第11題 與圓有關(guān)的最值問題（解析）

第11題與圓有關(guān)的最值問題一、原題呈現(xiàn)【原題】已知點(diǎn)在圓上,點(diǎn)、,則（）A.點(diǎn)到直線的距離小于B.點(diǎn)到直線的距離大于C.當(dāng)最小時(shí),D.當(dāng)最大時(shí),【答案】ACD【解析】圓的圓心為,半徑為,直線的方程為,即,圓心到直線的距離為,所以,點(diǎn)到直線的距離的最小值為,最大值為,A選項(xiàng)正確,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí),與圓相切,連接、,可知,,,由勾股定理可得,CD選項(xiàng)正確.故選ACD.【就題論題】本題涉及的與圓有關(guān)的最值問題是高考的熱點(diǎn)問題.由于圓既能與平面幾何相聯(lián)系,又能與圓錐曲線相結(jié)合,命題方式比較靈活,故與圓相關(guān)的最值問題備受命題者的青睞.在運(yùn)動(dòng)變化中,動(dòng)點(diǎn)到直線、圓的距離會(huì)發(fā)生變化,圓上點(diǎn)到動(dòng)直線的距離也會(huì)發(fā)生變化,在變化過程中,就會(huì)出現(xiàn)一些最值問題,如距離、角最小,最大等.這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合思想可直接得到相關(guān)結(jié)論,解題時(shí)便可利用這些結(jié)論直接確定最值問題,故在此提醒考生解題時(shí)千萬不要得“意”忘“形”.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系,考查直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：中等【考情分析】圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系一直是高考熱點(diǎn),通常作為客觀題考查,長(zhǎng)度、面積的計(jì)算,參數(shù)問題及最值問題是考查熱點(diǎn).【得分秘籍】(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．注意圓的弦長(zhǎng)或切線段的長(zhǎng)通常利用勾股定理轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離或點(diǎn)到圓心距離(2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a,b)的距離平方的最值問題．(3)與距離最值有關(guān)的常見的結(jié)論：=1\*GB3①圓外一點(diǎn)到圓上距離最近為,最遠(yuǎn)為；=2\*GB3②過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長(zhǎng)為圓的直徑,最短為該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；=3\*GB3③直線與圓相離,則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為圓心到直線的距離,最近為；=4\*GB3④過兩定點(diǎn)的所有圓中,面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的面積.=5\*GB3⑤直線外一點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離中,最短的是點(diǎn)到直線的距離；=6\*GB3⑥兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在兩條平行線上運(yùn)動(dòng),這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的最短距離為兩條平行線間的距離.(4)與圓有關(guān)的面積的最值問題或圓中與數(shù)量積有關(guān)的最值問題,一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系,借助函數(shù)求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化思想,利用數(shù)形結(jié)合思想求解.【易錯(cuò)警示】不善于借助圖形進(jìn)行分析,導(dǎo)致解法方法錯(cuò)誤不善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,導(dǎo)致運(yùn)算量過大,以致運(yùn)算失誤三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）一、單選題1．（2021山東省淄博市高三一模）圓截直線所得的最短弦長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】直線過定點(diǎn),圓可化為,故圓心為,半徑為.,所以點(diǎn)在圓內(nèi),和的距離為,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知,圓截直線所得的最短弦長(zhǎng)為.故選A2．（2021江蘇省百師聯(lián)盟高三下學(xué)期3月聯(lián)考）已知圓,過原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn),則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),直線的方程為（）A．或 B．或C．或 D．【答案】A【解析】圓,因?yàn)闉榈妊切?,當(dāng)時(shí),的面積最大,此時(shí)圓心到直線的距離等于,設(shè)直線方程,解得或,直線的方程為或,故選.3．（2021湖南省郴州市高三下學(xué)期3月第三次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）設(shè)點(diǎn)在圓外,若圓上存在點(diǎn),使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示,∵上存在點(diǎn)使得,則的最大值大于或者等于時(shí),一定存在點(diǎn),使得,當(dāng)與圓相切時(shí),取得最大值,此時(shí),,解得：,又在圓外,,綜上可得,．故選D．4．（2021福建省龍巖市高三5月模擬）已知是圓：外一點(diǎn),過作圓的兩切線,切點(diǎn)為,,則的最小值為（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則圓的半徑為,設(shè),則,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為．故選．5．（2021福建省寧德市高三第一次質(zhì)量檢查）已知點(diǎn),若過點(diǎn)的直線l交圓于C：于A,B兩點(diǎn),則的最大值為（）A．12 B． C．10 D．【答案】A【解析】由已知圓的方程可得：圓心,半徑為,設(shè)的中點(diǎn)為,則由圓的性質(zhì)可得：,即,而,,所以,即點(diǎn)的軌跡方程為,設(shè)為的中點(diǎn),則,半徑為1,所以的最大值,又,所以的最大值為12,故選A6．（2021河北省邯鄲市高三三模）已知點(diǎn)P在直線上,過點(diǎn)P作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則點(diǎn)到直線AB距離的最大值為（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】設(shè),則,以O(shè)P為直徑的圓的方程是,與圓O的方程相減,得直線AB的方程為,即,因?yàn)?所以,代入直線AB的方程,得,即,當(dāng)且,即,時(shí)該方程恒成立,所以直線AB過定點(diǎn)N(1,1),點(diǎn)M到直線AB距離的最大值即為點(diǎn)M,N之間的距離,,所以點(diǎn)M(3,2)到直線AB距離的最大值為.故選D7．（2021江蘇省蘇州市高三5月三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)Q為圓M：上一動(dòng)點(diǎn),過圓M外一點(diǎn)P向圓M引-條切線,切點(diǎn)為A,若|PA|=|PO|,則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè),則有,所以,設(shè)圓心到直線2x+2y=1的距離為d,,則有PQ.故選C8．（2021山東省濟(jì)寧市高三二模）“曼哈頓距離”是由赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ)．例如在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)、的曼哈頓距離為：．若點(diǎn),點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn),則.①當(dāng)時(shí),即當(dāng),,因?yàn)?所以,,當(dāng)時(shí),取得最大值；②當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),,因?yàn)?則,當(dāng)時(shí),取得最大值.綜上所述,的最大值為.故選D.9．（2021山東省日照市高三第二次模擬）若實(shí)數(shù)滿足條件,則的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的幾何意義即圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率,由圖知,斜率的范圍處在圓的兩條切線斜率之間,其中AC斜率不存在,設(shè)AB的斜率為k,則AB的方程為,由切線性質(zhì)有,,解得,故的取值范圍為,故選C10．（2021江蘇省南通市高三階段性測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中,給定兩點(diǎn),,點(diǎn)在軸的正半軸上移動(dòng),當(dāng)取最大值時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)過、兩點(diǎn)的圓與軸相切時(shí),切點(diǎn)即為所求點(diǎn).易得過、兩點(diǎn)的直線方程為,其與軸交點(diǎn)為,易得,,由切割線定理得,所以,進(jìn)而可得,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.故選C.11．（2021湖南省懷化市高三下學(xué)期3月一模）若實(shí)數(shù)滿足,則最大值是（）A．4 B．18 C．20 D．24【答案】C【解析】當(dāng)時(shí),解得,符合題意；當(dāng)時(shí),令,則,又,則,即,則原方程可化為,設(shè),,,則表示斜率為的直線,表示以原點(diǎn)為圓心,半徑為的四分之一圓,則問題等價(jià)于和有公共點(diǎn),觀察圖形可知,當(dāng)直線與圓相切時(shí),由,解得,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),,解得,因此,要使直線與圓有公共點(diǎn),,綜上,,故的最大值為20.故選C.12．（2021湖北省鄂州高三3月月考）已知直線與直線相交于點(diǎn),線段是圓的一條動(dòng)弦,且,則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得圓的圓心為,半徑,易知直線恒過點(diǎn),直線恒過,且,點(diǎn)的軌跡為,圓心為,半徑為,若點(diǎn)為弦的中點(diǎn),位置關(guān)系如圖：.連接,由易知.,.故選D.二、多選題13．（2021山東省淄博市高三三模）已知圓和圓的交點(diǎn)為,,則（）A．圓和圓有兩條公切線B．直線的方程為C．圓上存在兩點(diǎn)和使得D．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】ABD【解析】對(duì)于A,因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交,所以有兩條公切線,故正確；對(duì)于B,將兩圓方程作差可得,即得公共弦的方程為,故B正確；對(duì)于C,直線經(jīng)過圓的圓心,所以線段是圓的直徑,故圓中不存在比長(zhǎng)的弦,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為2,圓心到直線的距離為,所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為,D正確.故選ABD.14．（2021江蘇省南通學(xué)科基地高三全真模擬）集合在平面直角坐標(biāo)系中表示線段的長(zhǎng)度之和記為.若集合,,則下列說法中正確的有（）A．若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為B．存在,使C．無論取何值,都有D．的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A,因?yàn)?所以,解得,故A正確.對(duì)于B和C,直線過定點(diǎn),因?yàn)?故C正確,B錯(cuò)誤.對(duì)于D,設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,則,所以的最大值,即的最大值,于是的最大值為,故D正確.故選ACD15．（2021河北省滄州市高三三模）已知點(diǎn),若過點(diǎn)的直線交圓：于,兩點(diǎn),是圓上一動(dòng)點(diǎn),則（）A．的最小值為 B．到的距離的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ABD【解析】如圖,當(dāng)直線與軸垂直時(shí),有最小值,且最小值為,所以A正確；設(shè),則,所以,所以的最小值為,所以C錯(cuò)誤；當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí),最大,且最大值為,所以D正確；當(dāng)直線與垂直時(shí),到的距離有最大值,且最大值為,所以B正確.故選ABD16．（2021河北省張家口市、滄州市高三下學(xué)期二模）已知直線與圓,則下列說法中正確的是（）A．直線l與圓M一定相交B．若,則直線l與圓M相切C．當(dāng)時(shí),直線l與圓M的相交弦最長(zhǎng)D．圓心M到直線l的距離的最大值為【答案】BCD【解析】,即,是以為圓心,以1為半徑的圓,A.因?yàn)橹本€,直線l過原點(diǎn),,原點(diǎn)在圓外,所以直線l與圓M不一定相交,故錯(cuò)誤；B.若,則直線,直線l與圓M相切,故正確；C.當(dāng)時(shí),直線l的方程為,過圓M的圓心,故正確；D.由點(diǎn)到直線距高公式,知(當(dāng)時(shí),等號(hào)成立).故正確,故選BCD.三、填空題17．（2021湖北省襄陽(yáng)市高三5月第二次模擬）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠,他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A?B的距離之比為λ(λ>0,λ≠1),那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn),點(diǎn)B(4,2),M為圓O上的動(dòng)點(diǎn),則2|MA|+|MB|的最小值為___________【答案】【解析】設(shè)M(x,y),令2|MA|=|MC|,則,由題知圓x2+y2=1是關(guān)于點(diǎn)A?C的阿波羅尼斯圓,且,設(shè)點(diǎn)C(m,n),則,整理得：,比較兩方程可得：,,,即m=-2,n=0,所以點(diǎn)C(-2,0),如圖所示：當(dāng)點(diǎn)M位于圖中M1?M2的位置時(shí),2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小,最小為.18．（2021華大新高考聯(lián)盟高三下學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)）已知點(diǎn)在拋物線：上運(yùn)動(dòng),圓過點(diǎn),,,過點(diǎn)引直線,與圓相切,切點(diǎn)分別為,,則的取值范圍為__________.【答案】【解析】設(shè)圓的方程為,將,,分別代入,可得,解得,即圓：；如圖,連接,,,,易得,,,所以四邊形的面積為；另外四邊形的面積為面積的兩倍,所以,故,故當(dāng)最小時(shí),最小,設(shè),則,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)正無窮大時(shí),趨近圓的直徑4,故的取值范圍為.19．（2021湖南省益陽(yáng)市高三下學(xué)期4月模擬）已知圓O：x2+y2=1,A(3,3),點(diǎn)P在直線l：x﹣y=2上運(yùn)動(dòng),則|PA|+|PO|的最小值為___________.【答案】【解析】由于點(diǎn)A與點(diǎn)O在直線l：x﹣y=2的同側(cè),設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線l：x﹣y=2的對(duì)稱點(diǎn)為O′(x′,y′),∵kOO′=﹣1,∴OO′所在直線方程為y=﹣x,聯(lián)立,解得,即OO′的中點(diǎn)為(1,﹣1),∴O′(2,﹣2),則|PA|+|PO|=|PA|+|PO′|≥|AO′|=.20．（2021江蘇省南通市高三下學(xué)期5月四模）舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰(1615-16