專題6極值點(diǎn)偏移六脈神劍之“商陽劍”(學(xué)生版+解析)

極值點(diǎn)偏移六脈神劍之“商陽劍”商陽劍——右手食指-手陽明大腸經(jīng)。特點(diǎn)：巧妙靈活，難以捉摸。近幾年全國(guó)各地的模擬試題、高考試題中頻繁出現(xiàn)一類考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的題型：在給定區(qū)間內(nèi)研究?jī)珊瘮?shù)之間的不等關(guān)系.要解決這類問題，往往是直接構(gòu)造某個(gè)新函數(shù)，或者分離變量之后構(gòu)造新的函數(shù)，通過研究構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來求出最值或者得到我們想要的不等關(guān)系.這一類問題多數(shù)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，解題時(shí)除了直接構(gòu)造一元函數(shù)求解，還可將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)問題，再用對(duì)數(shù)平均不等式求解，本文對(duì)此類問題做一探究.對(duì)點(diǎn)詳析，利器顯鋒芒★設(shè)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在三個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍，并證明:.★已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).證明：.內(nèi)練精氣神，外練手眼身★已知函數(shù)f(x)=(ax+1)ex，（Ⅰ）當(dāng)a>0時(shí)，證明：f(x)+a（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，如果，且f(x1)=f(x2★已知函數(shù).如果，且.證明：.★設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.★已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)為.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.★已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明:當(dāng)時(shí)，.★已知函數(shù)，若任意不同的實(shí)數(shù)滿足，求證：.★已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.極值點(diǎn)偏移六脈神劍之“商陽劍”商陽劍——右手食指-手陽明大腸經(jīng)。特點(diǎn)：巧妙靈活，難以捉摸。近幾年全國(guó)各地的模擬試題、高考試題中頻繁出現(xiàn)一類考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的題型：在給定區(qū)間內(nèi)研究?jī)珊瘮?shù)之間的不等關(guān)系.要解決這類問題，往往是直接構(gòu)造某個(gè)新函數(shù)，或者分離變量之后構(gòu)造新的函數(shù)，通過研究構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來求出最值或者得到我們想要的不等關(guān)系.這一類問題多數(shù)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，解題時(shí)除了直接構(gòu)造一元函數(shù)求解，還可將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)問題，再用對(duì)數(shù)平均不等式求解，本文對(duì)此類問題做一探究.對(duì)點(diǎn)詳析，利器顯鋒芒★設(shè)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在三個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍，并證明:.【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2），證明見解析【解析】(1).令，得，得，在上遞減，在上遞增.即，解得，解得，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)，有三個(gè)極值點(diǎn)，方程有兩個(gè)不等根，且都不是，令，時(shí)，單調(diào)遞增，至多有一根，解得，解得.在上遞減，在上遞增，此時(shí)，，，時(shí).時(shí)，有三個(gè)根，且，由得，由得，下面證明:，可變形為令，，在上遞增，，★已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).證明：.法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，，故可整理得：設(shè)，則那么，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．學(xué)科*網(wǎng)設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，則，故單調(diào)遞增，有．因此，對(duì)于任意的，．由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有令，則有而，，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：．法三：參變分離再構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)由法二，得，構(gòu)造，利用單調(diào)性可證，此處略.學(xué)科*網(wǎng)法五：利用“對(duì)數(shù)平均”不等式參變分離得：，由得，，將上述等式兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得，化簡(jiǎn)得：，故由對(duì)數(shù)平均不等式得：，，從而等價(jià)于：由，故，證畢.內(nèi)練精氣神，外練手眼身★已知函數(shù)f(x)=(ax+1)ex，（Ⅰ）當(dāng)a>0時(shí)，證明：f(x)+a（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，如果，且f(x1)=f(x2【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）當(dāng)a>0時(shí)，，由f'(x)>0，得x>?a+1a∴f(x)在(?鈭??a+1a)∴x=?a+1a時(shí)，f(x)取得極小值，即最小值當(dāng)a>0時(shí)，a+1a=1+1∵0<e?a+1a<（Ⅱ）證明：當(dāng)a=?12時(shí)，則f'(x)=12(1?x)ex，∴x鈭?1+鈭?時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x鈭??鈭?1)令F(x)=f(x)?f(2?x)，則F(x)=(?1∴F'(x)=12(1?x)(ex?e2?x)∴F'(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，∴F(x)<F(1)=f(1)?f(1)=0，即f(x)?f(2?x)<0，∴當(dāng)x鈭?1,+鈭?時(shí)，f(x)<f(2?x).又f(x)在(?鈭?1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1+鈭?內(nèi)是減函數(shù).，且f(x1∴x1，x2不再同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，不妨設(shè)x1∵f(x∴f(x∵x1<1，2?x2<1∴x1<2?x★已知函數(shù).如果，且.證明：.★設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：，移項(xiàng)取對(duì)數(shù)得：=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得：，即：★已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)為.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）;（2）見解析.【解析】試題分析：（1）在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)根，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果；（2），，兩式相除可得，設(shè)，只需證明即可.試題解析：（1）∵在上有兩個(gè)零點(diǎn)，∴方程，則，于是時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而求最值、不等式恒成立問題以及不等式證明問題，屬于難題.對(duì)于求不等式恒成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù),這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù),另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的,如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.★已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明:當(dāng)時(shí)，.【解析】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)由(1)知當(dāng)時(shí)，．不妨設(shè)，因?yàn)?，即，則，要證明，即，只需證明，即．而等價(jià)于，令，則，令，則，所以單調(diào)遞減，，即，所以單調(diào)遞減，所以，得證．★已知函數(shù)，若任意不同的實(shí)數(shù)滿足，求證：.方案一（差為自變量）：法三：令，原式，則令，設(shè)，則在為減函數(shù)，則時(shí)有最大值，故