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文檔簡介
2025屆上海市東實驗學(xué)校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,點(diǎn)為中點(diǎn),過點(diǎn)的直線與,所在直線分別交于點(diǎn),,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.2.設(shè)集合則()A. B. C. D.3.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),是的奇函數(shù),且,則的值為()A. B. C. D.4.若不等式對恒成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知函數(shù)是奇函數(shù),則的值為()A.-10 B.-9 C.-7 D.16.已知集合,,則=()A. B. C. D.7.集合的真子集的個數(shù)為()A.7 B.8 C.31 D.328.已知為實數(shù)集,,,則()A. B. C. D.9.已知滿足,則的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.等比數(shù)列的前項和為,若,,,,則()A. B. C. D.12.某程序框圖如圖所示,若輸出的,則判斷框內(nèi)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為數(shù)列的前項和,若,則____14.在中,角,,的對邊長分別為,,,滿足,,則的面積為__.15.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則的模為_______________.16.若且時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個整數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列,其前項和為,若對于任意,,且,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列(2)若數(shù)列滿足,且等差數(shù)列的公差為,存在正整數(shù),使得,求的最小值.19.(12分)如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,平面,,,是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面平面;(ⅠⅠ)求直線與平面所成的角的正弦值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,,其中.(1)求的值;(2)若,且,求的值.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為.(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到距離的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列,是數(shù)列的前項和,且、、成等比數(shù)列,.設(shè)數(shù)列的前項和為,且滿足.(1)求數(shù)列、的通項公式;(2)令,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由,,三點(diǎn)共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因為點(diǎn)為中點(diǎn),所以,又因為,,所以.因為,,三點(diǎn)共線,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以的最小值為1.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.2、C【解析】
直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡單題.3、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系,轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式,通過變形求解出的周期,進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù),,而函數(shù)是上的偶函數(shù),,,故為周期函數(shù),且周期為故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的周期性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求函數(shù)最值,即得解.【詳解】由,可知.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以.所以.故的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.5、B【解析】
根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式,先求得的值,然后結(jié)合的奇偶性,求得的值.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù),所以,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值,考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力,分析問題、解決問題的能力.6、C【解析】
計算,,再計算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生的計算能力.7、A【解析】
計算,再計算真子集個數(shù)得到答案.【詳解】,故真子集個數(shù)為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的真子集個數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力.8、C【解析】
求出集合,,,由此能求出.【詳解】為實數(shù)集,,,或,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查交集、補(bǔ)集的求法,考查交集、補(bǔ)集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.9、C【解析】
設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由圖可知當(dāng)過點(diǎn)的直線平行于軸時,此時成立;取所有負(fù)值都成立;當(dāng)過點(diǎn)時,取正值中的最小值,,此時;故的取值范圍為;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問題,解題時作出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵.對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.10、A【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大,屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因為,所以有:是方程的二實根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點(diǎn):等比數(shù)列.12、C【解析】程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表:KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項.點(diǎn)睛:使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時,要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征,決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計數(shù)時,注意要統(tǒng)計的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
當(dāng)時,由,解得,當(dāng)時,,兩式相減可得,即,可得數(shù)列是等比數(shù)列再求通項公式.【詳解】當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,兩式相減可得,即,即,故數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前項和與通項公式的關(guān)系,還考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】
由二次方程有解的條件,結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求,進(jìn)而可求,然后結(jié)合余弦定理可求,代入,計算可得所求.【詳解】解:把看成關(guān)于的二次方程,則,即,即為,化為,而,則,由于,可得,可得,即,代入方程可得,,,由余弦定理可得,,解得:(負(fù)的舍去),.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】
利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】解:由,得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
將不等式兩邊同時平方進(jìn)行變形,然后得到對應(yīng)不等式組,對的取值進(jìn)行分類,將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負(fù)時求參數(shù)范圍,列出對應(yīng)不等式組,即可求解出的取值范圍.【詳解】因為,所以,所以,所以,所以或,當(dāng)時,對且不成立,當(dāng)時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得;當(dāng)時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得,綜上可得的取值范圍是:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍,難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法:(1)分類討論法:分析參數(shù)的臨界值,對參數(shù)分類討論;(2)參變分離法:將參數(shù)單獨(dú)分離出來,再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系求解出參數(shù)范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由不等式可得,討論與的關(guān)系,即可得到結(jié)果;(2)先解得不等式,由集合M中有且僅有一個整數(shù),當(dāng)時,則M中僅有的整數(shù)為;當(dāng)時,則M中僅有的整數(shù)為,進(jìn)而求解即可.【詳解】解:(1)因為,所以,當(dāng),即時,;當(dāng),即時,;當(dāng),即時,.(2)由得,當(dāng),即時,M中僅有的整數(shù)為,所以,即;當(dāng),即時,M中僅有的整數(shù)為,所以,即;綜上,滿足題意的k的范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結(jié)果求參數(shù)范圍,考查分類討論思想與運(yùn)算能力.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;(2)根據(jù)條件可得,然后將用,,表示出來,根據(jù)是一個整數(shù),可得結(jié)果.【詳解】解:(1)令,,則即∴,∴成等差數(shù)列,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,假設(shè)成等差數(shù)列,其中,公差為,令,,∴,∴,即,∴成等差數(shù)列,∴數(shù)列是等差數(shù)列;(2),,若存在正整數(shù),使得是整數(shù),則,設(shè),,∴是一個整數(shù),∴,從而又當(dāng)時,有,綜上,的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推關(guān)系得通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì),關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,屬于難題.19、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接交于,得,所以面,又,得面,即可利用面面平行的判定定理,證得結(jié)論;(Ⅱ)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求的平面的一個法向量,利用向量和向量夾角公式,即可求解與平面所成角的正弦值.試題解析:(Ⅰ)連接BD交AC于O,易知O是BD的中點(diǎn),故OG//BE,BE面BEF,OG在面BEF外,所以O(shè)G//面BEF;又EF//AC,AC在面BEF外,AC//面BEF,又AC與OG相交于點(diǎn)O,面ACG有兩條相交直線與面BEF平行,故面ACG∥面BEF;(Ⅱ)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C、OD、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè)面ABF的法向量為,依題意有,,令,,,,,直線AD與面ABF成的角的正弦值是.20、(1)(2).【解析】
(1)根據(jù),由向量,的坐標(biāo)直接計算即得;(2)先求出,再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系解得.【詳解】(1)由題,向量,,則.(2),.,,整理得,化簡得,即,,,,即.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及向量平行,是常考題型.21、(1),.(2)【解析】
(1)根據(jù)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),即可求得的的普通方程,曲線的極坐標(biāo)方程為,利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:,即可求得答案;(2)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,即可求得答案.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)的普通方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:的直角坐標(biāo)方程為.(2)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為圓心到的距離為,點(diǎn)到的距離的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式和點(diǎn)到直線距離公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.22、(1),(2)證明見解析【解析】
(1)
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