新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第8講角度問題(原卷版+解析)

第8講角度問題一、解答題1．設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，橢圓的長軸長為，且點在該橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為直線上不同于點的任意一點，若直線與橢圓相交于異于的點，證明：△為鈍角三角形．2．已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向（?。┤?，求直線的斜率（ⅱ）設(shè)在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形3．設(shè)拋物線C：y2＝2x，點A(2,0)，B(－2,0)，過點A的直線l與C交于M，N兩點．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2)證明：∠ABM＝∠ABN.4．設(shè)拋物線，F(xiàn)為C的焦點，點為x軸正半軸上的動點，直線l過點A且與C交于P，Q兩點，點為異于點A的動點.當(dāng)點A與點F重合且直線l垂直于x軸時，.（1）求C的方程；（2）若直線l不垂直于坐標(biāo)軸，且，求證：為定值.5．如圖，已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點.A（-a，0），|AF|=3.（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M.直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E.求證：∠ODF=∠OEF.6．設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若(O為原點)，求k的值.7．（本小題滿分14分）已知橢圓x2a2+y（Ⅰ）求直線BF的斜率;（Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點P（P異于點B）,過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B）直線PQ與y軸交于點M,|PM（?。┣螃说闹?（ⅱ）若,求橢圓的方程.8．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關(guān)于O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切于點E,F,求EDF的最小值.10．設(shè)橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.11．設(shè)橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率.第8講角度問題一、解答題1．（本小題滿分為16分）設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，橢圓的長軸長為，且點在該橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為直線上不同于點的任意一點，若直線與橢圓相交于異于的點，證明：△為鈍角三角形．【答案】（1）（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）求橢圓的方程一般利用待定系數(shù)法求解，本題兩個獨立條件可求出方程中兩個未知數(shù)，關(guān)鍵長軸長為的條件不能列錯，（2）證明△為鈍角三角形，可利用向量數(shù)量積求證：，這樣只需列出各點坐標(biāo)即可.試題解析：（1）由題意：，所以．所求橢圓方程為．又點在橢圓上，可得．所求橢圓方程為．（2）證明：由（1）知：．設(shè)，．則直線的方程為：．由得．因為直線與橢圓相交于異于的點，所以，所以．由，得．所以．從而，．所以．又三點不共線，所以為鈍角．所以△為鈍角三角形．考點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系2．已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向（?。┤?，求直線的斜率（ⅱ）設(shè)在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形【答案】（1）；（2）（i），（ii）詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件可求得的焦點坐標(biāo)為，再利用公共弦長為即可求解；（2）（i）設(shè)直線的斜率為，則的方程為，由得，根據(jù)條件可知，從而可以建立關(guān)于的方程，即可求解；（ii）根據(jù)條件可說明，因此是銳角，從而是鈍角，即可得證試題解析：（1）由：知其焦點的坐標(biāo)為，∵也是橢圓的一焦點，∴①，又與的公共弦的長為，與都關(guān)于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標(biāo)為，∴②，聯(lián)立①，②，得，，故的方程為；（2）如圖，，，，，（i）∵與同向，且，∴，從而，即，于是③，設(shè)直線的斜率為，則的方程為，由得，而，是這個方程的兩根，∴，④，由得，而，是這個方程的兩根，∴，⑤，將④⑤帶入③，得，即，∴，解得，即直線的斜率為.（ii）由得，∴在點處的切線方程為，即，令，得，即，∴，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.，故直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形.考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓位置關(guān)系.【名師點睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題，解決此類問題的關(guān)鍵：（1）結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，如焦點坐標(biāo)，對稱軸，等；（2）當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來，有時不一定要把結(jié)果及時求出來，可能需要整體代換到后面的計算中去，從而減少計算量.3．設(shè)拋物線C：y2＝2x，點A(2,0)，B(－2,0)，過點A的直線l與C交于M，N兩點．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2)證明：∠ABM＝∠ABN.【答案】(1)或；(2)證明見解析【分析】(1)當(dāng)時，代入求得點坐標(biāo)，即可求得直線的方程;(2)設(shè)直線的方程,聯(lián)立，利用韋達定理及直線的斜率公式即可求得,即可證明.【詳解】(1)當(dāng)與軸垂直時，的方程為，可得M的坐標(biāo)為或．所以直線的方程為或.(2)證明：當(dāng)l與x軸垂直時，為的垂直平分線，故.當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)的方程為則.由，得，可知，.直線的斜率之和為＝＋＝，①將及的表達式代入①式分子，可得＝＝＝0.所以，可知的傾斜角互補，所以,綜上，.【點睛】本題主要考查的是直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和計算能力，是中檔題.4．設(shè)拋物線，F(xiàn)為C的焦點，點為x軸正半軸上的動點，直線l過點A且與C交于P，Q兩點，點為異于點A的動點.當(dāng)點A與點F重合且直線l垂直于x軸時，.（1）求C的方程；（2）若直線l不垂直于坐標(biāo)軸，且，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）將代入拋物線方程可求得，由此可構(gòu)造方程求得，進而得到結(jié)果；（2）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立后得到韋達定理的形式；由知，代入韋達定理的結(jié)論整理可得定值.【詳解】（1）由題意得：，當(dāng)點與重合且直線垂直于軸時，方程為：，代入得：，，解得：，的方程為：.（2）證明：可設(shè)直線的方程為，，，將代入中得：，則，，由得：，即，即，，又直線不垂直于坐標(biāo)軸，，，為定值.【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、拋物線中的定值問題；證明定值問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒔窍嗟鹊年P(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，進而利用韋達定理整理化簡得到定值.5．如圖，已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點.A（-a，0），|AF|=3.（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M.直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E.求證：∠ODF=∠OEF.【答案】.（I）；（II）證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、、的方程組，求出、、，即可得橢圓C的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，將其代入橢圓方程，整理得，根據(jù)韋達定理可得（，），直線的方程是，令，得，同理可得，根據(jù)斜率公式可得在和中，和都與互余，所以.試題解析：（I）設(shè)橢圓C的半焦距為c.依題意，得，a+c=3.解得a=2，c=1.所以b2=a2-c2=3，所以橢圓C的方程是（II）由（I）得A（-2，0）.設(shè)AP的中點M（x0，y0），P（x1，y1）.設(shè)直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），將其代入橢圓方程，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，所以-2+x1=.所以x0=，y0=k（x0+2）=，即M（，）.所以直線OM的斜率是，所以直線OM的方程是y=-x.令x=4，得D（4，-）.直線OE的方程是y=kx.令x=4，得E（4，4k）.由F（1，0），得直線EF的斜率是=，所以EF⊥OM，記垂足為H；因為直線DF的斜率是=，所以DF⊥OE，記垂足為G.在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，所以∠ODF=∠OEF.6．設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若(O為原點)，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【詳解】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a=3，b=2．則橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x1，y1），點Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由題意可得5y1=9y2．由方程組可得．由方程組可得．據(jù)此得到關(guān)于k的方程，解方程可得k的值為或詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，從而a=3，b=2．所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x1，y1），點Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因為，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或．所以，k的值為或點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．7．（本小題滿分14分）已知橢圓x2a2+y（Ⅰ）求直線BF的斜率;（Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點P（P異于點B）,過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B）直線PQ與y軸交于點M,|PM（ⅰ）求λ的值;（ⅱ）若,求橢圓的方程.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）（?。?8;（ⅱ）【解析】（Ⅰ）先由ca=55及a2=b2+c2,得a=5c,b=2c,直線BF的斜率k=b?00?(?c)試題解析:（Ⅰ）設(shè)F(?c,0),由已知ca=55及a2=b2+（Ⅱ）設(shè)點P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM),（Ⅰ）由（Ⅰ）可得橢圓方程為x25（Ⅱ）由（Ⅰ）得|PM||MQ|=78,所以|PM||PM|+|MQ|=77+8=又因為yP=2xP+2c=?4考點：本題主要考查直線與橢圓等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力及用方程思想和化歸思想解決問題的能力.8．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.【答案】（1）（2）的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.【詳解】試題分析：（I）本小題由，確定即得.（Ⅱ）通過聯(lián)立方程組化簡得到一元二次方程后應(yīng)用韋達定理，應(yīng)用弦長公式確定及圓的半徑表達式.進一步求得直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，確定得到的表達式，研究其取值范圍.這個過程中，可考慮利用換元思想，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式.試題解析：（I）由題意知，，所以，因此橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程得，由題意知，且，所以.由題意可知圓的半徑為由題設(shè)知，所以因此直線的方程為.聯(lián)立方程得，因此.由題意可知，而，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，所以，因此，所以最大值為.綜上所述：的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關(guān)于O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切于點E,F,求EDF的最小值.【答案】（Ⅰ）.(II).【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由得,由橢圓C截直線y=1所得線段的長度為,得,求得橢圓的方程為；（Ⅱ）由,解得,確定,,結(jié)合的單調(diào)性求的最小值.試題解析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，又當(dāng)時，，得，所以，因此橢圓方程為.（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程，得，由得.（*）且，因此，所以，又，所以整理得，因為，所以.令，故，所以.令，所以.當(dāng)時，,從而在上單調(diào)遞增，因此，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，此時，所以，由（*）得且.故，設(shè)，則，所以的最小值為，從而的最小值為，此時直線的斜率是.綜上所述：當(dāng)，時，取到最小值.【考點】圓與橢圓的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【名師點睛】圓錐曲線中的兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題．常見解法：①幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解．10．設(shè)橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.【答案】(1)橢圓方程為;(2)直線l的斜率的取值范圍為.【解析】試題分析：（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化簡條件：，即M再OA的中垂線上，，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系即可求出直線斜率的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（Ⅱ）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（Ⅰ）