2025屆廣東省東莞中學松山湖學校數(shù)學高一上期末考試試題含解析

2025屆廣東省東莞中學松山湖學校數(shù)學高一上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.2．同時擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和為的概率為A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則的圖像大致是（）A. B.C. D.4．下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是（）A. B.C. D.5．化簡=A.sin2+cos2 B.sin2-cos2C.cos2-sin2 D.±(cos2-sin2)6．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或7．的零點所在區(qū)間為（）A. B.C. D.8．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是A. B.C. D.9．已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長等于（

）A. B.C. D.10．用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區(qū)間是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式的解集為_________________.12．如圖，單位圓上有一點，點P以點P0為起點按逆時針方向以每秒弧度作圓周運動，5秒后點P的縱坐標y是_____________.13．若角的終邊與角的終邊相同，則在內(nèi)與角的終邊相同的角是______14．函數(shù)的值域是____.15．已知水平放置的△ABC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′=C′O′=2，∠B'A'C'=90°，則原△ABC的面積為______16．已知偶函數(shù)是區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的取值集合是__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以說明；（3）求的值.18．已知函數(shù)且（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）當時，函數(shù)值域是，求實數(shù)與自然數(shù)的值19．已知函數(shù).（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）是否存在，使得是奇函數(shù)？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.20．已知函數(shù)，（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值21．已知點，，動點P滿足若點P為曲線C，求此曲線的方程；已知直線l在兩坐標軸上的截距相等，且與中的曲線C只有一個公共點，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)最小正周期判斷AC，根據(jù)單調(diào)性排除B，進而得答案.【詳解】解：對于AC選項，，的最小正周期為，故錯誤；對于B選項，最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故錯誤；對于D選項，最小正周期為，當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，故正確.故選：D2、A【解析】本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是同時擲兩枚骰子，共有6×6種結(jié)果，而滿足條件的事件是兩個點數(shù)之和是5，列舉出有4種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果.【詳解】由題意知，本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是同時擲兩枚骰子，共有6×6=36種結(jié)果，而滿足條件的事件是兩個點數(shù)之和是5，列舉出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=.【點睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和滿足條件的事件發(fā)生的個數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點結(jié)合在一起，實際上是以概率問題為載體3、C【解析】判斷函數(shù)的奇偶性，再利用時，函數(shù)值的符號即可求解.【詳解】由，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除B、D.當，則，所以，，所以，排除A.故選：C4、B【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義辨析即可【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的形式可判斷B正確，A為一次函數(shù)，C為指數(shù)函數(shù)，D為對數(shù)函數(shù)故選：B5、A【解析】利用誘導公式化簡根式內(nèi)的式子，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及大小關(guān)系，即可化簡【詳解】根據(jù)誘導公式，化簡得又因為所以選A【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡，關(guān)鍵注意符號，屬于中檔題6、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當直線過原點時，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當直線不過原點時，設(shè)方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程，故選：D﹒7、C【解析】根據(jù)零點存在性定理進行判斷即可【詳解】，，，，根據(jù)零點存在性定理可得，則的零點所在區(qū)間為故選C【點睛】本題考查零點存性定理，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念，逐項判斷即可.【詳解】A中，由得，又，所以是偶函數(shù)；B中，定義域為R，又，所以是偶函數(shù)；C中，定義域為，又，所以是奇函數(shù)；D中，定義域為R，且，所以非奇非偶.故選D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解析】根據(jù)圓心角可以得出弧長與半徑的關(guān)系，根據(jù)面積公式可得出弧長【詳解】由題意可得，所以【點睛】本題考查扇形的面積公式、弧長公式，屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】構(gòu)造函數(shù)并判斷其單調(diào)性，借助零點存在性定理即可得解.【詳解】，令，在上單調(diào)遞增，并且圖象連續(xù)，，，在區(qū)間內(nèi)有零點，所以可以取的一個區(qū)間是.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或.【解析】利用一元二次不等式的求解方法進行求解.【詳解】因為，所以，所以或，所以不等式的解集為或.故答案為：或.12、##【解析】根據(jù)單位圓上點的坐標求出，從而求出，從而求出點P的縱坐標.【詳解】因為位于第一象限，且，故，所以，故，所以點P的縱坐標故答案為：13、【解析】根據(jù)角的終邊與角的終邊相同,得到,再得到,然后由列式,根據(jù),可得整數(shù)的值,從而可得.【詳解】∵（），∴（）依題意，得（），解得（），∴，∴在內(nèi)與角的終邊相同的角為故答案為【點睛】本題考查了終邊相同的角的表示,屬于基礎(chǔ)題.14、##【解析】由余弦函數(shù)的有界性求解即可【詳解】因為，所以，所以，故函數(shù)的值域為，故答案為：15、8【解析】根據(jù)“斜二測畫法”原理還原出△ABC，利用邊長對應(yīng)關(guān)系計算原△ABC的面積即可詳解】根據(jù)“斜二測畫法”原理，還原出△ABC，如圖所示；由B′O′＝C′O′＝2，∠B'A'C'＝90°，∴O′A′B′C′＝2，∴原△ABC的面積為SBC×OA4×4＝8故答案為8【點睛】本題考查了斜二測畫法中原圖和直觀圖面積的計算問題，是基礎(chǔ)題16、【解析】因為為偶函數(shù)，所以等價于，又是區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.解得.答案為：.點睛：本題屬于對函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的考查，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當時有；據(jù)此可以解不等式，由函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性就可以得自變量的大小關(guān)系.本題中可以利用對稱性數(shù)形結(jié)合即可.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)偶函數(shù)(3)【解析】（1）根據(jù)定義域的要求解出定義域即可；（2）奇偶性的證明首先定義域?qū)ΨQ，再求解，得，所以為偶函數(shù)；（3）按照對數(shù)計算公式求解試題解析：（1）由得所以函數(shù)的域為（2）因為函數(shù)的域為又所以函數(shù)為偶函數(shù)（3）18、（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）答案見解析，證明見解析；（3），.【解析】（1）利用奇偶性定義判斷奇偶性.（2）利用單調(diào)性定義，結(jié)合作差法、分類討論思想求的單調(diào)性.（3）由題設(shè)得且，結(jié)合（2）有在上遞減，結(jié)合函數(shù)的區(qū)間值域，求參數(shù)a、n即可.【小問1詳解】由題設(shè)有，可得函數(shù)定義域為，，所以為奇函數(shù).【小問2詳解】令，則，又，則，當時，，即，則在上遞增.當時，，即，則在上遞減.【小問3詳解】由，則，即，結(jié)合（2）知：在上遞減且值域為，要使在值域是，則且，即，所以，又，故.綜上，，【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，注意，即有在上遞減，再根據(jù)區(qū)間值域求參數(shù).19、（1）減函數(shù)，證明見解析；（2），理由見解析【解析】（1）由單調(diào)性定義判斷；（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)由求得，然后再由奇函數(shù)定義驗證【詳解】（1）是上的減函數(shù)設(shè)，則，所以，，即，，所以，所以是上的減函數(shù)（2）若是奇函數(shù)，則，，時，，所以，所以為奇函數(shù)所以時，函數(shù)為奇函數(shù)20、(Ⅰ)最小正周期是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(Ⅱ)最大值為，最小值為【解析】詳解】試題分析：(Ⅰ)將函數(shù)解析式化為，可得最小正周期為；將代入正弦函數(shù)的增區(qū)間可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．(Ⅱ)由可得，故，從而可得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為試題解析：（Ⅰ），所以函數(shù)的最小正周期是，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）當時，，所以，所以，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為點睛：解決三角函數(shù)綜合題（1）將f(x)化為的形式；（2）構(gòu)造；（3）逆用和（差）角公式得到（其中φ為輔助角）；（4）利用，將看做一個整體，并結(jié)合函數(shù)的有關(guān)知識研究三角函數(shù)的性質(zhì)21、（1）（2）或【解析】設(shè)，由動點P滿足，列出方程，即可求出曲線C的方程設(shè)直線l在坐標軸上的截距為a，當時，直線l與曲線C有兩個公共點，已知矛盾；當時，直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)由直線l與曲線C只有一個公共點，即可求出直線l的方程【詳解】設(shè)，點，，動點P滿足，整理得：，曲線C方程為設(shè)直線l的橫截距為a，則