考點10 計數(shù)原理

考點10計數(shù)原理【易錯點分析】1.排列與排列數(shù)（1）排列：從n個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.（2）排列數(shù)：從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作.2.組合與組合數(shù)（1）組合：從n個不同元素中取出個元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.（2）組合數(shù)：從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作.3.二項式定理公式叫做二項式定理.公式中右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)，式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項.4.二項展開式形式上的特點（1）項數(shù)為.（2）各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.（3）字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到0，字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.（4）二項式系數(shù)為.5.二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即.（2）增減性與最大值：對于二項式系數(shù)，當時，二項式系數(shù)是遞增的；當時，二項式系數(shù)是遞減的.當n是偶數(shù)時，二項展開式的中間一項（第項）的二項式系數(shù)最大，即最大的二項式系數(shù)為.當n是奇數(shù)時，二項展開式的中間兩項（第項和第項）的二項式系數(shù)相等且最大，即最大的二項式系數(shù)為和.（3）二項式系數(shù)的和：的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于，即.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即.1.的展開式中有理項的項數(shù)為()

A.3 B.4 C.5 D.62.從5名學生中選出4名分別參加數(shù)學、物理、化學、生物學科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為()A.48 B.72 C.90 D.963.的展開式中的系數(shù)為()A.-7 B.-35 C.-49 D.-564.某單位在春節(jié)七天的假期間要安排值班表，該單位有值班領導3人，值班員工4人，要求每位值班領導至少值兩天班，每位值班員工至少值一天班，每天要安排一位值班領導和一位值班員工一起值班，且一人值多天班時要相鄰的安排方案有()

A.249種 B.498種 C.1052種 D.8640種5.已知則的值為()

A.24 B.-48 C.-32 D.726.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須相鄰安排的概率為()

A. B. C. D.7.的展開式中，各二項式系數(shù)之和為32，各項系數(shù)之和為243，則展開式中的系數(shù)為__________.8.某學校要安排2名高二的同學，2名高一的同學和1名初三的同學去五個鄉(xiāng)村小鎮(zhèn)參加志愿活動，每名同學選擇一個小鎮(zhèn)，若高二的同學不去小鎮(zhèn)，高一的同學不去小鎮(zhèn)，初三的同學不去小鎮(zhèn)和，則共有___________種不同的安排方法.(用數(shù)字作答)9.已知的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，若的展開式中常數(shù)項為，含有項的系數(shù)為，則_________.10.某縣政府為直播帶貨、在線助農(nóng)，組織了該縣的6位網(wǎng)紅主播大力推介該縣的農(nóng)副產(chǎn)品，并安排了3個時間段進行直播，若每個時間段至少有1位網(wǎng)紅主播直播帶貨，且每位網(wǎng)紅主播均參加且只參加一個時間段的直播帶貨，則不同的安排方法有__________種.（用數(shù)字作答）

答案以及解析1.答案：C解析：.又的展開式的通項，所以.當x的指數(shù)是整數(shù)時，該項為有理項，所以當，2，4，6，8時，該項為有理項，即有理項的項數(shù)為5.故選C.2.答案：D解析：因為甲不參加生物競賽，所以可安排甲參加另外3科比賽或甲不參加任何比賽，①當甲參加另外3科比賽時，共有種參賽方案;②當甲不參加任何比賽時，共有種參賽方案.綜上所述，所有的參賽方案有(種).3.答案：A解析：的展開式中含的項為，故選A.4.答案：D解析：先安排值班領導：選1位值班領導值三天班，則安排3位領導值班共有（種）方案.再安排值班員工：若4名員工中有1名員工值四天班，其他員工各值一天班，則有（種）選法；若1名員工值兩天班，另一名員工值三天班，剩余2名員工各值一天班，則有（種）選法；若3名員工各值兩天班，1名員工值一天班，則有（種）選法，故安排4名員工值班共有（種）方案.因此，該單位在春節(jié)七天的假期間值班表安排方案共有（種）.故選D.5.答案：B解析：由題，令可得，令可得，可得故選B.6.答案：B解析：由題意知所有不同的安排種數(shù)為.

“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須相鄰可以分兩類安排：

①“數(shù)”排在第一節(jié)，“禮”和“樂”相鄰安排，則“禮”“樂”相鄰的位置有4個，考慮兩者的順序，有2種情況，剩下的3藝全排列，安排在其他三個位置，有種情況，故共有種情況；

②“數(shù)”排在第二節(jié)，“禮”和“樂”相鄰安排，則“禮”“樂”相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，剩下的3藝全排列安排在其他三個位置，有種情況，故共有種情況.

由分類加法計數(shù)原理知，滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須相鄰安排的情況共有種，

所以所求概率.

故選B.7.答案：10解析：的展開式中，各二項式系數(shù)之和為.令可得各項系數(shù)之和為則展開式的通項為令可得，故展開式中的系數(shù)為8.答案：32解析：若初三學生去小鎮(zhèn)，則從高二學生中選1人去小鎮(zhèn)，另外三人分別去小鎮(zhèn)，故方法數(shù)為；若初三學生去小鎮(zhèn)，則從高一學生中選1人去小鎮(zhèn)，另外三人分別去小鎮(zhèn)，故方法數(shù)為；若初三學生去小鎮(zhèn)，則從高二學生中選1人去小鎮(zhèn)，從高一學生中選1人去小鎮(zhèn)，另外兩人分別去小鎮(zhèn)，故方法數(shù)為.故總的方法數(shù)為.9.答案：解析：由條件可得展開式中共有9