數(shù)學教案：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差標準差

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征4．1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差4．2標準差eq\o(\s\up7（),\s\do5（整體設計))教學分析在義務教育階段,學生已經(jīng)通過實例，學習了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等，并能解決簡單的實際問題．在這個基礎上，高中階段還將進一步學習標準差，并在學習中不斷地體會它們各自的特點，達到在具體的問題中能根據(jù)情況有針對性地選擇一些合適的數(shù)字特征．三維目標1．能結(jié)合具體情境理解不同數(shù)字特征的意義,并能根據(jù)問題的需要選擇適當?shù)臄?shù)字特征來表達數(shù)據(jù)的信息，培養(yǎng)學生解決問題的能力．2．通過實例理解數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差,提高學生的運算能力．重點難點教學重點：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的計算、意義和作用．教學難點：根據(jù)問題的需要選擇適當?shù)臄?shù)字特征來表達數(shù)據(jù)的信息．課時安排1課時eq\o（\s\up7（)，\s\do5（教學過程)）導入新課思路1.如果中國女排與俄羅斯女排隊員的身高、年齡如下表：中國女排俄羅斯女排號碼身高/米年齡/歲號碼身高/米年齡/歲21.832521。902631。832441。843341.862451.942761。852471。882571.822581.922981.962391.902991。8229101。8024101.8229112。0424121。7824121。8019151。8126131.8328161.8124141.8526181。8722161。9032那么怎樣判斷中國女排和俄羅斯女排的隊員誰的身材更為高大?我們分別求出兩隊球員的平均身高，誰的平均身高數(shù)值大，誰的身材就更高大，教師點出課題：數(shù)據(jù)的數(shù)字特征．思路2。小明開設了一個生產(chǎn)玩具的小工廠，管理人員由小明、他的弟弟和六個親戚組成．工作人員由五個領工和十個工人組成．工廠經(jīng)營得很順利,需要增加一個新工人，小亮需要一份工作,應聘而來與小明交談．小明說：“我們這里報酬不錯，平均薪金是每周300元．你在學徒期每周75元，不過很快就可以加工資了．”小亮工作幾天后找到小明說:“你欺騙了我，我已經(jīng)找其他工人核對過了，沒有一個人的工資超過每周100元，平均工資怎么可能是一周300元呢?”小明說:“小亮啊，不要激動，平均工資是300元，你看，這是一張工資表．”工資表如下：人員小明小明弟弟親戚領工工人周工資24001000250200100人數(shù)116510合計24001000150010001000這到底是怎么了?教師點出課題：數(shù)據(jù)的數(shù)字特征．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))1．什么叫平均數(shù)？有什么意義?2．什么叫中位數(shù)？有什么意義？3．什么叫眾數(shù)？有什么意義?4．什么叫極差？有什么意義?5．什么叫標準差？有什么意義？6．什么叫方差？有什么意義？討論結(jié)果:1．一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商稱為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn，n)。平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的平均水平．任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì)．2．一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于中間位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢．3．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個，也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢．4．一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差，表示該組數(shù)據(jù)之間的差異情況．5．標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用公式s＝eq\r（\f（1，n）[x1－\x\to(x）2＋x2－\x\to(x）2＋…＋xn－\x\to（x）2］）來計算．可以用計算器或計算機計算標準差．標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大?。畼藴什畲?，數(shù)據(jù)的離散程度大；標準差小，數(shù)據(jù)的離散程度?。畼藴什畹娜≈捣秶荹0，＋∞）．樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的標準差的計算步驟：（1）計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用eq\x\to（x）來表示;（2）計算每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：xi－eq\x\to（x)(i＝1,2，…，n）；(3)計算xi－eq\x\to(x）(i＝1，2，…，n）的平方;（4）計算這n個xi－eq\x\to（x)(i＝1,2，…，n)的平方的平均數(shù)，即方差；（5)計算方差的算術平方根，即為樣本標準差．6．方差等于標準差的平方，即s2＝eq\f(1,n）[（x1－eq\x\to（x))2＋（x2－eq\x\to（x)）2＋…＋(xn－eq\x\to（x))2]，與標準差的作用相同,描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的程度的大?。讲畹娜≈捣秶牵?，＋∞）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應用示例）)思路1例1某公司員工的月工資情況如表所示:月工資/元80005000400020001000800700600500員工/人12461282052（1）分別計算該公司員工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．（2)公司經(jīng)理會選取上面哪個數(shù)來代表該公司員工的月工資情況？稅務官呢?工會領導呢？解:(1)經(jīng)過簡單計算可以得出:該公司員工的月工資平均數(shù)為1373元,中位數(shù)為800元，眾數(shù)為700元．(2)公司經(jīng)理為了顯示本公司員工的收入高,采用平均數(shù)1373元作為月工資的代表；而稅務官希望取中位數(shù)800元，以便知道目前的所得稅率對該公司的多數(shù)員工是否有利；工會領導則主張用眾數(shù)700元作為代表,因為每月拿700元的員工數(shù)最多．點評:平均數(shù)是將所有的數(shù)據(jù)都考慮進去得到的度量,它是反映數(shù)據(jù)平均水平最常用的統(tǒng)計量;中位數(shù)將觀測數(shù)據(jù)分成相同數(shù)目的兩部分，其中一部分都比這個數(shù)小而另一部分都比這個數(shù)大,對于非對稱的數(shù)據(jù)集,中位數(shù)更實際地描述了數(shù)據(jù)的中心；當變量是分類變量時,眾數(shù)往往經(jīng)常被使用.變式訓練1．下表為某班40名學生參加“環(huán)保知識競賽”的得分統(tǒng)計表：分數(shù)012345人數(shù)4710x8y請參照這個表解答下列問題：（1）用含x，y的代數(shù)式表示該班參加“環(huán)保知識競賽”的班平均分f；(2）若該班這次競賽的平均分為2。5分,求x，y的值．解:(1）f＝eq\f（3x＋5y＋59,40)；（2)依題意,有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3x＋5y＝41，，x＋y＝11，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7,,y＝4.）)2。某風景區(qū)對5個旅游景點的門票價格進行了調(diào)整,據(jù)統(tǒng)計，調(diào)價前后各景點的游客人數(shù)基本不變．有關數(shù)據(jù)如下表所示：景點ABCDE原價/元1010152025現(xiàn)價/元55152530平均日人數(shù)/千人11232(1)該風景區(qū)調(diào)整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平，問風景區(qū)是怎樣計算的？（2）游客認為調(diào)整收費后風景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價前，實際上增加了約9.4%，問游客是怎樣計算的？(3)你認為風景區(qū)和游客哪一方的說法較能反映整體實際？解:（1)風景區(qū)是這樣計算的：調(diào)整前的平均價格：eq\f(10＋10＋15＋20＋25,5）＝16（元），調(diào)整后的平均價格:eq\f（5＋5＋15＋25＋30，5）＝16（元)，因為調(diào)整前后的平均價格不變，平均日人數(shù)不變，所以平均日總收入不變．(2）游客是這樣計算的:原平均日總收入：10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160(千元），現(xiàn)平均日總收入：5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175（千元)，所以平均日總收入增加了eq\f(175－160,160）≈9。4%。(3)游客的說法較能反映整體實際.例2甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40mm的零件．為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取10件進行測量，結(jié)果如下表所示。甲機床直徑/mm40。039.840.140。239。940。040.239。840。239.8乙機床直徑/mm40.040.039。940。039。940。140.140.140.039。9分別計算上面從甲、乙兩臺機床抽取的10件產(chǎn)品直徑的標準差，并判斷哪臺機床生產(chǎn)過程更穩(wěn)定．解:從數(shù)據(jù)很容易得到甲、乙兩臺機床生產(chǎn)的這10件產(chǎn)品直徑的平均值eq\x\to（x)甲＝eq\x\to(x)乙＝40(mm）．我們分別計算它們直徑的標準差:s甲＝eq\r(［40－402＋39.8－402＋…＋39.8－402］/10）＝0.161（mm），s乙＝eq\r（［40－402＋40－402＋…＋39.9－402]/10)＝0.077(mm）．由上面的計算可以看出：甲、乙兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品直徑的平均值相同，而甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品直徑的標準差為0。161mm，比乙機床的標準差0.077mm大,說明乙機床生產(chǎn)的零件要更標準些，即乙機床的生產(chǎn)過程更穩(wěn)定一些．點評:對數(shù)據(jù)數(shù)字特征內(nèi)容的評價，應當更多地關注對其本身意義的理解和在新情境中的應用,而不是記憶和使用的熟練程度。變式訓練設有容量為n的樣本x1，x2，…，xn,其標準差為sx,另有容量為n的樣本y1，y2,…，yn,其標準差為sy，且yk＝3xk＋5(k＝1，2,…,n），則下列關系正確的是（）．A．sy＝3sx＋5B．sy＝3sxC．sy＝eq\r(3）sxD．sy＝eq\r（3)sx＋5答案：B思路2例1某企業(yè)員工的月工資如下(單位：元)：800800800800800100010001000100010001000100010001000100012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200150015001500150015001500150020002000200020002000250025002500(1）計算該公司員工的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）假如你去這家企業(yè)應聘職位，你會如何看待員工的收入情況？分析：（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義可以分別求得；(2）主要根據(jù)月工資的平均數(shù)來看待員工的收入情況，當然也要考慮中位數(shù)和眾數(shù)．解:（1）公司員工的月工資的平均數(shù)為eq\f（5×800＋10×1000＋20×1200＋7×1500＋5×2000＋3×2500，50）＝1320(元)，中位數(shù)為1200元，眾數(shù)為1200元．(2)由于該公司員工的月工資的中位數(shù)和眾數(shù)與平均數(shù)比較接近，所以主要考慮月工資的平均數(shù)1320元作為月工資的代表，這樣以該公司月平均工資1320元與同類企業(yè)的工資待遇作比較即可．點評：大多情況下人們會把眼光僅停留在工資表中的最大與最小值處，把最高工資作為一個單位工資的評價,這是一種錯誤的評價方式.變式訓練1．已知10個數(shù)據(jù)：1203，1201,1194，1200，1204,1201，1199，1204，1195，1199，它們的平均數(shù)是（）．A．1400B．1300C．1200D．1100答案:C2．某公司有15名員工，他們所在的部門及相應每人所創(chuàng)的年利潤(萬元)如下表所示:部門ABCDEFG人數(shù)1124223每人所創(chuàng)的年利潤2052。52.11。51。52根據(jù)表中提供的信息填空：（1）該公司每人所創(chuàng)的年利潤的平均數(shù)是__________萬元．（2）該公司每人所創(chuàng)的年利潤的中位數(shù)是__________萬元．(3）你認為應該使用平均數(shù)和中位數(shù)中哪一個來描述該公司每人所創(chuàng)的年利潤的一般水平？答案：（1)3。36（2）2。1(3)中位數(shù).例2對甲、乙的學習成績進行抽樣分析,各抽5門功課,得到的觀測值如下：甲6080709070乙8060708075（1）甲、乙的平均成績誰較好?(2）誰的各門功課發(fā)展較平衡？分析：(1)利用公式計算平均數(shù)；（2)計算方差來分析．解：（1）∵eq\x\to(x）甲＝eq\f（1,5）(60＋80＋70＋90＋70)＝74,eq\x\to(x）乙＝eq\f（1，5）（80＋60＋70＋80＋75）＝73,∴甲的平均成績較好．（2)seq\o\al(2，甲)＝eq\f（1,5）(142＋62＋42＋162＋42)＝104，seq\o\al(2,乙)＝eq\f（1，5）(72＋132＋32＋72＋22)＝56，∵seq\o\al(2,甲）＞seq\o\al（2,乙)，∴乙的各門功課發(fā)展較平衡．點評：平均數(shù)和方差是樣本的兩個重要數(shù)字特征,方差越大，表明數(shù)據(jù)越分散，相反地，方差越小，數(shù)據(jù)越集中、穩(wěn)定；平均數(shù)越大表明數(shù)據(jù)的平均水平越高，平均數(shù)越小表明數(shù)據(jù)的平均水平越低.變式訓練已知一個樣本中含有5個數(shù)據(jù)3，5，7,4,6，則樣本方差為(）．A．1B．2C．3D．4解析:∵eq\x\to（x)＝eq\f(3＋5＋7＋4＋6,5）＝5,∴方差s2＝eq\f（1，5)［(5－3）2＋(5－5）2＋（5－7）2＋(5－4）2＋(5－6）2]＝2。答案：Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練))1．下列說法正確的是（）．A．甲、乙兩個班期末考試數(shù)學平均成績相同,這表明這兩個班數(shù)學學習情況一樣B．期末考試數(shù)學成績的方差甲班比乙班的小，這表明甲班的數(shù)學學習情況比乙班好C．期末考試數(shù)學平均成績甲、乙兩班相同，方差甲班比乙班大，則數(shù)學學習甲班比乙班好D．期末考試數(shù)學平均成績甲、乙兩班相同,方差甲班比乙班小，則數(shù)學學習甲班比乙班好答案：D2．在一次數(shù)學測驗中，某小組14名學生分別與全班的平均分85分的差是：2,3，－3，－5，12,12,8,2，－1,4，－10,－2,5，5，那么這個小組的平均分是__________分．()．A．97.2 B．87.29 C．92。32 D．82。86答案：B3．甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚杭椎某煽儹h(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664s1,s2,s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有()．A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s2＞s3＞s解析：方法一：計算得eq\x\to(x）甲＝eq\x\to(x)乙＝eq\x\to（x)丙＝8。5,seq\o\al(2，1)＝eq\f(25,20），seq\o\al(2,2）＝eq\f（28,20),seq\o\al（2,3)＝eq\f（21，20），則s2＞s1＞s3；方法二：可以計算三名運動員成績的平均數(shù)都等于8。5，觀察對比三個表格，相比之下丙的環(huán)數(shù)集中在8.5周圍，比甲和乙要穩(wěn)定，乙的環(huán)數(shù)比甲更分散，則有s1＞s3,s2＞s1.答案：B4．某人射擊5次，分別為8，7,6，5，9環(huán)，則這個人射擊命中的平均環(huán)數(shù)為__________．答案：75．華山鞋廠為了了解中學生穿鞋的鞋號情況，對某中學八年級(1)班的20名男生所穿鞋號的統(tǒng)計如下表：鞋號23。52424。52525。526人數(shù)344711那么這20名男生鞋號數(shù)據(jù)的平均數(shù)是__________，中位數(shù)是__________，眾數(shù)是__________，在平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中，鞋廠最感興趣的是__________．答案：24。5524.525眾數(shù)6．某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是__________．答案：－3eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升）)從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下（單位：cm)：甲25414037221419392142乙27164427441640401640問:(1）哪種玉米的苗長得高?（2)哪種玉米的苗長得齊？解：（1)∵eq\x\to(x）甲＝eq\f(1，10）(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq\f(1，10)×300＝30(cm)，eq\x\to(x)乙＝eq\f（1,10)（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝eq\f（1,10）×310＝31(cm)，∴eq\x\to（x）甲＜eq\x\to(x）乙,即乙種玉米的苗長得高．(2)∵seq\o\al（2,甲）＝104.2（cm2），seq\o\al（2,乙）＝128。8(cm2），∴seq\o\al(2,甲）＜seq\o\al（2，乙），即甲種玉米的苗長得齊．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)）)本節(jié)課學習了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的計算、意義和作用．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)))習題1－41,2。eq\o(\s\up7（），\s\do5（設計感想）)本節(jié)教學設計依據(jù)課程標準，在義務教育階段的基礎上，進一步掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的計算、意義和作用,重在應用．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（備課資料））備選習題1．現(xiàn)有同一型號的汽車50輛．為了了解這種汽車每耗油1L所行路程的情況，要從中抽出5輛汽車在同一條件下進行耗油1L所行路程的試驗，得到如下數(shù)據(jù)（單位:km)：11,15，9,12,13.則樣本方差是（)．A．20B．12C．4D．2解析：可以計算得平均數(shù)eq\x\to(x）＝eq\f(11＋15＋9＋12＋13,5)＝12，則方差s2＝eq\f(1,5)[（11－12）2＋（15－12)2＋（9－12)2＋（12－12)2＋（13－12）2］＝4。答案:C2．某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘)分別為x，y,10,11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則｜x－y｜的值為()．A．1B．2C．3D．4解析：由平均數(shù)為10，得(x＋y＋10＋11＋9)×eq\f（1,5)＝10，整理得x＋y＝20；又由于方差為2，則eq\f(1，5）×[（x－10）2＋(y－10）2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2］＝2，整理得x2＋y2－20(x＋y)＋192＝0，所以x2＋y2＝208，則2xy＝192。故|x－y｜＝eq\r(x－y2)＝eq\r(x2＋y2－2xy)＝4。答案:D3．某農(nóng)科所為尋找高產(chǎn)穩(wěn)定的油菜品種，選了三個不同的油菜品種進行試驗，每一品種分別在五塊試驗田中試種．每塊試驗田的面積為0。7公頃，產(chǎn)