的定義以及三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和成為解答本題的關(guān)鍵．5．（2021·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校八年級月考）如圖1，已知，A、B兩點同時從點O出發(fā)，點A沿射線運動，點B沿射線運動．（1）如圖2，點C為三條內(nèi)角平分線交點，連接、，在點A、B的運動過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求其值；若發(fā)生變化，請說明理由：（2）如圖3，在（1）的條件下，連接并延長，與的角平分線交于點P，與交于點Q．①與的數(shù)量關(guān)系為____．②在中，如果有一個角是另一個角的2倍，求的度數(shù)．【答案】（1）不變，120°；（2）①；②或【分析】（1）由的和不變可知度數(shù)不變；（2）①利用三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義，分別用∠BAO和∠P表示出∠MBP，據(jù)此可得結(jié)果；②設(shè)為度，可用表示三個內(nèi)角，分類討論可得答案．【詳解】解：（1）的度數(shù)不變，理由如下：點為三條內(nèi)角平分線交點，，，，，，，，即的度數(shù)不變；（2）①點為三條內(nèi)角平分線交點，，，∴，為的角平分線，，∴，，，整理得：；②設(shè)，則，，為的角平分線，，，點為三條內(nèi)角平分線交點，，，，，中有一個角是另一個角的2倍，分四種情況：（1），則，解得，此時，（2），則，解得，此時，（3），則，解得，此時，（4），則，解得，故舍去，中有一個角是另一個角的2倍，為或．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線，一元一次方程等知識點，是一道較綜合的題目，難點是表示三個內(nèi)角分類討論．6.（2022?蓬溪縣月考）某校七年級數(shù)學(xué)興趣小組對“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，請你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點P，則∠BPC＝°，延長BC至點E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點R，則∠R＝°．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）結(jié)合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°-12（∠＝180°-12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90（2）∵BE是∠ABD的平分線，CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=1∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠∴∠BEC=12∠A（3）結(jié)論∠BQC＝90°-12∠∵∠CBM與∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分別是∠ABC與∠ACB外角的平分線，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A＝180°-12∠A-12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°-12∠A﹣90°＝（4）由（3）可知，∠BQC＝90°-12∠A＝90°-由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案為119，【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．題型7.三角形的分類1.（2021·山西呂梁市·八年級期中）給出下列說法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）三角形按邊的相等關(guān)系分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；（3）三角形按角的大小分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中，正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根據(jù)三角形的分類、三角形的三邊關(guān)系進行判斷【詳解】（1）等邊三角形是一特殊的等腰三角形，正確（2）三角形按邊分類可以分為不等邊三角形和等腰三角形，錯誤（3）三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，正確綜上所述，正確的結(jié)論2個故選B【點睛】本題考查了三角形．注意：等邊三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等邊三角形2．（2021·山東濱州市·八年級期末）三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形的分類可直接得到答案．【詳解】三角形根據(jù)邊分類，∴圖中小橢圓圈里的A表示等邊三角形．故選D．【點睛】此題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握分類方法．按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．3．（2021·咸寧市八年級月考）下列關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）A．甲分法錯誤，乙分法正確 B．甲分法正確，乙分法錯誤C．甲、乙兩種分法均正確 D．甲、乙兩種分法均錯誤【答案】A【分析】根據(jù)三角形的分類可直接選出答案．【詳解】按邊分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）；按角分類：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形．∴甲分法錯誤，乙分法正確．故選：A．【點睛】本題主要考查三角形的分類，關(guān)鍵是掌握分類方法．根據(jù)三角形角、邊的特點，按邊或按角分類．4．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)七年級期中）給出下列命題：①等邊三角形是等腰三角形；②三角形的重心是三角形三條中線的交點；③三角形的外角等于兩個內(nèi)角的和；④三角形的角平分線是射線；⑤三角形相鄰兩邊組成的角叫三角形的內(nèi)角；⑥三角形的高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內(nèi)就在三角形外．其中正確命題的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以判斷①，根據(jù)三角形重心的定義可判斷②，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷③，根據(jù)三角形角平分線的定義可以判斷④，根據(jù)三角形的內(nèi)角的定義可以判斷⑤，根據(jù)三角形的高的定義以及直角三角形的高可以判斷⑥．【詳解】①等邊三角形是等腰三角形，①正確；②三角形的重心是三角形三條中線的交點，②正確；③三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，故③不正確；④三角形的角平分線是線段，故④不正確；⑤三角形相鄰兩邊組成的角且位于三角形內(nèi)部的角，叫三角形的內(nèi)角，⑤錯誤；⑥三角形的高所在的直線交于一點，這一點可以在三角形內(nèi)或在三角形外或者在三角形的邊上．正確的有①②，共計2個，故選B【點睛】本題考查了命題的判斷，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的重心，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線，三角形的內(nèi)角的定義，三角形垂心的位置，掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型8.三角形的穩(wěn)定性1．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年級期末）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．①②③【答案】C【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩(wěn)定性．【詳解】解：因為三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性，圖②③便具有穩(wěn)定性，故選C．【點睛】此題考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，注意根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行判斷．2．（2021·廣西·南寧十四中七年級期末）下列圖形中沒有運用三角形穩(wěn)定性的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：對于A、C、D選項，都含有三角形，故利用了三角形的穩(wěn)定性；而B選項中，用到了四邊形的不穩(wěn)定性.故選B．【點睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，需理解穩(wěn)定性在實際生活中的應(yīng)用；明確能體現(xiàn)出三角形的穩(wěn)定性，則說明物體中必然存在三角形是解題關(guān)鍵．3．（2022·福建龍巖·八年級期末）下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行解答即可．【詳解】解：A、不具有穩(wěn)定性，故此選項符合題意；B、具有穩(wěn)定性，故此選項不符合題意；C、具有穩(wěn)定性，故此選項不合題意；D、具有穩(wěn)定性，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，關(guān)鍵是掌握當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．4．（2022·廣東·佛山市七年級期中）如圖所示的自行車架設(shè)計成三角形，這樣做的依據(jù)是三角形具有___．【答案】穩(wěn)定性【分析】根據(jù)是三角形的穩(wěn)定性，即可求解．【詳解】解：自行車的主框架采用了三角形結(jié)構(gòu)，這樣設(shè)計的依據(jù)是三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：穩(wěn)定性．【點睛】本題考查的是三角形的性質(zhì)，掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校七年級期中）如圖，工具房有一個方形框架，小華發(fā)現(xiàn)它很容易變形，以下加固方案最好的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可解答．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得D是最好的加固方案．故選：D．【點睛】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．6．（2022?禪城區(qū)一模）如圖，人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做蘊含的道理是（）A．兩點之間線段最短 B．三角形具有穩(wěn)定性 C．經(jīng)過兩點有且只有一條直線 D．垂線段最短【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做的道理是三角形具有穩(wěn)定性，故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應(yīng)用在實際生活中．題型9.高線、中線、角平分線的作法1．（2022·福建·連江縣鳳城中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC是鈍角，完成下列畫圖．（不必尺規(guī)作圖）（1）∠BAC的平分線AD；（2）AC邊上的中線BE；（3）AC邊上的高BF．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）按角平分線的定義畫圖即可；（2）按中線的定義畫圖即可；（3）按照高的定義畫圖即可．【詳解】解：（1）如圖所示：AD即為所求；（2）如圖所示：BE即為所求；（3）如圖所示：BF即為所求．【點睛】本題考查了三角形的中線、角平分線和高的畫法，解題關(guān)鍵是熟練掌握它們的畫法，準(zhǔn)確畫圖．2.（2021·湖北孝感·八年級期中）如圖，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）畫出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義畫圖；（2）利用面積法進行計算，即可得到答案；【詳解】解：（1）如圖：

（2）∵S△ABC=AD?BC=CE?AB，∴CE=；【點睛】本題考查了作圖基本作圖，熟練掌握基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了三角形的面積．3．（2021·江蘇·徐州市七年級階段練習(xí)）如圖，每個小正方形的邊長為1個單位，每個小方格的頂點叫格點．(1)畫出向右平移6個單位后得到的(2)圖中與的關(guān)系是：________．(3)畫出的中線AE和的角平分線BF．(4)的面積為________．【答案】(1)見解析(2)平行且相等(3)見解析(4)4【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C向右平移6個單位后的對應(yīng)點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可；（3）找出BC的中點E，連接AE即可，過點B豎直方向的格線正好平分∠ABC，此格線與AC的交點為F，連接BF即可；（4）利用△ABC所在的矩形的面積減去四周三個三角形的面積，列式計算即可得解．(1)如下圖所示：即為所求作的三角形；(2)根據(jù)平移的性質(zhì)得出，AC與A1C1的關(guān)系是：平行且相等；故答案為：平行且相等；(3)如下圖所示：AE、BF即為所求作的線段；(4)．故答案為：4．【點睛】此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，（1）中得出各對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵；（2）掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵；（3）理解中線和角平分線的定義是解題關(guān)鍵；（3）掌握割補法是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·濱?？h七年級階段練習(xí)）如圖，△ABC的頂點都在邊長為1的正方形方格紙的格點上，將△ABC向上平移4格．(1)請在圖中畫出平移后的三角形A′B′C′；(2)在圖中畫出三角形△ABC的高CD、中線BE；(3)△ABC的面積是．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)8【分析】（1）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的△A′B′C′即可；（2）找出線段AC的中點E，然后連接BE，再過點C向AB所在的直線作垂線，垂足為D即可；（3）直接根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解析】(1)如圖所示，三角形A′B′C′就是所要求做的圖形；(2)如圖所示，三角形△ABC的高CD、中線BE；(3)S△ABC＝．故△ABC的面積是8．【點睛】本題考查作圖－平移變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校七年級期中）如圖，在的網(wǎng)格中，每一小格均為正方形且邊長是1，已知．(1)畫出中AB邊上的高CD，垂足為D；(2)畫出中BC邊上的中線AK；(3)直接寫出_________．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)9【分析】（1）找到AB所在水平網(wǎng)格線與點C所以豎直網(wǎng)格線的交點即為D點；（2）根據(jù)BC長為6個小方格對角線，從點B或點C向數(shù)3格對角線長的位置即為BC的中點K，連接AK；（3）根據(jù)BK=CK可得，根據(jù)AB、CD的長可求出，即可得的值．(1)在網(wǎng)格上找AB所在水平網(wǎng)格線與點C所以豎直網(wǎng)格線的交點即為D點，連接CD、BD，因為水平網(wǎng)格線與豎直網(wǎng)格線互相垂直，所以AB⊥CD，即CD是AB邊上的高．(2)因為BC長為6個小方格的對角線，所以從點B沿BC數(shù)3個小格的對角線，此點即為BC的中點K，連接AK，則AK是BC邊上的中線．(3)∵BK=CK∴∵AB=6，CK=6∴∴【點睛】本題考查作圖，熟練掌握三角形相關(guān)線段的作法是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇淮安·七年級期末）如圖，在方格紙中，每個小正方形的邊長都為1個單位長度．在方格紙內(nèi)將△ABC經(jīng)過平移后得到，、、分別是A、B、C的對應(yīng)點，圖中標(biāo)出了點B的對應(yīng)點．點A、B、C、均在方格紙的網(wǎng)格點上．(1)補全；(2)畫出AC邊上的中線BD；(3)△ABD的面積為______．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)4．【分析】（1）找出點B的平移方式，再將A，C也按照該平移方式平移得到，，連接，，即可；（2）找出AC邊上的中點D，連接BD即可；（3）作的延長線交于點E，利用D是AC邊上的中點，得到．(1)解：由圖可知：B向左平移5個單位，再向下平移2個單位，得到，∴點A和點C也按照這個平移方式平移，∴如圖所示：(2)解：找出AC邊上的中點D，連接BD即可，AC邊上的中線BD如圖：(3)解：作的延長線交于點E，如圖：由圖可知：，，∵D是AC邊上的中點，∴．故答案為：4【點睛】本題考查平移，中線，三角形面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點的平移求出圖形的平移，掌握中線性質(zhì)，理解．題型10.內(nèi)角和與外角定理的相關(guān)計算與證明1．（2022?灞橋區(qū)校級二模）三角形的一個外角是100°，則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角（鈍角）是．【分析】由三角形的外角性質(zhì)可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分線的定義得∠1=12∠BAC，∠3=12∠ABC，從而可求得∠1+∠【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1=12∠BAC，∠3=1∴∠1+∠3=12（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案為：【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．2．（2021·河南焦作市·八年級期末）如圖，為的一個外角，點E為邊上一點，延長到點F，連接，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形外角性質(zhì)結(jié)合圖形，逐項判斷即可．【詳解】∵，∴，故A選項正確，不符合題意；由三角形外角性質(zhì)即可直接得出，故B選項正確，不符合題意；沒有條件可以證明出和的關(guān)系，故C選項錯誤，符合題意；∵，，∴，∴，故D選項正確，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查三角形外角性質(zhì)，掌握“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”是解答本題的關(guān)鍵．3.（2022·河南平頂山·八年級期末）已知，在中，，點在線段的延長線上，過點作，垂足為，若，則的度數(shù)為（

）A．76° B．65° C．56° D．54°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和是，即可求解．【詳解】，，在中，，，在中，，，故選：D．【點睛】本題考查了垂直的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021?黃石港區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC于點D，E在CA的延長線上，∠BAE＝120°，∠C＝40°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，由∠BAE＝120°，∠C＝40°，得∠ABC＝∠BAE﹣∠C＝80°．根據(jù)角平分線的定義，由BD平分∠ABC，得∠CBD=12∠ABC=40°．，從而推斷出∠BDE＝∠C+∠CBD【解答】解：∵∠BAE＝120°，∠C＝40°，∴∠ABC＝∠BAE﹣∠C＝120°﹣40°＝80°．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC=40°．∴∠BDE＝∠C+∠CBD＝40°+40【點評】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABE的角平分線，過點B作BC⊥AB交AD的延長線于點C，點F在AB上，連接EF交AD于點G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求證：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)垂直等于得到∠ABC＝90°，則∠C+∠BAC＝90°，再證明2∠C+∠EAB＝180°