蘇州市屆初三年級上冊期中復(fù)習《壓軸題》專題訓練含答案

初三數(shù)學期中復(fù)習《壓軸題》專題訓練(1)

1.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點，點A的坐標是

(2)是否存在點P,使得4ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合

條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

(3)過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,

連接EF,當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標.

2.如圖，拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點，且與y軸交于點C,點

D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E,連接BD.

(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式；

(2)點P是線段BD上一點，當PE=PC時，求點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，過點P作PFLx軸于點EG為拋物線上一動點，M為x軸上一

動點，N為直線PF上一動點，當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M

的坐標.

12M

3.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=-3x2+3x+3與x軸交于A,B兩點(點A

在點B左側(cè))，與y軸交于點C,拋物線的頂點為點E.

(1)判斷AABC的形狀，并說明理由；

(2)經(jīng)過B,C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D,點P為直線BC上方拋物線上的一

動點，當4PCD的面積最大時，Q從點P出發(fā)，先沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上

點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動

到點A處停止.當點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經(jīng)過的最短路徑的長；

(3)如圖2,平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應(yīng)點為

點E,點A的對應(yīng)點為點A-將△AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至△AiOCi的位置，點A,C

的對應(yīng)點分別為點Ai,Ci,且點Ai恰好落在AC上，連接CiA-CiE\△ACiE是否能為

等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E，的坐標；若不能，請說明理由.

4.己知二次函數(shù)y=x2-(2k+l)x+k2+k(k>0)

(1)當k=2時，求這個二次函數(shù)的頂點坐標；

(2)求證：關(guān)于x的一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0有兩個不相等的實數(shù)根：

(3)如圖，該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(A點在B點的左側(cè))，與y軸交于C點，P

1-

2丁2-2

是y軸負半軸上一點，且OP=1,直線AP交BC于點Q,求證：OAABAQ.

5.已知拋物線y=a(x+3)(x-1)(aWO),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y

軸相交于點C,經(jīng)過點A的直線y=-V3x+b與拋物線的另一個交點為D.

(1)若點D的橫坐標為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P,使得以A、B、P為頂點的三角形與aABC相似,

求點P的坐標；

(3)在(1)的條件下，設(shè)點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接BE.一動點Q從

2屈

點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E,再沿線段ED以每秒3個單位

的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最

少？

6.若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)?友好拋物線”，拋物線Ci：yi=-2x?+4x+2與C2：

U2=-x2+mx+n為"友好拋物線

(1)求拋物線C2的解析式.

(2)點A是拋物線C2上在第一象限的動點，過A作AQ，x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的

最大值.

(3)設(shè)拋物線C2的頂點為C,點B的坐標為(-1,4),問在C2的對稱軸上是否存在點

M,使線段MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MBT且點B，恰好落在拋物線C2上？若存

在求出點M的坐標，不存在說明理由.

7.如圖1,拋物線y=ax?+(a+3)x+3(a#0)與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,

在x軸上有一動點E(m,0)(0<m<4),過點E作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物

線于點P，過點P作PMLAB于點M.

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達式;

(2)設(shè)△PMN的周長為Ci,ZXAEN的周長為C2,若02=5,求m的值;

(3)如圖2,在(2)條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE,旋轉(zhuǎn)角為a((T<a

2

<90"),連接E'A、E'B,求EA+3EB的最小值.

8.如圖1,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(4,0)兩點，與y軸相交于點C,

連結(jié)BC,點P為拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線1,交直線BC于點G,交x軸于點

E.

(1)求拋物線的表達式；

(2)當P位于y軸右邊的拋物線上運動時，過點C作CF,直線1,F為垂足，當點P運動

到何處時，以P,C,F為頂點的三角形與AOBC相似？并求出此時點P的坐標；

(3)如圖2,當點P在位于直線BC上方的拋物線上運動時，連結(jié)PC,PB,請問aPBC的

面積S能否取得最大值？若能，請求出最大面積S,并求出此時點P的坐標，若不能，請說

明理由.

9.如圖,長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上,OC在y軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx

經(jīng)過點B(1,4)和點E(3,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D在線段OC上，且BDLDE,BD=DE,求D點的坐標；

(3)在條件(2)下，在拋物線的對稱軸上找一點M,使得△BDM的周長為最小，并求△

BDM周長的最小值及此時點M的坐標；

(4)在條件(2)下，從B點到E點這段拋物線的圖象上，是否存在一個點P,使得4PAD

的面積最大？若存在，請求出APAD面積的最大值及此時P點的坐標；若不存在，請說明

理由.

10.如圖，拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過AABC的三個頂點，與y軸相交于(0,4),點A坐標

為(-1,2),點B是點A關(guān)于y軸的對稱點，點C在x軸的正半軸上.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式.

(2)點F為線段AC上一動點，過F作FE，x軸，F(xiàn)G，y軸，垂足分別為E、G,當四邊

形OEFG為正方形時，求出F點的坐標.

(3)將(2)中的正方形OEFG沿0C向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,

當點E和點C重合時停止運動，設(shè)平移的距離為t,正方形的邊EF與AC交于點M,DG

所在的直線與AC交于點N,連接DM,是否存在這樣的t,使aDNIN是等腰三角形？若存

在，求t的值；若不存在請說明理由.

11.如圖，直線y=5x+5交x軸于點A,交y軸于點C,過A,C兩點的二次函數(shù)y=ax?+4x+c

的圖象交x軸于另一點B.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)連接BC,點N是線段BC上的動點，作NDLx軸交二次函數(shù)的圖象于點D,求線段

ND長度的最大值；

(3)若點H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點，點M(4,m)是該二次函數(shù)圖象上一點，

在x軸、y軸上分別找點F,E,使四邊形HEFM的周長最小，求出點F,E的坐標.

溫馨提示：在直角坐標系中，若點P,Q的坐標分別為PCxi,yi),Q(x2,y2),

當PQ平行x軸時，線段PQ的長度可由公式PQ=|xi-x2l求出；

當PQ平行y軸時，線段PQ的長度可由公式PQ=|y-y2l求出.

12.如圖，在平面直角坐標系中，RtZ\ABC的三個頂點分別是A(-8,3),B(-4,0),

1_4

C(-4,3),ZABC=a°.拋物線y=2x?+bx+c經(jīng)過點C,且對稱軸為x=-5,并與y軸交

于點G.

(1)求拋物線的解析式及點G的坐標；

(2)將RtAABC沿x軸向右平移m個單位，使B點移到點E,然后將三角形繞點E順時

針旋轉(zhuǎn)a。得到aDEF.若點F恰好落在拋物線上.

①求m的值；

②連接CG交x軸于點H,連接FG,過B作BP〃FG,交CG于點P,求證：PH=GH.

X

13.如圖1,二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象過點A(3,0),B(0,4)兩點，動點P從A

出發(fā)，在線段AB上沿A9B的方向以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PDLy于點

D,交拋物線于點C.設(shè)運動時間為t(秒).

(1)求二次函數(shù)y=-x2+bx+c的表達式；

5_

(2)連接BC,當t=6時，求4BCP的面積；

(3)如圖2,動點P從A出發(fā)時，動點Q同時從O出發(fā)，在線段OA上沿。玲A的方向以

1個單位長度的速度運動.當點P與B重合時，P、Q兩點同時停止運動，連接DQ,PQ,

將ADP、沿直線PC折疊得到ADPE.在運動過程中，設(shè)4DPE和AOAB重合部分的面積

為S,直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系及t的取值范圍.

14.如圖，在RtaABC中，ZB=90°,點。在邊AB上，以點。為圓心，OA為半徑的圓

經(jīng)過點C,過點C作直線MN,使/BCM=2/A.

(1)判斷直線MN與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若OA=4,ZBCM=60°,求圖中陰影部分的面積.

15.已知：如圖，AM為。O的切線，A為切點，過。O上一點B作BD_LAM于點D,BD

交。。于點C,OC平分/AOB.

(1)求/AOB的度數(shù)；

(2)當。O的半徑為2cm,求CD的長.

B

o.

DM

16.如圖，Z\ABC內(nèi)接于。0,AC為。O的直徑，PB是。O的切線，B為切點，OPJ_BC,

垂足為E,交。O于D,連接BD.

(1)求證：BD平分NPBC；

(2)若的半徑為1,PD=3DE,求OE及AB的長.

17.如圖，在Rt/XABC中，/C=90。，點。在AB上，經(jīng)過點A的。O與BC相切于點D,

與AC,AB分別相交于點E,F,連接AD與EF相交于點G.

(1)求證：AD平分/CAB；

(2)若OH_LAD于點H,FH平分NAFE,DG=1.

①試判斷DF與DH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②求。O的半徑.

18.如圖，在Rtz^ABC中，ZBAC=90°,O是AB邊上的一點，以0A為半徑的。0與邊

BC相切于點E.

(1)若AC=5,BC=13,求。。的半徑；

(2)過點E作弦EFLAB于M,連接AF,若NF=2NB,求證：四邊形ACEF是菱形.

19.如圖，AB是(DO的直徑，點C、D在。O上，ZA=2ZBCD,點E在AB的延長線上,

ZAED=ZABC

(1)求證：DE與。O相切；

(2)若BF=2,DF=V10,求。0的半徑.

20.某蛋糕產(chǎn)銷公司A品牌產(chǎn)銷線，20XX年的銷售量為9.5萬份，平均每份獲利1.9元，

預(yù)計以后四年每年銷售量按5000份遞減，平均每份獲利按一定百分數(shù)逐年遞減；受供給側(cè)

改革的啟發(fā)，公司早在20XX年底就投入資金10.89萬元，新增一條B品牌產(chǎn)銷線，以滿足

市場對蛋糕的多元需求，B品牌產(chǎn)銷線20XX年的銷售量為1.8萬份，平均每份獲利3元，

預(yù)計以后四年銷售量按相同的份數(shù)遞增，且平均每份獲利按上述遞減百分數(shù)的2倍逐年遞

增；這樣，20XX年，A、B兩品牌產(chǎn)銷線銷售量總和將達到11.4萬份，B品牌產(chǎn)銷線20XX

年銷售獲利恰好等于當初的投入資金數(shù).

(1)求A品牌產(chǎn)銷線2018年的銷售量；

(2)求B品牌產(chǎn)銷線20XX年平均每份獲利增長的百分數(shù).

21.為了經(jīng)濟發(fā)展的需要，某市20XX年投入科研經(jīng)費500萬元，20XX年投入科研經(jīng)費720

萬元.

(1)求2014至20XX年該市投入科研經(jīng)費的年平均增長率；

(2)根據(jù)目前經(jīng)濟發(fā)展的實際情況，該市計劃20XX年投入的科研經(jīng)費比20XX年有所增

加，但年增長率不超過15%,假定該市計劃20XX年投入的科研經(jīng)費為a萬元，請求出a

的取值范圍.

22.在直角墻角AOB(OAXOB,且OA、OB長度不限)中，要砌20m長的墻，與直角墻

角AOB圍成地面為矩形的儲倉，且地面矩形AOBC的面積為96m2.

(1)求這地面矩形的長；

(2)有規(guī)格為0.80X0.80和1.00X100(單位:m)的地板磚單價分別為55元/塊和80元/

塊，若只選其中一種地板磚都恰好能鋪滿儲倉的矩形地面(不計縫隙)，用哪一種規(guī)格的地

板磚費用較少？

23.如圖，一塊長5米寬4米的地毯，為了美觀設(shè)計了兩橫、兩縱的配色條紋(圖中陰影部

17

分)，已知配色條紋的寬度相同，所占面積是整個地毯面積的畫.

(1)求配色條紋的寬度；

(2)如果地毯配色條紋部分每平方米造價200元，其余部分每平方米造價100元，求地毯

的總造價.

24.某地區(qū)20XX年投入教育經(jīng)費2900萬元，20XX年投入教育經(jīng)費3509萬元.

(1)求20XX年至20XX年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率：

(2)按照義務(wù)教育法規(guī)定，教育經(jīng)費的投入不低于國民生產(chǎn)總值的百分之四，結(jié)合該地區(qū)

國民生產(chǎn)總值的增長情況，該地區(qū)到2018年需投入教育經(jīng)費4250萬元，如果按(1)中教

育經(jīng)費投入的增長率，到2018年該地區(qū)投入的教育經(jīng)費是否能達到4250萬元？請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：V1.21=1/，V1.44=1.2,V1.69-1.3,41.96=1.4)

25.某地20XX年為做好"精準扶貧"，投入資金1280萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金

逐年增加，20XX年在20XX年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元.

(1)從20XX年到20XX年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？

(2)在20XX年異地安置的具體實施中，該地計劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷

租房獎勵，規(guī)定前1000戶(含第1000戶)每戶每天獎勵8元，1000戶以后每戶每天補助5

元，按租房400天計算，試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵？

k-1

26.已知在關(guān)于x的分式方-程--*------12①和一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0②

中，k、m、n均為實數(shù)，方程①的根為非負數(shù).

(1)求k的取值范圍；

(2)當方程②有兩個整數(shù)根xi、X2,k為整數(shù)，n=l時，求方程②的整數(shù)根；

(3)當方程②有兩個實數(shù)根xi、X2,滿足xi(xi-k)+x2(X2-k)=(xi-k)(X2-k),

且k為負整數(shù)時，試判斷Im|W2是否成立？請說明理由.

27.菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴大

種植，造成該蔬菜滯銷.李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克

3.2元的單價對外批發(fā)銷售.

(1)求平均每次下調(diào)的百分率；

(2)小華準備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選

擇：

方案一：打九折銷售；

方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元.

試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠，請說明理由.

28.廣安市某樓盤準備以每平方米6000元的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政

策出臺后，購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決

定以每平方米4860元的均價開盤銷售.

(1)求平均每次下調(diào)的百分率.

(2)某人準備以開盤價均價購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以

供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)

惠？

29.先閱讀下列第(1)題的解答過程：

(1)己知a,B是方程x2+2x-7=0的兩個實數(shù)根，求a2+3)?2+4B的值.

解法1：Va,p是方程X2+2X-7=0的兩個實數(shù)根，

Aa2+2a-7=0,p2+2p-7=0,且a+B=-2.

Aa2=7-2a,p2=7-2p.

.,.a2+3|32+4p=7-2a+3(7-2p)+4(3=28-2(a+0)=28-2X(-2)=32.

解法2：由求根公式得a=l+2&,p=-1-2V2.

Aa2+3P2+4P=(-I+2V2)2+3(-1-2V2)2+4(-1-2&)

=9-4V2+3(9+4V2)-4-872=32.

當a=-1-2&,p=-1+2&時,同理可得a2+3p2+4p=32.

解法3：由已知得a+0=-2,ap=-7.

.*.a2+p2=(a+p)2-2aB=18.

令a2+3f+4B=A,p2+3a2+4a=B.

AA+B=4(a2+p2)+4(a+p)=4X18+4X(-2)=64.①

A-B=2(p2-a2)+4(P-a)=2(p+a)(p-a)+4(P-a)=0.②

①+②，得2A=64,；.A=32.

請仿照上面的解法中的一種或自己另外尋注一種方法解答下面的問題：

(2)已知xi,X2是方程X?-x-9=0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式XI3+7X2?+3X2-66的值.

參考答案與解析

I.（2016?梅州）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點，點

A的坐標是（3,0）,點C的坐標是（0,-3）,動點P在拋物線上.

（1）b=-2,c=-3,點B的坐標為（-1,0）；（直接填寫結(jié)果）

（2）是否存在點P,使得4ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合

條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為E

連接EF,當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標.

【分析】（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求

得點B的坐標；

（2）分別過點C和點A作AC的垂線，將拋物線與Pi,P2兩點先求得AC的解析式，然后

可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點坐標即可；

（3）連接OD.先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF,然后根據(jù)垂線段最短可求

得點D的縱坐標，從而得到點P的縱坐標，然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標.

fc=~3

【解答】解：（1）???將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得：l9+3b+c=0,解得：b=

-2,c=-3.

拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

令x2-2x-3=0,解得:xi--1,X2=3.

，點B的坐標為（-1,0）.

故答案為：-2；-3；（-1,0）.

（2）存在.

理由：如圖所示：

①當NACPi=90°.

由（1）可知點A的坐標為（3,0）.

設(shè)AC的解析式為y=kx-3.

:將點A的坐標代入得3k-3=0,解得k=l,

直線AC的解析式為y=x-3.

直線CPi的解析式為y=-x-3.

,將y=-x-3與y=x?-2x-3聯(lián)立解得xi=l,X2=0（舍去），

.?.點P1的坐標為（1,-4）.

②當NP2AC=90。時.

設(shè)AP2的解析式為y=~x+b.

?.?將x=3,y=0代入得：-3+b=0,解得b=3.

直線AP2的解析式為y=-x+3.

?.?將y=-x+3與y=x2-2x-3聯(lián)立解得xi=-2,X2=3（舍去）,

.,.點P2的坐標為（-2,5）.

綜上所述，P的坐標是（1,-4）或（-2,5）.

（3）如圖2所示：連接OD.

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF.

根據(jù)垂線段最短，可得當ODLAC時，0D最短，即EF最短.

由（1）可知，在RtZiAOC中，

：OC=OA=3,ODJLAC,

；.D是AC的中點.

XVDF/70C,

.一而1。，3

_3_

...點P的縱坐標是~2.

2+VIU_3_2_VI5_3_

.?.當EF最短時，點P的坐標是：（一~2一,5）或（2,7）.

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函

數(shù)、二次函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)，求得PiC和P2A的解析式是解答問題

（2）的關(guān)鍵，求得點P的縱坐標是解答問題（3）的關(guān)鍵.

2.（2016?茂名）如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A（-1,0）,B（3,0）兩點，且與y軸

交于點C,點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E,連接BD.

（1）求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點P是線段BD上一點，當PE=PC時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，過點P作PF，x軸于點EG為拋物線上一動點，M為x軸上一

動點，N為直線PF上一動點，當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M

的坐標.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式；

(2)連接PC、PE,利用公式求出頂點D的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,

設(shè)出點P的坐標為(x,-2x+6),利用勾股定理表示出PC?和PE2,根據(jù)題意列出方程，解

方程求出x的值，計算求出點P的坐標；

(3)設(shè)點M的坐標為(a,0),表示出點G的坐標，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程

即可.

【解答】解：(1)；拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-I,0),B(3,0)兩點，

'-1-b+c=0

--9+3b+c=0

(b=2

解得，lc=3,

經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式為y=-x?+2x+3；

(2)如圖1,連接PC、PE,

b2

x=一二=-2X(-1)=],

當x=l時，y=4,

???點D的坐標為(1,4),

設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n,

firi+n=4

則l3in+n=0,

firF-2

解得，ln=6,

直線BD的解析式為y=-2x+6,

設(shè)點P的坐標為(x,-2x+6),

則PC2=x2+(3+2x-6)2,PE2=(x-1)2+(-2x+6)2,

VPC=PE,

.\x2+(3+2x-6)2=(x-1)2+(-2x+6)2,

解得,x=2.

貝ijy=-2X2+6=2,

.?.點P的坐標為（2,2）；

（3）設(shè)點M的坐標為（a,0）,則點G的坐標為（a,-a2+2a+3）,

?.?以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形，

FM=MG,即12-a|=|-a2+2a+31,

當2-a=-a2+2a+3時，

整理得,a2-3a-l=0?

3±而

解得，a=-2一,

當2-a=-（-a2+2a+3）時，

整理得，a2-a-5=0,

]±亞

解得，a=-2一,

...當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，點M的坐標為（-2—,0）,（

1+亞L歷

0）,（2,0）,（2,0）.

1圖1

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及正方形的性質(zhì),

掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

1_2V3_

3.（2016?重慶）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=-3x2+3x+3與x軸交于A,

B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C,拋物線的頂點為點E.

（1）判斷AABC的形狀，并說明理由；

（2）經(jīng)過B,C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D,點P為直線BC上方拋物線上的一

動點，當4PCD的面積最大時，Q從點P出發(fā)，先沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上

點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動

到點A處停止.當點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經(jīng)過的最短路徑的長；

（3）如圖2,平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應(yīng)點為

點E，，點A的對應(yīng)點為點A-將△AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至△AiOCi的位置，點A,C

的對應(yīng)點分別為點Ai,Ci,且點Ai恰好落在AC上，連接CiA-CiE\△A，CiE是否能為

等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E，的坐標；若不能，請說明理由.

【分析】（1）先求出拋物線與x軸和y軸的交點坐標，再用勾股定理的逆定理判斷出AABC

是直角三角形；_

37315

（2）先求出SAPCD最大時，點P（一，T）,然后判斷出所走的路徑最短，即最短路徑

的長為PM+MN+NA的長，計算即可；

（3）△A，CiE，是等腰三角形，分三種情況分別建立方程計算即可.

【解答】解：（1）AABC為直角三角形，

1_273,

當y=0時，即-3x2+3x+3=0,

Axi=-Vs,X2=SV3

AA(-V3,0),B(3V3,0),

.,.OA=V3,OB=3?,

當x=0時,y=3,

AC(0,3),

，OC=3,

根據(jù)勾股定理得，AC2-OB2+OC2-12,BC2=OB2+OC2-36,

.".AC2+BC2=48,

VAB2=[3V3-(-V3)]2=48,

二AC2+BC2=AB2,

...△ABC是直角三角形，

(2)如圖，

返

/.直線BC解析式為y=-3x+3,

過點P作PG〃y軸，

1_2A/3_

設(shè)P(a,-3a2+3a+3),

返

/.G(a,-3a+3),

PG=-3a2+V3a,

設(shè)點D的橫坐標為XD,C點的橫坐標為xc,_

1_返3\/3_W3_

SAPCD=2X(XD-xc)XPG=-6(a-2)2+8,

?；0<a<3代，

訴37315

工當舊2時，SaPCD最大，此時點P(2,4),

將點P向左平移F個單位至P',連接AP,交y軸于點N,過點N作MNJ_拋物線對稱軸

于點M,

連接PM,點Q沿P玲M玲N玲A運動，所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA的

長，_

37315

.".P(2,4)

返

.,.P,(2,4),

?.?點A(-阮0),

而5_

直線AP'的解析式為y=飛-x+5,

5_

當x=0時，y=2,

5_

AN(0,2),

過點P'作PzH±x軸于點H,_

3731537^7

；.AH=2,P，H=4,AP'=4,

?'?點Q運動得最短路徑長為PM+MN+AN=4+J5=4；

(3)在RtAAOC中，

0C

VtanZOAC=0A=V3,

Z.NOAC=60。，

VOA=OAi,

.??△OAAi為等邊三角形，

ZAOA1=60°,

.?.ZBOCi=30",

VOCi=OC=3,

3733.

/.Ci(2,2),

;點A(-V3,o),E(娟,4),

；.AE=2W,

.?.A,E/=AE=2VT,

2M

?.?直線AE的解析式為y=3x+2,

設(shè)點E，(a,3a+2),

2」a

.,.A-(a-273,3-2)_

2aa3_7_773

22

.?.CIEA(a-2代)2+(3+2-2)=3a-3a+7,

3V32花3_7_3乖

CIA,2=(a-2V3-2)2+(3-2-2)2=3a2-3a+49,

①若CiA^CiE1,則CIA,2=CIE'2

1TVs7_3/

即：3a?-3a+7=3a2-3a+49,

373

/.a=2,

373

AE(2,5),

②若A，C1=A，E-

.,.A，C|2=A，E，2

7_35^

即：3a2-3a+49=28,

??ai2，32=2

.'.E'(2,7+V13),或(2,7-V13),

③若E-A^ECi,

.,.EZA,2=EZCI2

7_7V3

BP：3a2-3a+7=28,

百+我我一體

；.ai=2,a2=2(舍)，

向+病

；.E'(2,3+V13),

而浦+屈/一倔

即，符合條件的點E，(2,5),(2,7+V13),或(2,7-V13),

向+我

(2,3+713).

【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)極值的確定方法，等邊三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論，也是解本題的難點.

4.(2016?株洲)已知二次函數(shù)y=x2-(2k+l)x+k2+k(k>0)

(1)當k=5時，求這個二次函數(shù)的頂點坐標；

(2)求證：關(guān)于x的一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0有兩個不相等的實數(shù)根；

(3)如圖，該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(A點在B點的左側(cè))，與y軸交于C點，P

【分析】(1)直接將k的值代入函數(shù)解析式，進而利用配方法求出頂點坐標；

(2)利用根的判別式得出△=1,進而得出答案；

(3)根據(jù)題意首先表示出Q點坐標，以及表示出OA,AB的長，再利用兩點之間距離求

出AQ的長，進而求出答案.

1_

【解答】解：(1)將k=5代入二次函數(shù)可求得，

w

y=x2-2x+4

1_

=(x-1)2-4,

故拋物線的頂點坐標為：(1,-彳)：

(2):一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=O,

/.A=b2-4ac=[-(2k+l)]2-4(k2+k)=l>0,

二關(guān)于x的一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0有兩個不相等的實數(shù)根;

(3)由題意可得：點P的坐標為(0,-1),

則0=x2-(2k+l)x+k2+k

0=(x-k-1)(x-k),

故A(k,0),B(k+1,0),

當x=0,則y=k2+k,

故C(0,k2+k)

則AB=k+l-k=l,OA=k,

可得

11

ypA=px1,

yBC=-kx+k2+k,

當kx-1=-kx+k2+k,

k2

2

解得：x=k+k+1,

2

則代入原式可得：y=k+1,

則點Q坐標為k+1k+1

k2kk2

292

運用距離公式得：AQ2=(k+1)2+(k+1)2=k+1,

則OA2=k2,AB2=1,

1____1___1_1+k21

故0A2+AB2=k2+i=k2=AQ2,

1,1_1

則OA?AB2AQ2.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和配方法求二次函數(shù)頂點坐標和兩點

之間距離求法等知識，正確表示出Q點坐標是解題關(guān)鍵.

5.(2016?隨州)已知拋物線y=a(x+3)(x-1)(aWO),與x軸從左至右依次相交于A、B

兩點，與y軸相交于點C,經(jīng)過點A的直線y=-JEx+b與拋物線的另一個交點為D.

(1)若點D的橫坐標為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P,使得以A、B、P為頂點的三角形與aABC相似,

求點P的坐標；

(3)在(1)的條件下，設(shè)點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接BE.一動點Q從

點B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E,再沿線段ED以每秒3個單位

的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點式確定點A、B的坐標，進而求出直線AD的解析式，接

著求出點D的坐標，將D點坐標代入拋物線解析式確定a的值；

(2)由于沒有明確說明相似三角形的對應(yīng)頂點，因此需要分情況討論：①△ABCs/\BAP；

②△ABCSAPAB；

(3)作DM〃x軸交拋物線于M,作DN_Lx軸于N,作EFJ_DM于F,根據(jù)正切的定義求

出Q的運動時間t=BE+EF時，t最小即可.

【解答】解：(1)：y=a(x+3)(x-1),

...點A的坐標為(-3,0)、點B兩的坐標為(1,0),

?直線y=-V3x+b經(jīng)過點A,

；.b=-3代，

y=-V3x-3V3,

當x=2時，y=-5a，

則點D的坐標為(2,-573),

???點D在拋物線上，

；.a(2+3)(2-1)=-543,

解得，a=-V3,

則拋物線的解析式為y=-M(x+3)(x-1)=-x2-2V3X+3V3；

(2)如圖1中，作PHLx軸于H,設(shè)點P坐標(,n),

當△BPAs/^ABC時，NBAC=NPBA,

QCPH

tanZBAC=tanZPBA,即OA二HB,

-3af

3,即『-@(m-1),

n二-a(in-1)

"諦+3)(111-1)解得111=-4或1(舍棄),

當m=-4時，n=5a,

VABPA^AABC,

ACAB

AB=PB,

.".AB2=AC?PB,

...42=79a2+9,^25a2+25,

V15V15

解得an，或-NT（舍棄），

V15

貝！Jn=5a=-3,

V15

，點P坐標（-4,-3）.

當△PBAs/\ABC時，ZCBA=ZPBA,

OCPH

tanZCBA=tanZPBA,即OB=HB,

-3aL-

.?.1=~nrt-1,

n=-3a（m-1）,

‘n=-3a（in-1）

.?.[n=a（ni+3）（m-1）,

解得m=-6或1（舍棄），

當m=-6時，n=21a,

VAPBA^AABC,

BCAB

/.BA=PB,即AB2=BC*PB,

42=Vl+9a2.V72+（-21a）2,

解得a=-7或7（不合題意舍棄），

JL

則點P坐標（-6,-7）,__

逗V7

綜上所述，符合條件的點P的坐標（-4,-3）和（-6,-7）.

（3）如圖2中，作DM〃x軸交拋物線于M,作DN_Lx軸于N,作EFJ_DM于F,

DN訴

則tan/DAN=AN=5=?,

圖2

??.ZDAN=60°,

AZEDF=60°,_

EF273

.-.DE=sinZEDF=3EF,

DE

BE2M

；.Q的運動時間t=1+3=BE+EF,

...當BE和EF共線時，t最小，

則BE_LDM,此時點E坐標（1,-473）.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)知識的綜合運用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的交點式、

相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時，注意分情況討論討論，屬于中考

壓軸題.

6.（2016?大慶）若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)?友好拋物線"，拋物線Ci：yi=-

2X2+4X+2與C2：U2=-x2+mx+n為“友好拋物線

（1）求拋物線C2的解析式.

（2）點A是拋物線C2上在第一象限的動點，過A作AQLx軸，Q為垂足，求AQ+OQ的

最大值.

（3）設(shè)拋物線C2的頂點為C,點B的坐標為（-1,4）,問在C2的對稱軸上是否存在點

M,使線段MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MB-且點B，恰好落在拋物線C2上？若存

在求出點M的坐標，不存在說明理由.

【分析】（1）先求得yi頂點坐標，然后依據(jù)兩個拋物線的頂點坐標相同可求得m、n的值;

⑵設(shè)A（a,-a2+2a+3）.則OQ=x,AQ=-a2+2a+3,然后得到OQ+AQ與a的函數(shù)關(guān)系

式，最后依據(jù)配方法可求得OQ+AQ的最值；

（3）連接BC,過點B，作BDLCM,垂足為D.接下來證明aBCM畛△MDB，，由全等三

角形的性質(zhì)得到BC=MD,CM=B，D,設(shè)點M的坐標為（1,a）.則用含a的式子可表示出

點B，的坐標，將點B，的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點M的坐標.

【解答】解：（1）；yi=-2x?+4x+2=--2（x-1）2+4,

拋物線Ci的頂點坐標為（1,4）.

；拋物線C1：與C2頂點相同，

-m

-1X2=1,_i+m+n=4.

解得：m=2,n=3.

拋物線C2的解析式為U2=-X2+2X+3.

（2）如圖1所示：

設(shè)點A的坐標為(a,-a2+2a+3).

*.*AQ=-a2+2a+3,OQ=a,

3_21

/.AQ+OQ=-a2+2a+3+a=-a2+3a+3=-(a-2)2+4.

_321

???當a=2時，AQ+OQ有最大值，最大值為4.

(3)如圖2所示；連接BC,過點B，作BDJ_CM,垂足為D.

VB(-1,4),C(1,4),拋物線的對稱軸為x=l,

ABC!CM,BC=2.

NBMB'=90°,

???NBMC+/B'MD=90°.

VBZD±MC,

/.ZMB/D+ZB,MD=90°.

.*.ZMBZD=ZBMC.

'/MB，D=/BMC

<ZBCM=ZMDBZ

在△BCM和△MDB，中，IBM=MB',

/.BC=MD,CM=B,D.

設(shè)點M的坐標為(1,a).則B'D=CM=4-a,MD=CB=2.

???點B，的坐標為(a-3,a-2).

???-(a-3)2+2(a-3)+3=a-2.

整理得：a2-7a-10=0.

解得a=2,或a=5.

當a=2時，M的坐標為(1,2),

當a=5時，M的坐標為(1,5).

綜上所述當點M的坐標為(1,2)或(1,5)時，B"恰好落在拋物線C2上.

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的頂點坐標

公式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、函數(shù)圖象上點的坐標與函數(shù)解析

式的關(guān)系，用含a的式子表示點B，的坐標是解題的關(guān)鍵.

7.(2016?濟南)如圖1,拋物線y=ax?+(a+3)x+3(a/0)與x軸交于點A(4,0),與y

軸交于點B,在x軸上有一動點E(m,0)(0<m<4),過點E作x軸的垂線交直線AB于

點N,交拋物線于點P,過點P作PM_LAB于點M.

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)