二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件

2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)名師導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)鞏固0001CONTANTS目錄能力提升02數(shù)學(xué)◆

名師導(dǎo)學(xué)◆返回目錄知識(shí)點(diǎn)

1.二次函數(shù)圖象的作法:

(1)列表;(2)描點(diǎn);(3)連線,用光滑的曲線連接;二次函數(shù)的圖象是一條拋物線形狀的曲線,所以稱為“拋物線”.它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn).數(shù)學(xué)返回目錄2.二次函數(shù)y=x2的圖象與性質(zhì):(1)這條拋物線開口向

.

(2)對(duì)稱軸是

軸(也稱直線x=0),頂點(diǎn)是

,

是最低點(diǎn).

(3)增減性:當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而

;當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而

.

(4)最值:當(dāng)x=

時(shí),y有最小值

.

上y原點(diǎn)O(0,0)

頂點(diǎn)減小增大00數(shù)學(xué)返回目錄3.二次函數(shù)y=-x2的圖象與性質(zhì):(1)這條拋物線開口向

.

(2)對(duì)稱軸是

,頂點(diǎn)為原點(diǎn)

,頂點(diǎn)是最

高

點(diǎn).

(3)增減性:當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而

;當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而

.

(4)最值:當(dāng)x=

時(shí),y有最大值

.

下y軸(x=0)O(0,0)

增大減小00數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題【例】?jī)蓷l拋物線y=x2與y=-x2在同一坐標(biāo)系內(nèi),下列說法中錯(cuò)誤的是

(

)A.對(duì)稱軸相同B.開口方向相反C.都有最小值 D.頂點(diǎn)相同思路點(diǎn)撥:熟悉y=x2與y=-x2的圖象性質(zhì),只有頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸是相同的,即可得出答案.數(shù)學(xué)返回目錄解析:兩條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)都是(0,0),對(duì)稱軸都是y軸,y=x2的圖象開口向上,而y=-x2的圖象開口向下,但y=x2的最小值是0,而y=-x2的最大值是0,故選C.答案:C數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)1.點(diǎn)A(1,y1),B(2,y2),C(3,y3)都在二次函數(shù)y=-x2的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為

(

)A.y1<y2<y3

B.y2<y1<y3C.y3<y2<y1 D.y3<y1<y2C數(shù)學(xué)返回目錄

C數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:(1)掌握一個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)鍵從以下幾點(diǎn)掌握,開口方向、開口大小、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值、函數(shù)的增減性、圖象與x,y軸的交點(diǎn).(2)理解:y=x2的圖象與y=-x2的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.數(shù)學(xué)◆

基礎(chǔ)鞏固◆返回目錄一、選擇題1.拋物線y=-x2與y軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A.0

B.1

C.2

D.3B數(shù)學(xué)返回目錄2.拋物線y=x2與y=-x2的圖象的關(guān)系是(

)A.開口方向不同、頂點(diǎn)相同、對(duì)稱軸相同B.開口方向不同、頂點(diǎn)不同、對(duì)稱軸相同C.開口方向相同、頂點(diǎn)相同、對(duì)稱軸相同D.開口方向相同、頂點(diǎn)不同、對(duì)稱軸不同A數(shù)學(xué)返回目錄

D數(shù)學(xué)返回目錄4.關(guān)于函數(shù)y=x2,下列說法不正確的是

(

)A.當(dāng)x<0時(shí),y隨x增大而減小B.當(dāng)x≠0時(shí),函數(shù)值總是正的

C.當(dāng)x>0時(shí),y隨x增大而增大D.函數(shù)圖象有最高點(diǎn)D數(shù)學(xué)返回目錄二、填空題1.若二次函數(shù)y=ax2-bx+5(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,2),則2b-4a+2020的值是

.

2.已知(-1,y1),(-2,y2),(-4,y3)是拋物線y=x2圖象上的點(diǎn),則y1,

y2,

y3的大小關(guān)系:

.

2

023

y1<y2<y3

數(shù)學(xué)返回目錄3.如圖所示,點(diǎn)A是拋物線y=-x2上一點(diǎn),AB⊥x軸于點(diǎn)B,若B點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),則A點(diǎn)坐標(biāo)為

,S△AOB=

.

(-2,-4)

4數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)◆

能力提升◆返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C,求△ABC的面積.

數(shù)學(xué)返回目錄2.如圖,東北某條河上有一座拱橋.橋拱是拋物線形,其函數(shù)關(guān)系為y=-x2,到了雨季,水位由原來的CD位置上升到AB位置,已知CD=10m,AB=9.8m,求水位上升的高度h.

數(shù)學(xué)返回目錄即x1=-4.9,x2=-5.把x1=-4.9,x2=-5分別代入y=-x2,得y1=-(-4.9)2=-24.01;y2=-(-5)2=-25.∴h=|y2|-|y1|=25-24.01=0.99

m.∴水位上升的高度h為0.99

m.數(shù)學(xué)返回目錄3.已知點(diǎn)A(1,a)在拋物線y=x2上,(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△OAP是等腰三角形?若存在,寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.解:(1)把A(1,a)代入y=x2,得a=1,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1);數(shù)學(xué)返回目錄(2)假設(shè)存在點(diǎn)P,根據(jù)△OAP是等腰三角形,

如圖①,當(dāng)OA=AP時(shí),OP=1+1=2,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,0);如圖②,當(dāng)OP=AP時(shí),AP=OP=1,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,0);數(shù)學(xué)返回目錄

2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)名師導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)鞏固0001CONTANTS目錄能力提升02數(shù)學(xué)◆

名師導(dǎo)學(xué)◆返回目錄知識(shí)點(diǎn)一

二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=ax2a>0a<0圖象開口方向

向上向下數(shù)學(xué)返回目錄頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)

對(duì)稱軸

y軸增減性當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而

;

當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而

.

當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而

;

當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而

.

最值當(dāng)x=0時(shí),y最小值=0當(dāng)

時(shí),y最大值=

y軸(0,0)

增大減小減小增大x=00數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)1.在同一平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=mx2與一次函數(shù)y=mx+m的圖象大致可能是

(

)A數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:a的符號(hào)決定拋物線的開口方向,當(dāng)a>0時(shí),拋物線的開口向上;當(dāng)a<0時(shí),拋物線的開口向下.數(shù)學(xué)返回目錄知識(shí)點(diǎn)二

二次函數(shù)y=ax2的圖象開口方向與大小1.開口方向由a的符號(hào)確定,簡(jiǎn)記為“上

下

”.

2.開口大小由|a|確定,|a|越大,拋物線的開口越

;|a|相等,拋物線的開口一樣.反之也成立.即開口大小與|a|成反比關(guān)系.

正負(fù)小數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題【例2】

在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y1=a1x2,y2=a2x2,y3=a3x2的圖象如圖所示,則a1,

a2,

a3的大小關(guān)系為

(用“>”連接).

思路點(diǎn)撥:根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a的絕對(duì)值越大則圖象開口越小,即可得出a1,

a2,

a3的大小關(guān)系.數(shù)學(xué)返回目錄解析:∵圖象開口都向上,a均大于0,又∵二次函數(shù)y1=a1x2的開口最大,二次函數(shù)y3=a3x2的開口最小,∴a3>a2>a1.答案:a3>a2>a1數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)2.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象與a的正負(fù)有關(guān)的是

(

)A.頂點(diǎn)坐標(biāo)B.開口方向C.開口大小 D.對(duì)稱軸B數(shù)學(xué)返回目錄

③①②④

數(shù)學(xué)返回目錄知識(shí)點(diǎn)三

二次函數(shù)y=ax2+c的圖象與性質(zhì)

關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+c的性質(zhì),主要從拋物線的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最值來研究.下面結(jié)合圖象(只討論c>0的情況,c<0可類比),將其性質(zhì)列表歸納如下:數(shù)學(xué)返回目錄函數(shù)大致圖象開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性最值y=ax2+c(a>0,c>0)

當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而

;當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而

.

當(dāng)x=0時(shí),y最小值=

向上(0,c)y軸增大減小c數(shù)學(xué)返回目錄y=ax2+c(a<0,c>0)

當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而

;當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而

.

當(dāng)x=0時(shí),y最大值=

向下(0,c)y軸減小增大c數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=-x2+1的大致圖象是

(

)

思路點(diǎn)撥:根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a判斷開口方向,同時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)即可得出答案.數(shù)學(xué)返回目錄解析:在y=-x2+1中,∵a=-1<0,∴拋物線的開口向下,∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),∴對(duì)稱軸為y軸,故二次函數(shù)y=-x2+1的大致圖象是A選項(xiàng),故選A.答案:A數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)4.在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx-1與二次函數(shù)y=kx2+3的大致圖象可以是

(

)C數(shù)學(xué)返回目錄5.拋物線y=3x2-4的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸分別是

(

)A.向下、(0,4)、x軸

B.向上、(0,-4)、y軸C.向下、(0,4)、y軸 D.向上、(0,-4)、x軸B數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:(1)熟記二次函數(shù)y=ax2的圖象性質(zhì)和y=ax2+c的圖象性質(zhì).(2)常利用其增減性來求函數(shù)值的取值范圍和比較函數(shù)值的大小,也可以利用數(shù)形結(jié)合解題.數(shù)學(xué)返回目錄知識(shí)點(diǎn)四

拋物線y=ax2的圖象通過“上加下減|c|個(gè)單位”平移得到y(tǒng)=ax2+c的圖象數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題【例4】將拋物線y=x2向上平移3個(gè)單位后所得的解析式為

(

)A.y=x2+3

B.y=x2-3C.y=(x+3)2 D.y=(x-3)2思路點(diǎn)撥:利用平移口訣“上加下減”即可得出答案.數(shù)學(xué)返回目錄解析:∵拋物線y=x2向上平移3個(gè)單位,∴平移后的解析式為:y=x2+3.故選A.答案:A數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)6.將拋物線的圖象向上平移2個(gè)單位后得到y(tǒng)=x2的圖象,那么原圖象的表達(dá)式是

(

)A.y=(x-2)2

B.y=(x+2)2C.y=x2+2 D.y=x2-2D數(shù)學(xué)返回目錄7.將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后的二次函數(shù)的表達(dá)式為

(

)A.y=x2-1 B.y=x2+1C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2A數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:二次函數(shù)圖象上、下平移,其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)發(fā)生變化,其變化規(guī)律為“上加下減”.數(shù)學(xué)◆

基礎(chǔ)鞏固◆返回目錄一、選擇題1.對(duì)于二次函數(shù)y=-5x2,下列說法不正確的是

(

)A.開口向下

B.對(duì)稱軸為y軸C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0) D.y隨x增大而減小D數(shù)學(xué)返回目錄

A數(shù)學(xué)返回目錄3.A(-2,y1),B(1,y2)是拋物線y=x2+2上的兩點(diǎn),則y1,y2的大小關(guān)系為(

)A.y1>y2 B.y1=y2C.y2>y1 D.無法判斷A數(shù)學(xué)返回目錄4.已知二次函數(shù)y=(a+2)x2有最大值,則有

(

)A.a<0 B.a>0C.a<-2 D.a>-2C數(shù)學(xué)返回目錄二、填空題1.二次函數(shù)y=4x2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2.拋物線y=-5x2-4的圖象開口向

,對(duì)稱軸是

,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

,當(dāng)x=

時(shí),y有最

值為

.

3.將二次函數(shù)y=x2的圖象向上平移3個(gè)單位,得到的圖象的函數(shù)表達(dá)式為

.

(0,3)

下y軸(0,-4)

0

大-4y=x2+3

數(shù)學(xué)返回目錄三、解答題將拋物線y=-2x2沿y軸方向平移一定的單位長(zhǎng)度恰好經(jīng)過點(diǎn)A(3,-2),求平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式.解:設(shè)所求的函數(shù)解析式為y=-2x2+c,∵點(diǎn)A(3,-2)在拋物線上,∴-2=-2×9+c,解得c=16,∴平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x2+16.數(shù)學(xué)◆

能力提升◆返回目錄1.已知二次函數(shù)y=ax2+c的圖象過點(diǎn)(1,-1)和點(diǎn)(2,5).(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;(2)當(dāng)x取何值時(shí),函數(shù)y隨x的增大而增大?(3)求這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將點(diǎn)P1(a,b-a)定義為點(diǎn)P(a,b)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.已知:點(diǎn)A(x,y)在函數(shù)y=x2的圖象上(如圖所示),點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)A1.(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D的基礎(chǔ)上畫出函數(shù)y=x2-2的圖象,簡(jiǎn)要說明畫圖方法;(2)如果點(diǎn)A1在函數(shù)y=x2-2的圖象上,求點(diǎn)A1的坐標(biāo);數(shù)學(xué)返回目錄(3)將點(diǎn)P2(a,b-na)稱為點(diǎn)P(a,b)的“待定關(guān)聯(lián)點(diǎn)”(其中,n≠0).如果點(diǎn)A(x,y)的“待定關(guān)聯(lián)點(diǎn)”A2在函數(shù)y=x2-n的圖象上,試用含n的代數(shù)式表示點(diǎn)A2的坐標(biāo).數(shù)學(xué)返回目錄解:

(1)將圖中的拋物線y=x2向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,可得拋物線y=x2-2,如圖.數(shù)學(xué)返回目錄(2)由題意,得點(diǎn)A(x,y)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為A1(x,y-x),由點(diǎn)A(x,y)在拋物線y=x2上,可得A(x,x2),∴A1(x,x2-x),又∵A1(x,y-x)在拋物線y=x2-2上,∴x2-x=x2-2,解得x=2.將x=2代入A1(x,x2-x),得A1(2,2).數(shù)學(xué)返回目錄(3)點(diǎn)A(x,y)的“待定關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為A2(x,x2-nx),∵A2(x,x2-nx)在拋物線y=x2-n的圖象上,∴x2-nx=x2-n,∴n-nx=0,n(1-x)=0.又∵n≠0,∴x=1,當(dāng)x=1時(shí),x2-nx=1-n,故可得A2(1,1-n).2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(3)北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)名師導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)鞏固0001CONTANTS目錄能力提升02數(shù)學(xué)◆

名師導(dǎo)學(xué)◆返回目錄知識(shí)點(diǎn)一

二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)y=a(x-h)2

a>0a<0開口方向開口向

開口向

頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,0)

上下(h,0)數(shù)學(xué)返回目錄對(duì)稱軸直線x=h直線

增減性當(dāng)x>h時(shí),y隨x的增大而

;

當(dāng)x<h時(shí),y隨x的增大而

.

當(dāng)x>h時(shí),y隨x的增大而

;

當(dāng)x<h時(shí),y隨x的增大而

.

最值當(dāng)x=h時(shí),y的最小值是0當(dāng)x=

時(shí),y的最大值是

增大減小

x=h減小增大h0數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題【例1】在下列二次函數(shù)中,其圖象的對(duì)稱軸是直線x=2的是

(

)A.y=2(x-2)2

B.y=2(x+2)2C.y=-2x2-4 D.y=2x2-4思路點(diǎn)撥:根據(jù)形如y=a(x-h)2的函數(shù)圖象,對(duì)稱軸為直線x=h的特性,即可求出答案.數(shù)學(xué)返回目錄解析:y=2(x-2)2的對(duì)稱軸為x=2,A項(xiàng)正確;y=2(x+2)2的對(duì)稱軸為x=-2,B項(xiàng)錯(cuò)誤;y=-2x2-4的對(duì)稱軸為x=0,C項(xiàng)錯(cuò)誤;y=2x2-4對(duì)稱軸為x=0,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.答案:A數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)1.對(duì)于二次函數(shù)y=-(x-1)2的圖象,下列說法不正確的是

(

)A.開口向下B.對(duì)稱軸是直線x=1C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)D.當(dāng)x<1時(shí),y隨x的增大而減小D數(shù)學(xué)返回目錄2.對(duì)于拋物線y=2(x-1)2,下列說法正確的有

(

)①開口向上;②頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1);③對(duì)稱軸為直線x=1;④與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)C數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:熟練掌握二次函數(shù)y=a(x-h)2的各個(gè)性質(zhì),在對(duì)稱軸x=h兩側(cè),二次函數(shù)的增減性相反,常利用其增減性來求函數(shù)值的取值范圍或比較函數(shù)值的大小,或利用數(shù)形結(jié)合解題.數(shù)學(xué)返回目錄知識(shí)點(diǎn)二

二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k

a>0a<0開口方向開口向

開口向

頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)

上下(h,k)數(shù)學(xué)返回目錄對(duì)稱軸直線x=h直線

增減性當(dāng)x>h時(shí),y隨x的增大而

;

當(dāng)x<h時(shí),y隨x的增大而

.

當(dāng)x>h時(shí),y隨x的增大而

;

當(dāng)x<h時(shí),y隨x的增大而

.

最值當(dāng)x=h時(shí),y的最小值是k當(dāng)x=

時(shí),y的最大值是

x=h增大減小減小增大hk數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)3.拋物線y=2(x-1)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(

)A.(1,5)

B.(2,1)C.(2,5) D.(-1,5)A數(shù)學(xué)返回目錄4.對(duì)于二次函數(shù)y=4(x+6)2-5的圖象,下列說法正確的是

(

)A.對(duì)稱軸是直線x=6B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,5)C.圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-5)D.當(dāng)x<-6時(shí),y隨x的增大而減小D數(shù)學(xué)返回目錄5.如圖,二次函數(shù)y=a(x+1)2+k的圖象與x軸交于A(-3,0),B兩點(diǎn),下列說法錯(cuò)誤的是

(

)

A.a<0B.圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1C.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)D.當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大D數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,可以從中直接找到頂點(diǎn),最值,所以當(dāng)把一個(gè)二次函數(shù)變成頂點(diǎn)式時(shí),對(duì)解題比較方便.數(shù)學(xué)返回目錄知識(shí)點(diǎn)三

二次函數(shù)圖象的平移把拋物線y=ax2的圖象

得到y(tǒng)=a(x-h)2+k函數(shù)圖象,當(dāng)h>0時(shí),向右平移,當(dāng)h<0時(shí),向左平移;當(dāng)k>0時(shí),向上平移,當(dāng)k<0時(shí),向下平移;八個(gè)字概括為“左加右減,上加下減。”數(shù)學(xué)返回目錄【例3】若將拋物線y=2x2+1先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,則所得拋物線的表達(dá)式為

(

)A.y=2(x-1)2-2

B.y=2(x+1)2-2C.y=2(x-1)2+3 D.y=2(x+1)2+3思路點(diǎn)撥:根據(jù)口訣“上加下減,左加右減”即可得出答案,但要注意,上下和左右平移時(shí)所加減的地方.??

典型例題數(shù)學(xué)返回目錄解析:拋物線y=2x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)(0,1)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),所以新拋物線的解析式為y=2(x-1)2-2.故選A.答案:A數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)6.要得到y(tǒng)=-4(x+3)2-5的圖象,需將拋物線y=-4x2

(

)A.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度D數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:要準(zhǔn)確求一個(gè)二次函數(shù)平移后的解析式,首先要把這個(gè)二次函數(shù)變成頂點(diǎn)式類型,再運(yùn)用口訣即可求出平移后的解析式.數(shù)學(xué)◆

基礎(chǔ)鞏固◆返回目錄一、選擇題1.拋物線y=(x-1)2+2的對(duì)稱軸是(

)A.直線x=2

B.直線x=-2C.直線x=1 D.直線x=-1C數(shù)學(xué)返回目錄

D數(shù)學(xué)返回目錄3.關(guān)于二次函數(shù)y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列說法正確的是(

)A.有最大值4 B.有最小值4C.有最大值6 D.有最小值6D數(shù)學(xué)返回目錄4.已知點(diǎn)A(-3,a),B(-2,b),C(1,c)均在拋物線y=3(x+2)2+k上,則a,b,c的大小關(guān)系是(

)A.c<a<b

B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<aC數(shù)學(xué)返回目錄二、填空題1.填寫下表:

開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=4x2

y=-2x2+1y=4(x+2)2y=2(x-1)2+3y=-4(x+1)2-2向上y軸(0,0)向下y軸(0,1)向上直線x=-2(-2,0)向上直線x=1(1,3)向下直線x=-1(-1,-2)數(shù)學(xué)返回目錄2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,3),且開口向下,若函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,那么x的取值范圍為

.

解析:頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,3),對(duì)稱軸是直線x=2,而開口向下,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨自變量x的增大而減小,所以x的取值范圍為

x>2.x>2數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)◆

能力提升◆返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄2.如圖,已知拋物線y=x2-x-6,與x軸交于點(diǎn)A和B,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,與y軸的交點(diǎn)為C.(1)用配方法求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄3.如圖,已知點(diǎn)O(0,0),A(-5,0),B(2,1),拋物線l:y=-(x-h)2+1(h為常數(shù))與y軸的交點(diǎn)為C.(1)l經(jīng)過點(diǎn)B,求它的解析式,并寫出此時(shí)l的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yc,求yc的最大值,此時(shí)l上有兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比較y1與y2的大小;(3)當(dāng)線段OA被l分為兩部分,且這兩部分的比是1∶4時(shí),求h的值.數(shù)學(xué)返回目錄解:(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2-h)2+1.解得h=2.則該函數(shù)解析式為y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3).故拋物線l的對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1).數(shù)學(xué)返回目錄(2)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0,則yc=-h2+1.當(dāng)h=0時(shí),yc有最大值1,此時(shí),拋物線l為:y=-x2+1,對(duì)稱軸為y軸,開口方向向下,所以,當(dāng)x≥0時(shí),y隨x的增大而減小,所以,x1>x2≥0,y1<y2.數(shù)學(xué)返回目錄(3)∵線段OA被l分為兩部分,且這兩部分的比是1∶4,且O(0,0),A(-5,0),∴線段OA被l分為兩部分的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0),(-4,0).把x=-1,y=0代入y=-(x-h)2+1,得0=-(-1-h)2+1,解得h1=0,h2=-2.但是當(dāng)h=-2時(shí),線段OA被拋物線l分為三部分,不合題意,舍去.同樣,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=-5或h=-3(舍去).綜上所述,h的值是0或-5.2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(4)北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)名師導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)鞏固0001CONTANTS目錄能力提升02數(shù)學(xué)◆

名師導(dǎo)學(xué)◆返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄二次函數(shù)y=ax2+bx+c

a>0a<0開口方向開口向

開口向

頂點(diǎn)坐標(biāo)

上下

數(shù)學(xué)返回目錄對(duì)稱軸直線x=

直線x=

增減性當(dāng)x>-時(shí),y隨x的增大而

;

當(dāng)x<-時(shí),y隨x的增大而

.

當(dāng)x>-時(shí),y隨x的增大而

;

當(dāng)x<-時(shí),y隨x的增大而

.

增大減小減小增大數(shù)學(xué)返回目錄最值當(dāng)x=-時(shí),y的最小值是

當(dāng)x=-時(shí),y的最大值是

數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題【例1】二次函數(shù)y=-2x2+8x-8的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(

)A.(2,0)

B.(-2,-32)C.(4,-8) D.(-4,-72)思路點(diǎn)撥:解析式是一般式,可以直接運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)1.拋物線y=x2+4x-8的對(duì)稱軸為直線

(

)A.x=-2

B.x=2C.x=4 D.x=-4A數(shù)學(xué)返回目錄2.將二次函數(shù)y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式為

(

)A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2+9 D.y=(x-4)2+1A解析:y=x2-4x+5=(x2-4x+4)+1=(x-2)2+1.故選A.數(shù)學(xué)返回目錄3.將拋物線y=x2-6x+5向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的拋物線表達(dá)式是

(

)A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2D解析:y=x2-6x+5=

(x2-6x+9)-4=(x-3)2-4,向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,∴y=(x-3-1)2-4+2=(x-4)2-2.故選D.數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:總結(jié):幾種類型二次函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)比函數(shù)頂點(diǎn)對(duì)稱軸最大(小)值y=ax2(0,0)y軸當(dāng)x=0時(shí),y=0y=ax2+c(0,c)y軸當(dāng)x=0時(shí),y=cy=a(x-h)2(h,0)直線x=h當(dāng)x=h時(shí),y=0y=a(x-h)2+k(h,k)直線x=h當(dāng)x=h時(shí),y=ky=ax2+bx+c直線x=-當(dāng)x=-時(shí),y=數(shù)學(xué)返回目錄知識(shí)點(diǎn)二

關(guān)于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),a,b,c和某些特殊式子的符號(hào)的確定(一)a,

b,

c的符號(hào)的確定:1.

a由拋物線的開口方向確定,當(dāng)開口向上時(shí),則a>0;當(dāng)開口向下時(shí),則a<0;2.

b由對(duì)稱軸的位置確定:當(dāng)對(duì)稱軸為y軸時(shí),b=0。當(dāng)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)時(shí),則ab>0;當(dāng)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)時(shí),則ab<0;概括為

.

ab左同右異數(shù)學(xué)返回目錄3.

c由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置確定:當(dāng)拋物線與y軸交于正半軸時(shí),則c>0;當(dāng)拋物線與y軸交于原點(diǎn)時(shí),則c

0時(shí);當(dāng)拋物線與y軸交于負(fù)半軸時(shí),則c

0.

=<數(shù)學(xué)返回目錄(二)關(guān)于a,

b,

c特殊代數(shù)式的符號(hào)的確定:1.

a+b+c的值是二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=1時(shí)的函數(shù)值,即為拋物線上點(diǎn)(1,a+b+c)的縱坐標(biāo).2.

a-b+c的值是二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=

時(shí)的函數(shù)值,即為拋物線上點(diǎn)

的縱坐標(biāo).

3.

4a+2b+c的值是二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=

時(shí)的函數(shù)值,即為拋物線上點(diǎn)

的縱坐標(biāo).

-1(-1,a-b+c)

2(2,4a+2b+c)

數(shù)學(xué)返回目錄4.

4a-2b+c的值是二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=

時(shí)的函數(shù)值,即為拋物線上點(diǎn)

的縱坐標(biāo).

只要找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置,當(dāng)點(diǎn)在x軸的上方,則該代數(shù)式大于0;當(dāng)點(diǎn)在x軸的下方,則該代數(shù)式小于0.-2(-2,4a-2b+c)

數(shù)學(xué)返回目錄??

典型例題【例2】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列4個(gè)結(jié)論:①abc>0;②a+c<b;③4a+2b+c>0;④2a+b=0.其中正確結(jié)論的有

(

)

A.①②③B.②③C.②③④D.③④數(shù)學(xué)返回目錄思路點(diǎn)撥:根據(jù)開口方向確定a的取值范圍,從對(duì)稱軸的位置確定b的取值范圍,由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定c的取值范圍,根據(jù)x=2對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn)位置即可確定4a+2b+c的取值范圍,根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=1和對(duì)稱軸公式可以確定2a+b=0是否成立.數(shù)學(xué)返回目錄

數(shù)學(xué)返回目錄??

對(duì)應(yīng)練習(xí)4.已知拋物線y=ax2-bx+c如圖,下列說法正確的有

(

)①a+b+c=0,②a-b+c>0,③b>0,④c=-1.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)B

數(shù)學(xué)返回目錄5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④當(dāng)-1<x<3時(shí),y>0.其中正確的個(gè)數(shù)為

(

)A.1 B.2 C.3 D.4C

數(shù)學(xué)返回目錄6.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,在下列五個(gè)結(jié)論中:①2a-b<0;②abc<0;③a+b+c<0;④a-b+c>0;⑤4a+2b+c>0.其中正確的個(gè)數(shù)有

(

)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)C數(shù)學(xué)返回目錄名師點(diǎn)撥:熟悉a,b,c和一些特殊式子的取值范圍的判斷,這是二次函數(shù)一個(gè)難點(diǎn),在中考題里面也?？?數(shù)學(xué)◆

基礎(chǔ)鞏固◆返回目錄一、選擇題1.拋物線y=x2-6x+10的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A.(3,1)

B.(3,-1)C.(-3,1) D.(-3,-1)A數(shù)學(xué)返回目錄2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則a,b,c的符號(hào)為(

)

A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0C.a>0,b<0,c=0D.a<0,b<0,c<0C數(shù)學(xué)返回目錄3.將二次函數(shù)y=2x2+2的圖象先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后所得新函數(shù)圖象的表達(dá)式為

(

)A.y=2