2025屆廣東省聯(lián)考高三上學(xué)期10月第一次模擬（一模）數(shù)學(xué)試題答案

第1頁/共1頁2025屆廣東省省內(nèi)兩校十月第一次模擬2024.10命題人：客路中學(xué)龍門中學(xué)教研組注意事項:1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.4.誠信考試，拒絕舞弊.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性計算集合A,絕對值不等式化簡得出集合B,再根據(jù)并集定義計算即得.【詳解】集合，則，故選:D．2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：命題“，”的否定是“，”.故選：D.3.已知直線過點和，且在軸上的截距是，則實數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得直線的方程，代入點的坐標(biāo)，可求的值.【詳解】因為直線在軸上的截距是1，所以過點，又直線過點，所以直線的斜率為，所以直線的方程為：，即直線方程為，又直線過點，所以，解得．故選：D.4.函數(shù)零點的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合思想，分別作出和的圖象即可求解.【詳解】解：由x+1>0x≠0，得函數(shù)的定義域為，函數(shù)零點的個數(shù)零點個數(shù)，即函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，如圖所示：數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為．故選:C．5.如圖，三棱錐中，，，，點為中點，點N滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】.故選：C.6.函數(shù)結(jié)構(gòu)是值得關(guān)注的對象為了研究的結(jié)構(gòu)，兩邊取對數(shù)，可得，即，兩邊取指數(shù)，得，即，這樣我們就得到了較為熟悉的函數(shù)類型結(jié)合上述材料，的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對，兩邊取對數(shù)，得，令gx=xlnx(x>0)，分析單調(diào)性，可求得最小值.【詳解】因為，兩邊取對數(shù)，可得，即，令gx=xlnx(x>0)，則，當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，g'x=lnx+1>0∴，∴，y>e?1e，的最小值為，故選：C.【點睛】7.常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為．開始記錄時，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則滿足的關(guān)系式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出等式即可得答案．【詳解】設(shè)開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，則512天后，甲的質(zhì)量為：，乙的質(zhì)量為：，由題意可得，所以．故選：B．8.在矩形中，，，將沿著翻折，使點在平面上的投影恰好在直線AB上，則此時二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖所示，作于，于，求得，，利用向量的夾角公式可求二面角的余弦值.【詳解】如圖所示，作于，于.在中，，，在中，，，同理可得，，，因為，所以，又因為，所以.因為與的夾角即為二面角的大小，所以二面角的余弦值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，為常數(shù)），則下列說法正確的是（）A. B.C.在上是單調(diào)減函數(shù) D.函數(shù)僅有一個零點【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)，求得，得到，求得的值，可得判定A正確；結(jié)合由，可得判定B不正確；結(jié)合和都是增函數(shù)，及為在上的奇函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，可判定C不正確；結(jié)合和函數(shù)的單調(diào)性，得到僅有一個零點，可得判定D正確.【詳解】對于A中，因為為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，可得，解得，所以，則，所以A正確；對于B中，由，所以B不正確；對于C中，當(dāng)時，，因為函數(shù)和都是增函數(shù)，所以在是單調(diào)遞增函數(shù)，又因為為在上的奇函數(shù)，所以在也是遞增函數(shù)，所以C不正確；對于D中，由，且和是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)為定義在上僅有一個零點，所以D正確.故選：AD.10.已知是自然對數(shù)的底數(shù)，，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線又不與該直線相交，則（）A. B.的值域為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據(jù)函數(shù)過原點和無限接近直線可判斷；對于B，根據(jù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性，值域可判斷，對于C，根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；對于D，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，再根據(jù)函數(shù)的為偶函數(shù)可判斷.【詳解】對于A，因為函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，所以，解得，則．又因為函數(shù)無限接近直線但又不與該直線相交，所以，則，故A錯誤．對于B，則因為，為偶函數(shù)．當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為，故B正確；對于C，當(dāng)時，，因為函數(shù)為減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，因為，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得，故D正確.故選:BD．11.如圖，已知正方體的棱長為，點分別為棱的中點，，則（）A.無論取何值，三棱錐的體積始終為B若，則C.點到平面的距離為D.若異面直線與所成的角的余弦值為．則【答案】AB【解析】【分析】對于A，利用等體積法及棱錐的體積公式即可求解；對于B，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積公式即可求解；對于C，由B選項建立的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面的法向量，再利用點到平面的距離公式即可求解；對于D，由B選項建立的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出直線與的方向向量，再利用向量的夾角與線線角的關(guān)系即可求解；【詳解】對于A，因為正方體的棱長為，點分別為棱的中點,所以,在正方體中，平面，由等體積法知，三棱錐=三棱錐=，所以無論取何值，三棱錐的體積始終為，故A正確；對于B,由題意可知，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示因為正方體的棱長為，所以，，，，,由，得，設(shè)，則所以，所以，所以，解得，所以，所以，所以，故B正確；對于C，由B選項建立的空間直角坐標(biāo)系知，，，，設(shè)，則，，所以，所以，解得，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則,即，令則，所以，所以點到平面的距離為，由于無法確定，所以點到平面的距離無法確定，故C錯誤；對于D,由B選項建立的空間直角坐標(biāo)系知，，，,，，,設(shè)，則，，所以，所以，解得，所以，所以，因為異面直線與所成的角的余弦值為，則，即，解得或（舍），故D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)為奇函數(shù)，則__________【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱得出,再應(yīng)用奇函數(shù)的定義計算求出,計算即可求值.【詳解】由于函數(shù)的定義域滿足

，故定義域為

，根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可知

，∴

，

，∴

，故

，故答案為：

．13.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則______.【答案】44【解析】【分析】利用通項公式，進行基本量代換求出，再利用前n項和公式和性質(zhì)求出.【詳解】設(shè)公差為，有，可得，有，.故答案為：44【點睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換．14.設(shè)，求的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】由配方化簡可得d可看作點和到直線上的點的距離之和，作關(guān)于直線對稱的點，連接，計算可得所求最小值.【詳解】解：，即d可看作點和到直線上的點的距離之和，作關(guān)于直線對稱的點，由題意得，解得故，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)研究在室溫下泡制好的茶水要等多久飲用，可以產(chǎn)生符合個人喜好的最佳口感，這是很有意義的事情.經(jīng)研究：把茶水放在空氣中冷卻，如果茶水開始的溫度是，室溫是，那么后茶水的溫度單位：，可由公式求得，其中是常數(shù)，為了求出這個的值，某數(shù)學(xué)建模興趣小組在室溫下進行了數(shù)學(xué)實驗，先用的水泡制成的茶水，利用溫度傳感器，測量并記錄從開始每一分鐘茶水的溫度，多次實驗后搜集整理到了如下的數(shù)據(jù)：（1）請你利用表中的一組數(shù)據(jù)，求的值，并求出此時的解析式(計算結(jié)果四舍五入精確到；（2）在室溫環(huán)境下，王大爺用的水泡制成的茶水，想等到茶水溫度降至?xí)r再飲用，根據(jù)（1）的結(jié)果，王大爺要等待多長時間計算結(jié)果四舍五入精確到分鐘)．參考數(shù)據(jù)：，，是自然對數(shù)底數(shù)，【答案】（1），；（2）要等待約分鐘【解析】【分析】（1）將給定數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型，求出常數(shù)及對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系.（2）由（1）中關(guān)系式，求出時的值.【小問1詳解】依題意，，且當(dāng)，時，，則，，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時，，即，整理得，解得，王大爺要等待約分鐘.16.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用公式，即可求數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知，再利用裂項相消法求和.【小問1詳解】因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得：，即，所以，且符合，所以的通項公式為.【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以.17.三棱臺中，，平面平面ABC，，與交于D．（1）證明：平面；（2）求異面直線與DE的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由題意和三棱臺的結(jié)構(gòu)特征可得，進而證得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理與性質(zhì)證得、，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線線距，即可求解.【小問1詳解】三棱臺中，，則，有，得，所以，又，所以在平面內(nèi)，，有，平面平面，所以平面．【小問2詳解】已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由平面ABC，得.以B為坐標(biāo)原點的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．則有，，因為，所以，設(shè)向量，且滿足：，則有，令，在的投影數(shù)量為，異面直線與DE的距離.18.已知直線，，，記，，．（1）當(dāng)時，求原點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)；（2）求證：不論m為何值，總有一個頂點為定點；（3）求面積的取值范圍可直接利用對勾函數(shù)的單調(diào)性【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】當(dāng)時，直線的方程為：，設(shè)原點關(guān)于直線的對稱點為，利用

斜率與中點坐標(biāo)公式列方程求解即可；由題意可知，恒過點，即可證明．由題可得與垂直，得到角C為直角，故，然后利用點到直線的距離公式得到，，再結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)時，直線

的方程為：，且斜率，設(shè)原點關(guān)于直線

的對稱點為

，則由

斜率與中點坐標(biāo)公式列方程得：，解得：，故所求點的坐標(biāo)為；直線，即恒過點，，即恒過點，故，故總有一個頂點為定點；由條件可得與垂直，故角C為直角，，等于點B到的距離，由的方程聯(lián)立可得，，等于點到直線距離，，三角形面積，當(dāng)時，有

有最大值；當(dāng)時，有最小值，時，S取最大值，時S取最小值，故面積的取值范圍．19.已知函數(shù)是偶函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，（1）求的最小值（2）當(dāng)時，（i）令，，求的值域（ii）記，已知，，且，當(dāng)取最大值時，求的值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由函數(shù)是偶函數(shù)，得到，再代入所求式子，表示為的二次函數(shù)求最值；（2）（?。┯蓷l件可知，，求函數(shù)d的解析式，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的值域；（ⅱ）利用反證法進行證明.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，根據(jù)偶函數(shù)的定義：，f?x=fx，即即：上式對任意恒成立，這等價于．，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，．所以的最小值為．【小問2詳解】（?。┯桑?）可得：，由于，為偶函數(shù)，故只需考慮時，的值域，，，令，，，∴，單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，的值域為，，．故的值域為．（ⅱ）對于常數(shù)，令，為偶函數(shù)．下面先證明一個結(jié)論：在上單調(diào)遞增．證明：．由(2)可得：為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，證畢．對于，，且，先證明：當(dāng)取最大值時，，，，中最多只有一個，其余的數(shù)要么等于，要么等于．用反證法，假如當(dāng)取最大值時，，，，中存在兩個