1.5 函數(shù)的連續(xù)性

第一章函數(shù)極限與連續(xù)第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一.連續(xù)函數(shù)的概念1連續(xù)函數(shù)的概念

在現(xiàn)實(shí)生活中有許多量都是連續(xù)變化的,例如氣溫的變化,植物的生長,物體運(yùn)動(dòng)的路程，金屬絲加熱時(shí)長度的變化等等.這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性.它是與函數(shù)的極限密切相關(guān)的另一個(gè)基本概念.1.增量定義1

設(shè)變量從它的初值變到終值,則終值與初值之差就叫做變量的增量,又叫做的改變量,記作.對于函數(shù),當(dāng)自變量從變到（自變量的改變?yōu)椋r(shí),函數(shù)有相應(yīng)的改變量，記作，即.其幾何意義如圖11.

2、點(diǎn)連續(xù)如圖定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在點(diǎn)的改變量趨于零時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的改變量也趨于零,即則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).由定義2可以得出下面的結(jié)論:⑴若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),則在點(diǎn)處的極限一定存在;反之,在點(diǎn)處的極限存在,則函數(shù)在點(diǎn)處不一定連續(xù).⑵若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),要求時(shí)函數(shù)的極限,只需求函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值即可.⑶當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí),有這個(gè)等式意味著在函數(shù)連續(xù)的前提下,極限符號與函數(shù)符號可以互相交換.這一結(jié)論給我們求極限帶來了很大的方便.例2求例3求3、左連續(xù)、右連續(xù)若函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0

處有：則分別稱函數(shù)

y=f(x)在

x0

處是左連續(xù)或右連續(xù).由此可知，函數(shù)

y=f(x)在x0處連續(xù)的充要條件可表示為：即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)處左、右連續(xù)．則稱該函數(shù)在開區(qū)間

(a,b)

內(nèi)連續(xù).

若函數(shù)

y=f(x)在開區(qū)間（a,b)

內(nèi)的各點(diǎn)處均連續(xù)，若函數(shù)

y=f(x)在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，則理解為除在

(a,b)

內(nèi)連續(xù)外，在左端點(diǎn)

a為右連續(xù)，在右端點(diǎn)

b為左連續(xù).4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線.

1.5.2初等函數(shù)的連續(xù)性定理1

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.根據(jù)這條定理，我們在求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的極限時(shí)，只需求初等函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.例4求下列極限：解

（1）因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)閇]，而[]，所以注：1、定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.2.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);

3.初等函數(shù)求極限的方法——代入法.（2）因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)槎?/p>

1.5.3函數(shù)間斷點(diǎn)

定義3

設(shè)函數(shù)

y=f(x)在

x0的一個(gè)鄰域有定義(在

x0可以沒有定義)，

則稱

x0是函數(shù)

y=f(x)的間斷點(diǎn).也稱函數(shù)在該點(diǎn)間斷.

如果函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0處不連續(xù)，由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，如果在點(diǎn)處有下列三種情形之一，則點(diǎn)為的一個(gè)間斷點(diǎn).（1）在點(diǎn)沒有定義，即不存在；（2）不存在；（3）雖然存在，但例5函數(shù)在點(diǎn)處無定義，所以在點(diǎn)處間斷，是函數(shù)的間斷點(diǎn).見圖1—6

例6函數(shù)

在有定義，但，，所以不存在，因此在處不連續(xù).見圖1－7

例7函數(shù)在點(diǎn)無定義，所以在點(diǎn)間斷，是函數(shù)的間斷點(diǎn).圖1－8例8

函數(shù)

在時(shí)有定義，但

顯然

，所以在不連續(xù).在以上幾個(gè)例子中,函數(shù)在指定點(diǎn)均不連續(xù)，但情況卻各有不同.例9已知函數(shù)在處連續(xù)，求的值解：因?yàn)槔?0

已知函數(shù)試求(1)函數(shù)的定義域；(2)在處的極限；(3)指出在處是否連續(xù).解：(1)顯然該分段函數(shù)的定義域?yàn)?；?），，因?yàn)椋圆淮嬖凇?/p>

（3）因?yàn)?，所以在處連續(xù).

而不存在,所以是的間斷點(diǎn).

1.5.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理定理2（最