數學教案：互斥事件

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2．3互斥事件eq\o(\s\up7(）,\s\do5（整體設計）)教學分析教科書通過實例定義了互斥事件、對立事件的概念．教科書通過類比頻率的性質,利用頻率與概率的關系得到了概率的幾個基本性質，要注意這里的推導并不是嚴格的數學證明，僅僅是形式上的一種解釋,因為頻率穩(wěn)定在概率附近僅僅是一種描述,沒有給出嚴格的定義,嚴格的定義，要到大學里的概率統(tǒng)計課程中才能給出．三維目標1．正確理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件以及互斥事件、對立事件的概念;通過事件的關系、運算與集合的關系、運算進行類比學習,培養(yǎng)學生的類比與歸納的數學思想．2．概率的幾個基本性質：(1)必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P（A)≤1；（2)當事件A與B互斥時，滿足加法公式:P(A＋B）＝P(A)＋P（B）；（3）若事件A與B為對立事件，則A＋B為必然事件，所以P（A＋B）＝P（A）＋P(B)＝1，于是有P(A)＝1－P(B)．3．正確理解和事件與積事件，以及互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系,通過數學活動，了解數學與實際生活的密切聯(lián)系，感受數學知識應用于現實世界的具體情境，從而激發(fā)學習數學的情趣．重點難點教學重點：概率的加法公式及其應用．教學難點:事件的關系與運算．課時安排1課時eq\o(\s\up7（),\s\do5（教學過程））導入新課思路1.體育考試的成績分為四個等級：優(yōu)、良、中、不及格，某班50名學生參加了體育考試，結果如下：優(yōu)85分及以上9人良75~84分15人中60～74分21人不及格60分以下5人在同一次考試中，某一位同學能否既得優(yōu)又得良？從這個班任意抽取一位同學,那么這位同學的體育成績?yōu)椤皟?yōu)良”(優(yōu)或良）的概率是多少？為解決這個問題，我們學習概率的基本性質，教師板書課題．思路2。(1）集合有相等、包含關系,如｛1,3}＝｛3，1}，｛2,4}?｛2,3，4，5}等;（2）在擲骰子試驗中，可以定義許多事件如：C1＝{出現1點}，C2＝{出現2點}，C3＝{出現1點或2點}，C4＝{出現的點數為偶數}，…。師生共同討論：觀察上例，類比集合與集合的關系、運算,你能發(fā)現事件的關系與運算嗎？這就是本堂課要講的知識概率的基本性質．思路3。全運會中某省派兩名女乒乓球運動員參加單打比賽，她們奪取冠軍的概率分別是eq\f(2，7)和eq\f（1，5），則該省奪取該次冠軍的概率是eq\f（2,7）＋eq\f(1，5)，對嗎？為什么？為解決這個問題，我們學習概率的基本性質．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題））在擲骰子試驗中，可以定義許多事件如：C1＝{出現1點},C2＝｛出現2點｝，C3＝｛出現3點}，C4＝｛出現4點},C5＝｛出現5點}，C6＝｛出現6點｝，D1＝｛出現的點數不大于1}，D2＝｛出現的點數大于3｝,D3＝｛出現的點數小于5}，E＝{出現的點數小于7｝，F＝{出現的點數大于6},G＝{出現的點數為偶數}，H＝｛出現的點數為奇數｝，…….類比集合與集合的關系、運算說明這些事件的關系和運算，并定義一些新的事件．1．如果事件C1發(fā)生，則一定發(fā)生的事件有哪些？反之，成立嗎？2．如果事件C2發(fā)生或C4發(fā)生或C6發(fā)生,就意味著哪個事件發(fā)生?3．如果事件D2與事件H同時發(fā)生，就意味著哪個事件發(fā)生？4．事件D3與事件F能同時發(fā)生嗎？5．事件G與事件H能同時發(fā)生嗎？它們兩個事件有什么關系？活動：學生思考或交流，教師提示點撥，事件與事件的關系要判斷準確，教師及時評價學生的答案．討論結果：1．如果事件C1發(fā)生,則一定發(fā)生的事件有D1，E，D3,H，反之，如果事件D1，E，D3,H分別成立,能推出事件C1發(fā)生的只有D1.2．如果事件C2發(fā)生或C4發(fā)生或C6發(fā)生，就意味著事件G發(fā)生．3．如果事件D2與事件H同時發(fā)生,就意味著C5事件發(fā)生．4．事件D3與事件F不能同時發(fā)生．5．事件G與事件H不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生．由此我們得到事件A,B的關系和運算如下：（1)如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時我們說事件B包含事件A（或事件A包含于事件B)，記為B?A（或A?B），不可能事件記為?，任何事件都包含不可能事件．(2)如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生，反之也成立（若B?A同時B?A）,我們說這兩個事件相等，即A＝B。如C1＝D1.(3）如果某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與B的并事件（或和事件），記為A∪B或A＋B.(4）如果某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與B的交事件（或積事件），記為A∩B或AB。(5)如果A∩B為不可能事件(A∩B＝?），那么稱事件A與事件B互斥，即事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生．(6)如果A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，即事件A與事件B在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生．繼續(xù)依次提出以下問題：1．概率的取值范圍是多少？2．必然事件的概率是多少？3．不可能事件的概率是多少？4．互斥事件的概率應怎樣計算?5．對立事件的概率應怎樣計算？活動：學生根據試驗的結果,結合自己對各種事件的理解，教師引導學生，根據概率的意義：1．由于事件的頻數總是小于或等于試驗的次數，所以，頻率在0~1之間，因而概率的取值范圍也在0～1之間．2．必然事件是在試驗中一定要發(fā)生的事件,所以頻率為1，因而概率是1.3．不可能事件是在試驗中一定不發(fā)生的事件,所以頻率為0,因而概率是0.4．當事件A與事件B互斥時,A∪B發(fā)生的頻數等于事件A發(fā)生的頻數與事件B發(fā)生的頻數之和，互斥事件的概率等于互斥事件分別發(fā)生的概率之和．5．事件A與事件B互為對立事件,A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件，則A∪B的頻率為1，因而概率是1，由4可知事件B的概率是1與事件A發(fā)生的概率的差．討論結果：1．概率的取值范圍是0~1之間，即0≤P(A)≤1.2．必然事件的概率是1。如在擲骰子試驗中,E＝｛出現的點數小于7},因此P(E)＝1.3．不可能事件的概率是0,如在擲骰子試驗中，F＝｛出現的點數大于6｝，因此P(F）＝0。4．當事件A與事件B互斥時，A∪B發(fā)生的頻數等于事件A發(fā)生的頻數與事件B發(fā)生的頻數之和，互斥事件的概率等于互斥事件分別發(fā)生的概率之和，即P(A∪B）＝P（A)＋P（B),這就是概率的加法公式,也稱互斥事件的概率加法公式．5．事件A與事件B互為對立事件，A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，P(A∪B）＝1.所以1＝P（A)＋P(B),P(B)＝1－P（A），P（A）＝1－P(B）．如在擲骰子試驗中，事件G＝｛出現的點數為偶數｝與H＝｛出現的點數為奇數}互為對立事件，因此P（G）＝1－P(H）．上述這些都是概率的性質，利用這些性質可以簡化概率的計算，下面我們看它們的應用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應用示例))思路1例1在課本§2古典概型的例1中，隨機地從2個箱子中各取1個質量盤，下面的事件A和事件B是否是互斥事件？（1）事件A為“總質量為20kg”,事件B為“總質量為30kg”；（2）事件A為“總質量為7。5kg”，事件B為“總質量超過10kg"；(3)事件A為“總質量不超過10kg”,事件B為“總質量超過10kg"；（4)事件A為“總質量為20kg”，事件B為“總質量超過10kg"．解：在（1)（2）(3)中,事件A與事件B不能同時發(fā)生,因此事件A與事件B是互斥事件．對于(4)中的事件A和事件B,隨機地從2個箱子中各取1個質量盤，當總質量為20kg時，事件A與事件B同時發(fā)生，因此,事件A與事件B不是互斥事件．點評：判斷互斥事件和對立事件，要緊扣定義，搞清互斥事件和對立事件的關系，兩個事件互斥是這兩個事件對立的必要條件.變式訓練1．一個射手進行一次射擊,試判斷下列事件哪些是互斥事件？哪些是對立事件?事件A：命中環(huán)數大于7環(huán)；事件B：命中環(huán)數為10環(huán)；事件C：命中環(huán)數小于6環(huán)；事件D：命中環(huán)數為6,7,8，9,10環(huán)．活動:教師指導學生，要判斷所給事件是對立事件還是互斥事件，首先將兩個概念的聯(lián)系與區(qū)別弄清楚，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是建立在互斥事件的基礎上，兩個事件中一個不發(fā)生,另一個必然發(fā)生．解:A與C互斥(不可能同時發(fā)生),B與C互斥，C與D互斥，C與D是對立事件（至少一個發(fā)生）．2．從一堆產品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數與次品件數,判斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品；(2）至少有1件次品和全是次品；(3）至少有1件正品和至少有1件次品;(4）至少有1件次品和全是正品．解：依據互斥事件的定義,即事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，知（1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件，又因為它們的并不是必然事件，所以它們不是對立事件．同理可以判斷：(2)中的2個事件不是互斥事件,也不是對立事件;(3）中的2個事件既不是互斥事件也不是對立事件;（4)中的2個事件既是互斥事件又是對立事件.例2從一箱產品中隨機地抽取一件產品，設事件A為“抽到的是一等品”，事件B為“抽到的是二等品”,事件C為“抽到的是三等品”，且已知P(A）＝0.7，P(B)＝0。1，P(C）＝0。05.求下列事件的概率：(1）事件D為“抽到的是一等品或三等品”;（2)事件E為“抽到的是二等品或三等品”．解：（1）事件D即事件A＋C,因為事件A為“抽到的是一等品”和事件C為“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式，得P（D）＝P(A＋C)＝P（A)＋P(C）＝0。7＋0.05＝0.75。(2)事件E即事件B＋C,因為事件B為“抽到的是二等品”和事件C為“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式,得P(E)＝P(B＋C)＝P（B)＋P(C）＝0.1＋0.05＝0.15.點評：容易看出，事件D＋E表示“抽到的產品是一等品或二等品或三等品”．事件D和事件E不是互斥事件,因此不滿足互斥事件的概率加法公式．事實上，P（D＋E）＝P(A）＋P（B）＋P(C)＝0.85，而P(D）＋P(E）＝［P（A）＋P(C)］＋[P(B)＋P(C)］＝0。9，“抽到的是三等品”的概率P（C）在P（D）和P（E)中各算了一次，因此，事件D＋E的概率P（D＋E）不等于P(D）＋P(E）．例3某地政府準備對當地的農村產業(yè)結構進行調整，為此政府進行了一次民意調查。100個人接受了調查，他們被要求在贊成調整、反對調整、對這次調整不發(fā)表看法中任選一項．調查結果如下表所示：男女總計贊成18927反對122537不發(fā)表看法201636總計5050100隨機選取一個被調查者，他對這次調整表示反對或不發(fā)表看法的概率是多少？解：用A表示事件“對這次調整表示反對",B表示事件“對這次調整不發(fā)表看法",則A和B是互斥事件,并且A＋B就表示事件“對這次調整表示反對或不發(fā)表看法"，由互斥事件的概率加法公式，得P(A＋B)＝P（A)＋P（B)＝eq\f（37，100)＋eq\f（36，100）＝eq\f（73，100)＝0。73.因此隨機選取的一個被調查者對這次調整表示反對或不發(fā)表看法的概率是0。73。點評：若事件C為“對這次調整表示贊成”,則其對立事件eq\x\to(C）為“對這次調整表示反對或不發(fā)表看法”,因此，隨機選取一個被調查者，他對這次調整表示反對或不發(fā)表看法的概率還可以按如下方法計算：P(eq\x\to（C)）＝1－P(C)＝1－eq\f(27,100)＝eq\f(73，100)＝0.73。變式訓練1．某學校成立了數學、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39,32,33個成員，一些成員參加了不止1個小組，具體情況如圖1所示．隨機選取1個成員：(1)他至少參加2個小組的概率是多少？（2）他參加不超過2個小組的概率是多少？圖1解:(1）從圖1中可以看出，3個課外興趣小組總人數為60。用A表示事件“選取的成員只參加1個小組"，則eq\x\to(A)就表示“選取的成員至少參加2個小組”，于是，P（eq\x\to(A)）＝1－P（A）＝1－eq\f(6＋8＋10，60）＝eq\f（3,5）＝0.6。因此，隨機選取的1個成員至少參加2個小組的概率是0。6。(2)用B表示事件“選取的成員參加3個小組”，則eq\x\to（B）就表示“選取的成員參加不超過2個小組”，于是，P(eq\x\to(B）)＝1－P（B）＝1－eq\f(8,60)＝eq\f(13，15）≈0.89。所以,隨機選取的1個成員參加不超過2個小組的概率約等于0.89.2．小明的自行車用的是密碼鎖,密碼鎖的四位數密碼由4個數字2,4，6,8按一定順序構成．小明不小心忘記了密碼中4個數字的順序，試問：隨機地輸入由2，4，6，8組成的一個四位數，不能打開鎖的概率是多少？解：用A表示事件“輸入由2，4，6，8組成的一個四位數，不是密碼”，A比較復雜，可考慮它的對立事件，即“輸入由2,4,6,8組成的一個四位數，恰是密碼”，它只有一種結果．利用樹狀圖可以列出輸入由2，4,6，8組成的一個四位數的所有可能結果(如圖2)．從圖中可以看出，所有可能結果數為24，并且每一種結果出現的可能性是相同的,這是一個古典概型．P（eq\x\to(A）)＝eq\f(1，24)，因此，圖2P(A)＝1－P（eq\x\to（A))＝eq\f(23，24）≈0。958,即小明隨機地輸入由2，4，6,8組成的一個四位數，不能打開鎖的概率約為0.958。思路2例1拋擲一骰子，觀察擲出的點數，設事件A為“出現奇數點”，B為“出現偶數點”，已知P(A)＝eq\f（1，2)，P（B)＝eq\f（1,2），求出“出現奇數點或偶數點"的概率．活動：學生思考或討論,教師引導，拋擲骰子，事件“出現奇數點”和“出現偶數點”是互斥的，可以運用概率的加法公式求解．解：記“出現奇數點或偶數點”為事件C,則C＝A∪B，因為A,B是互斥事件,所以P(C)＝P(A）＋P（B）＝eq\f（1,2）＋eq\f(1,2）＝1.出現奇數點或偶數點的概率為1。變式訓練拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數,設事件A為“出現奇數點”，事件B為“出現2點”，已知P（A）＝eq\f(1,2），P(B）＝eq\f(1，6)，求事件“出現奇數點或2點"的概率．解：“出現奇數點”是事件A，“出現2點”是事件B，A和B是互斥事件,“出現奇數點或2點”的概率為P(A）＋P(B)＝eq\f（1,2）＋eq\f(1,6）＝eq\f(2，3)。例2袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1，3）,得到黑球或黃球的概率是eq\f（5,12），得到黃球或綠球的概率也是eq\f（5,12),試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？活動：學生閱讀題目,交流討論，教師點撥，利用方程的思想及互斥事件、對立事件的概率公式求解．解：從袋中任取一球，記事件“摸到紅球"“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”為A,B，C,D，則有P（B∪C）＝P(B)＋P（C)＝eq\f（5，12），P（C∪D）＝P（C)＋P（D)＝eq\f（5,12），P（B∪C∪D)＝1－P（A）＝1－eq\f（1,3）＝eq\f（2,3),解得P(B）＝eq\f（1,4)，P（C)＝eq\f（1，6），P（D）＝eq\f（1，4）,即得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是eq\f(1，4），eq\f(1,6)，eq\f(1,4).變式訓練已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率是eq\f(1，7）,從中取出2粒都是白子的概率是eq\f(12,35)，現從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？答案:從盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰為取2粒白子的概率與2粒黑子的概率的和，即為eq\f（1，7)＋eq\f（12,35)＝eq\f（17，35)。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練))1．下列說法中正確的是（)．A．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大B．事件A，B同時發(fā)生的概率一定比事件A，B恰有一個發(fā)生的概率小C．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件答案：D2．課本練習1~4.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))1．要從男女學生共有36名的班級中選出2名委員，任何人都有同樣的當選機會．如果選得同性委員的概率等于eq\f（1，2)，求男女生相差幾名？解：設男生有x名，則女生有36－x名．選得2名委員都是男性的概率為eq\f(xx－1,36×35），選得2名委員都是女性的概率為eq\f（36－x35－x,36×35）。以上兩種選法是互斥的，又選得同性委員的概率等于eq\f(1，2),得eq\f(xx－1,36×35）＋eq\f（36－x35－x,36×35)＝eq\f(1,2).解得x＝15或x＝21，即男生有15名，女生有36－15＝21名，或男生有21名，女生有36－21＝15名．總之男女生相差6名．2．黃種人群中各種血型的人所占的比如下表所示：血型ABABO該血型的人所占比/%2829835已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是B型血，若小明因病需要輸血,問：(1）任找一個人，其血可以輸給小明的概率是多少？（2）任找一個人，其血不能輸給小明的概率是多少？解:(1)對任一人，其血型為A，B,AB，O型血的事件分別記為A′，B′，C′，D′,它們是互斥的．由已知,有P（A′)＝0.28,P（B′）＝0。29，P(C′)＝0.08，P（D′）＝0.35。因為B，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸給B型血的人”為事件B′＋D′。根據互斥事件的加法公式，有P（B′＋D′）＝P(B′）＋P(D′)＝0。29＋0。35＝0。64.(2)由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人"為事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′）＋P(C′)＝0。28＋0.08＝0。36，即任找一人,其血可以輸給小明的概率為0。64，其血不能輸給小明的概率為0。36.注：第(2)問也可以這樣解:因為事件“其血可以輸給B型血的人"與事件“其血不能輸給B型血的人”是對立事件，故由對立事件的概率公式，有P(eq\x\to(B′＋D′)）＝1－P（B′＋D′）＝1－0。64＝0。36.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結)）1．概率的基本性質是學習概率的基礎．不可能事件一定不出現，因此其概率為0，必然事件一定發(fā)生，因此其概率為1。當事件A與事件B互斥時，A∪B發(fā)生的概率等于A發(fā)生的概率與B發(fā)生的概率的和，從而有公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B)；對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生．2．在利用概率的性質時，一定要注意互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生;(2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生．而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生,其包括兩種情形：（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件是互斥事件的特殊情形．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業(yè))）習題3—2A組3。eq\o(\s\up7(），\s\do5（設計感想））本節(jié)課通過擲骰子試驗，定義了許多事件,并根據集合的運算定義了事件的運算，給出了互斥事件和對立事件以及它們的概率運算公式，在運用時要切實注意它們的使用條件，不可模棱兩可，搞清互斥事件和對立事件的關系，思路1和思路2都安排了不同層次的例題和變式訓練，對剛學的知識是一個鞏固和加強，同學們要反復訓練，安排的題目既有層次性,又有趣味性，適合不同基礎的學生,因此本節(jié)課授完后，同學們肯定受益匪淺．eq\o(\s\up7(）,\s\do5（備課資料））備選習題1．一口袋內裝有大小一樣的4個白球與4個黑球，從中一次任意摸出2個球．記摸出2個白球為事件A，摸出1個白球和1個黑球為事件B。問事件A和B是否為互斥事件？是否為對立事件?解：事件A和B互斥，因為從中一次可以摸出2只黑球,所以事件A和B不是對立事件．2．在一個盒子內放有10個大小相同的小球,其中有7個紅球、2個綠球、1個黃球，從中任取一個球，求:(1）得到紅球的概率；（2）得到綠球的概率；（3）得到紅球或綠球的概率；(4）得到黃球的概率；（5)記“得到紅球”和“得到綠球”這兩個事件為A,B，則A，B之間有什么關系？可以同時發(fā)生嗎？（6）事件D“得到紅球或綠球"與事件A，B有何聯(lián)系？答案：(1)eq\f（7，10)；（2）eq\f（1,5)；（3）eq\f（9,10)；（4)eq\f（1，10）;（5)互斥事件,不可以；（6）P（D）＝P(A）＋P(B)．3．在一只袋子中裝