4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式教學(xué)設(shè)計-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性

4.3.2等比數(shù)列的前n項和（第1課時）——王翠一、教學(xué)內(nèi)容1．等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)；2．等比數(shù)列的前n項和公式的簡單應(yīng)用。二、教學(xué)目標(biāo)1．理解錯位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式；2．會應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式解決簡單問題。三、教學(xué)重難點重點：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程及其簡單應(yīng)用；難點：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)（錯位相減法）的理解。四、教學(xué)過程1.創(chuàng)設(shè)情境，引入問題引導(dǎo)語：在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的通項公式，以及與等比數(shù)列有關(guān)的以下基本性質(zhì)，這節(jié)課我們來探討一下等比數(shù)列的前n項和公式。問題情境:教師展示一張A4紙，請同學(xué)們說出A3、A5、A6、A7、紙的大小。假設(shè)A7紙的面積記為單位1，那么其他紙張面積可以記為多少？這些紙張面積之和又是多少？【設(shè)計意圖】以學(xué)生身邊的紙張大小入手，提出等比數(shù)列求和問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、探究欲望。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。師生活動：學(xué)生可以快速算出上述紙張面積之和，教師引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的求等比數(shù)列前5項的和，即求1+2+4+8+16，并且整理為1+2+22+23+24。教師再提出以下問題。2.探究新知，概念生成問題1：如果需要計算1+2+22+23+……+29呢？【設(shè)計意圖】這是求等比數(shù)列前100項和的問題，若簡單的逐項計算，費時費力，這時教師引導(dǎo)學(xué)生進一步探求解題思路。追問1：這個和式右邊任意相鄰兩項有何特點？師生活動：引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生觀察，尋求等式規(guī)律，每一項都乘以2，就變成了它的后一項.根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，上式可寫成． ①追問2：若在此等式兩邊同以2，得到②式，比較①,②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過比較后發(fā)現(xiàn)：①,②兩式有若干相同項，可兩式相減求.我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比2乘①的兩邊，可得 ②追問3：兩邊同乘的2是等比數(shù)列的什么？乘2的作用是什么？師生活動：兩邊同乘的2是等比數(shù)列的公比，乘2后所得新等式與原式有相同項，兩式相減可消去相同項，突破難點。教師總結(jié)：這種推導(dǎo)方法叫做錯位相減法，通過錯位相減，將復(fù)雜的求和問題轉(zhuǎn)化為簡單的求和，教師引導(dǎo)學(xué)生從中體會：所有的和可以用首項、公比和項數(shù)來表示；求多項之和就是要想辦法消掉一些項，使得多項之和變?yōu)閹醉椫汀栴}2：如何推導(dǎo)一般等比數(shù)列的前n項和？【設(shè)計意圖】使學(xué)生通過類比上面特殊的等比數(shù)列求和推導(dǎo)一般等比數(shù)列的前n項和。從特殊到一般,從模仿到創(chuàng)新，有利于學(xué)生的知識遷移和能力提高。師生活動：學(xué)生自己獨立推導(dǎo)一般等比數(shù)列的前n項和公式，教師巡視，一名學(xué)生板演。特別注意分類討論,q=1,前n項和公式為首項的n倍，公比q情況不同要分類討論。板書：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則S根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，上式可寫成Sn=我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比q乘①的兩邊，可得qSn①②兩式的右邊有很多相同的項，用①的兩邊分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項，可得Sn?q(1?q)S因此，當(dāng)q≠1時，我們就得到了等比數(shù)列的前n項和公式Sn=a1當(dāng)因為an=a1qSn=a13.例題講解例已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a1=12，q=12解：因為a1=12S[設(shè)計意圖]剖析公式中的基本量及結(jié)構(gòu)特征，識記公式。4.變式訓(xùn)練已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a1=8，q=1解：把a1=8，q=12，Sn8×[1?(?整理，得(12)n[設(shè)計意圖]已知前n項和會合理選擇公式逆向求解數(shù)列基本量，進一步理解公式特點，深化對公式的理解和應(yīng)用。5.歸納總結(jié)，拓展延伸問題3：請總結(jié)一下本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法。師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生自行總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生總結(jié)的情況及時補充完善。教師重點概括等比數(shù)列前n項和公式的