新高考數(shù)學專題復習專題08圓錐曲線中的離心率的問題專題練習(學生版+解析)

專題08圓錐曲線中的離心率的問題一、題型選講題型一、求離心率的值求離心率的值關鍵是找到等式關系，解出a與c的關系，進而求出離心率。常見的等式關系主要有：1、題目中給出等式關系；2、通過幾何關系如垂直或者夾角的關系得出等式關系；3、挖掘題目中的等式關系。例1、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設F為雙曲線C：的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點．若，則C的離心率為A． B． C．2 D．例2、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知圓與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．例3、（2020屆山東省九校高三上學期聯(lián)考）已知直線，為雙曲線：的兩條漸近線，若，與圓：相切，雙曲線離心率的值為（）A． B．C． D．例4、（2020屆山東省德州市高三上期末）雙曲線（，）的右焦點為，點的坐標為，點為雙曲線左支上的動點，且周長的最小值為8，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．例5、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知點為雙曲線右支上一點，分別為的左，右焦點，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．例6、（2020·浙江省溫州市新力量聯(lián)盟高三上期末）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．題型二、求離心率的范圍求離心率的值關鍵是找到不等關系，解出a與c的關系，進而求出離心率的范圍。常見的等式關系主要有：1、若橢圓上的點，則根據(jù)范圍分布找到橫坐標或者縱坐標的范圍；2、若是橢圓上的點，則研究此點到焦點的范圍；要特別注意離心率的范圍。例7、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點的坐標為．若雙曲線左支上的任意一點均滿足，則雙曲線的離心率的取值范圍為()A． B．C． D．例8、(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，為右準線上一點．點在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長為．=1\*GB3①求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點，使四點共圓，求橢圓離心率的取值范圍．例9、(2017揚州期末）如圖，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，圓O：x2＋y2＝b2，過橢圓C的上頂點A的直線l：y＝kx＋b分別交圓O、橢圓C于不同的兩點P，Q，設eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→)).(1)若點P(－3,0)，點Q(－4，－1)，求橢圓C的方程；(2)若λ＝3，求橢圓C的離心率e的取值范圍．題型三、由離心率求參數(shù)的范圍由離心率求參數(shù)的范圍關鍵是找到離心率與參數(shù)之間的關系，然后根據(jù)離心率的范圍求出參數(shù)的范圍。例10、(2017南京學情調(diào)研）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(在x軸上方)，連結PF1并延長交橢圓于另一點Q，設eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→)).(1)若點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，求實數(shù)λ的取值范圍．二、達標訓練1、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．2、（2020·山東省淄博實驗中學高三上期末）雙曲線：的左、右焦點分別為、，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為____.3、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知F為雙曲線的右焦點，過F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且（O為坐標原點），則C的離心率為________.4、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學高三下期初）已知雙曲線的一條漸近線為，則離心率為（）A． B． C．或 D．5、（2020屆浙江省杭州市第二中學高三3月月考）設雙曲線的兩焦點之間的距離為10，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6、（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）已知雙曲線：（）的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7、（2020屆浙江省嘉興市高三5月模擬）分別將橢圓的長軸、短軸和雙曲線的實軸、虛軸都增加個單位長度（），得到橢圓和雙曲線．記橢圓和雙曲線的離心率分別是，則（）A．， B．，與的大小關系不確定C．， D．，與的大小關系不確定8、（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）已知橢圓的左、右焦點分別是，，點是橢圓上位于軸上方的一點，若直線的斜率為，且，則橢圓的離心率為________．9、（2020·浙江高三）如圖，過橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2分別作斜率為的直線交橢圓C上半部分于A，B兩點，記△AOF1，△BOF2的面積分別為S1，S2，若S1：S2＝7：5，則橢圓C離心率為_____．10、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）已知橢圓的內(nèi)接的頂點為短軸的一個端點，右焦點，線段中點為，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.更多精品資料請關注微信公眾號：超級高中生專題08圓錐曲線中的離心率的問題一、題型選講題型一、求離心率的值求離心率的值關鍵是找到等式關系，解出a與c的關系，進而求出離心率。常見的等式關系主要有：1、題目中給出等式關系；2、通過幾何關系如垂直或者夾角的關系得出等式關系；3、挖掘題目中的等式關系。例1、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設F為雙曲線C：的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點．若，則C的離心率為A． B． C．2 D．【答案】A【解析】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，∴，，又點在圓上，，即．，故選A．本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．解答本題時，準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a的關系，可求雙曲線的離心率．例2、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知圓與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線，可得其一條漸近線的方程為，即，又由圓，可得圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，則，可得，故選C.例3、（2020屆山東省九校高三上學期聯(lián)考）已知直線，為雙曲線：的兩條漸近線，若，與圓：相切，雙曲線離心率的值為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設漸近線方程，即，與圓：相切，圓心到直線的距離，，所以.故選：B例4、（2020屆山東省德州市高三上期末）雙曲線（，）的右焦點為，點的坐標為，點為雙曲線左支上的動點，且周長的最小值為8，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】如下圖所示：設該雙曲線的左焦點為點，由雙曲線的定義可得，所以，的周長為，當且僅當、、三點共線時，的周長取得最小值，即，解得.因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.例5、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知點為雙曲線右支上一點，分別為的左，右焦點，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點，連接,由條件可知，是的中點，又，,根據(jù)雙曲線的定義可知，，直線的方程是：，即，原點到直線的距離，中，，整理為：，即，解得：，或（舍）故選：C例6、（2020·浙江省溫州市新力量聯(lián)盟高三上期末）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則，所以該條漸近線方程為；所以，解得；所以，所以雙曲線的離心率為．故選：A．題型二、求離心率的范圍求離心率的值關鍵是找到不等關系，解出a與c的關系，進而求出離心率的范圍。常見的等式關系主要有：1、若橢圓上的點，則根據(jù)范圍分布找到橫坐標或者縱坐標的范圍；2、若是橢圓上的點，則研究此點到焦點的范圍；要特別注意離心率的范圍。例7、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點的坐標為．若雙曲線左支上的任意一點均滿足，則雙曲線的離心率的取值范圍為()A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知可得，若，即，左支上的點均滿足，如圖所示，當點位于點時，最小，故，即,,或或或或雙曲線的離心率的取值范圍為.例8、(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，為右準線上一點．點在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長為．=1\*GB3①求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點，使四點共圓，求橢圓離心率的取值范圍．規(guī)范解答（1）①設橢圓的焦距為2c，由題意，得所以．所以橢圓的方程為．②由①得，焦點，準線為，（2）解法1設，，因為FP⊥FQ，則△FPQ的外接圓即為以PQ為直徑的圓．由題意，焦點F，原點O均在該圓上，所以消去得，所以，因為點P，Q均在x軸上方，所以，即，所以，又因為，所以．解法2因為O，F(xiàn)，P，Q四點共圓且FP⊥FQ，所以PQ為圓的直徑，所以圓心必為PQ中點M，又圓心在弦OF的中垂線上，所以圓心M的橫坐標為，所以點Q的橫坐標為．（以下同方法1）例9、(2017揚州期末）如圖，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，圓O：x2＋y2＝b2，過橢圓C的上頂點A的直線l：y＝kx＋b分別交圓O、橢圓C于不同的兩點P，Q，設eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→)).(1)若點P(－3,0)，點Q(－4，－1)，求橢圓C的方程；(2)若λ＝3，求橢圓C的離心率e的取值范圍．規(guī)范解答(1)由P在圓O：x2＋y2＝b2上，得b＝3.又點Q在橢圓C上，得eq\f(－42,a2)＋eq\f(－12,32)＝1，解得a2＝18，所以橢圓C的方程是eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.(5分)(2)解法1由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＋y2＝b2，))得x＝0或xP＝－eq\f(2kb,1＋k2).(7分)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得x＝0或xQ＝－eq\f(2kba2,a2k2＋b2).(9分)因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，λ＝3，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AQ,\s\up6(→))，所以eq\f(2kba2,a2k2＋b2)·eq\f(3,4)＝eq\f(2kb,1＋k2)，即eq\f(a2,a2k2＋b2)·eq\f(3,4)＝eq\f(1,1＋k2)，所以k2＝eq\f(3a2－4b2,a2)＝4e2－1.因為k2＞0，所以4e2＞1，即e＞eq\f(1,2)，又0＜e＜1，所以eq\f(1,2)＜e＜1.(16分)解法2A(0，b)，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝b2①，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1②.(7分)又因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，λ＝3，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AQ,\s\up6(→))，即(x1，y1－b)＝eq\f(3,4)(x2，y2－b)．解得x2＝eq\f(4,3)x1，y2＝eq\f(4,3)y1－eq\f(1,3)b，代入②得eq\f(16x\o\al(2,1),9a2)＋eq\f(16y\o\al(2,1)－8by1＋b2,9b2)＝1.(9分)又xeq\o\al(2,1)＝b2－yeq\o\al(2,1)，消去xeq\o\al(2,1)整理得2(a2－b2)yeq\o\al(2,1)－a2by1－b2(a2－2b2)＝0，即[2(a2－b2)y1＋b(a2－2b2)](y1－b)＝0，解得，y1＝eq\f(b2b2－a2,2a2－b2)或y1＝b(舍去)，因為－b＜y1＜b，所以－b＜eq\f(b2b2－a2,2a2－b2)＜b，解得eq\f(b2,a2)＜eq\f(3,4).(14分)而e2＝1－eq\f(b2,a2)＞1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，即e＞eq\f(1,2)，又0＜e＜1，所以eq\f(1,2)＜e＜1.(16分)解后反思解析幾何題的解題思路一般很容易覓得，實際操作時，往往不是因為難于實施，就是因為實施起來運算繁瑣而被卡住，最終放棄此解法，因此方法的選擇特別重要．從思想方法層面講，解析幾何主要有兩種方法：一是設線法；二是設點法．此題的解法1就屬于設線法，解法2就屬于設點法．一般地，設線法是比較順應題意的一種解法，它的參變量較少，目標集中，思路明確；而設點法要用好點在曲線上的條件，技巧性較強，但運用得好，解題過程往往會顯得很簡捷．對于這道題，這兩種解法差別不是很大，但對于有些題目方法選擇的不同差別會很大，注意從此題的解法中體會設點法和設線法的精妙之處．題型三、由離心率求參數(shù)的范圍由離心率求參數(shù)的范圍關鍵是找到離心率與參數(shù)之間的關系，然后根據(jù)離心率的范圍求出參數(shù)的范圍。例10、(2017南京學情調(diào)研）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(在x軸上方)，連結PF1并延長交橢圓于另一點Q，設eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→)).(1)若點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，求實數(shù)λ的取值范圍．思路分析第1問，求橢圓的標準方程，本質(zhì)就是要求a，b的值，為此，要找到兩個關于a，b的方程，根據(jù)點P在橢圓上，以及橢圓的定義知△PF2Q的周長為4a，從而可求得橢圓的方程；第2問的本質(zhì)就是找到實數(shù)λ與離心率e的關系，根據(jù)PF2⊥x軸，可得點P的坐標，根據(jù)條件eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→))可求得點Q的坐標，利用點Q在橢圓上，得到λ與a，b，c的關系，進而求得λ與e的關系，利用這一關系，求出λ的范圍．規(guī)范解答(1)因為F1，F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點，且P，Q為橢圓上的點，所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，從而△PQF2的周長為4a，由題意得4a＝8，解得a＝2.(2分)因為點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得b2＝3.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(5分)(2)解法1因為PF2⊥x軸，且P在x軸上方，所以可設P(c，y0)，y0＞0，Q(x1，y1)．因為點P在橢圓上，所以eq\f(c2,a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝eq\f(b2,a)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).(7分)因為F1(－c,0)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，－\f(b2,a)))，eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝(x1＋c，y1)．由eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→))，得－2c＝λ(x1＋c)，－eq\f(b2,a)＝λy1，解得x1＝－eq\f(λ＋2,λ)c，y1＝－eq\f(b2,λa)，所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ＋2,λ)c，－\f(b2,λa))).(11分)因為點Q在橢圓上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ＋2,λ)))2e2＋eq\f(b2,λ2a2)＝1，即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1.因為λ＋1≠0，所以(λ＋3)e2＝λ－1，從而λ＝eq\f(3e2＋1,1－e2)＝eq\f(4,1－e2)－3.(14分)因為e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\f(1,4)≤e2≤eq\f(1,2)，即eq\f(7,3)≤λ≤5.所以λ的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，5)).(16分)解法2由于PF2⊥x軸，且P在x軸上方，故設P(c，y0)，y0＞0.因為點P在橢圓上，所以eq\f(c2,a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝eq\f(b2,a)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).(7分)因為F1(－c,0)，所以直線PF1的方程為y＝eq\f(b2,2ac)(x＋c)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b2,2ac)x＋c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0.因為直線PF1與橢圓有一個交點為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，設Q(x1，y1)，則x1＋c＝－eq\f(2b2c,4c2＋b2)，(11分)因為eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(－2c,c＋x1)＝eq\f(4c2＋b2,b2)＝eq\f(3c2＋a2,a2－c2)＝eq\f(3e2＋1,1－e2)＝eq\f(4,1－e2)－3.(14分)以下同解法1.解后反思本題考查解析幾何中的范圍問題，由于題中已知離心率e的范圍，因此我們可以把λ表示為e的函數(shù)，為此先求得點P的坐標(這里點P是確定的，否則設出點P的坐標)，由向量的運算求得點Q的坐標，再代入橢圓方程可得關于λ，a，b，c的等式，利用e＝eq\f(c,a)，a2＝b2＋c2可化此等式為關于e，λ的方程，解出λ，即把λ表示為e的函數(shù)，由函數(shù)性質(zhì)可求得λ的范圍．本題采用的方法是解析幾何中的基本計算，考查了學生的運算能力．二、達標訓練1、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題,離心率,解得,因為焦點在軸上,則漸近線方程為,即故選：C2、（2020·山東省淄博實驗中學高三上期末）雙曲線：的左、右焦點分別為、，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為____.【答案】【解析】設△MPF2的內(nèi)切圓與MF1，MF2的切點分別為A，B，由切線長定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由雙曲線的定義可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，∴雙曲線的離心率為e．故答案為：．3、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知F為雙曲線的右焦點，過F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且（O為坐標原點），則C的離心率為________.【答案】2【解析】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，由得，∴，，∴．故答案為：2.4、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學高三下期初）已知雙曲線的一條漸近線為，則離心率為（）A．