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上海市師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.非零向量,,若點關(guān)于所在直線的對稱點為,則向量為A. B.C. D.2.,,這三個數(shù)之間的大小順序是()A. B.C. D.3.在平行四邊形中,,則()A. B.C.2 D.44.若m,n表示兩條不同直線,α表示平面,則下列命題中真命題是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則5.下列命題中是真命題的是()A.“”是“”的充分條件B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的充要條件6.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,且,則下列說法正確的是A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則7.如圖:在正方體中,設(shè)直線與平面所成角為,二面角的大小為,則為A. B.C. D.8.已知冪函數(shù)的圖象過點(2,),則的值為()A B.C. D.9.已知函數(shù)y=xa,y=xb,y=cx的圖象如圖所示,則A.c<b<a B.a<b<cC.c<a<b D.a<c<b10.若和都是定義在上的奇函數(shù),則()A.0 B.1C.2 D.3二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知集合,,則=______12.在平行四邊形中,為上的中點,若與對角線相交于,且,則__________13.已知是第四象限角,,則______14.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則下列結(jié)論正確是__________(將所有符合題意的序號填在橫線上)①函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);②滿足條件的正整數(shù)的最大值為3;③.15.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則___________.16.函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為___________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù)是偶函數(shù)(1)求實數(shù)的值;(2)若函數(shù)的最小值為,求實數(shù)的值;(3)當(dāng)為何值時,討論關(guān)于的方程的根的個數(shù)18.已知函數(shù)⑴判斷并證明函數(shù)的奇偶性;⑵若,求實數(shù)的值.19.已知是定義在上的奇函數(shù).(1)求實數(shù)和的值;(2)根據(jù)單調(diào)性的定義證明:在定義域上為增函數(shù).20.直線過點,且傾斜角為.(1)求直線的方程;(2)求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.21.設(shè)是定義在上的偶函數(shù),的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱,且當(dāng)時,()求的解析式()若在上為增函數(shù),求的取值范圍()是否存在正整數(shù),使的圖象的最高點落在直線上?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】如圖由題意點B關(guān)于所在直線的對稱點為B1,所以∠BOA=∠B1OA,所以又由平行四邊形法則知:,且向量的方向與向量的方向相同,由數(shù)量積的概念向量在向量方向上的投影是OM=,設(shè)與向量方向相同的單位向量為:,所以向量=2=2=,所以=.故選A.點睛:本題利用平行四邊形法則表示和向量,因為對稱,所以借助數(shù)量積定義中的投影及單位向量即可表示出和向量,解題時要善于借助圖像特征體現(xiàn)向量的工具作用.2、C【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可【詳解】解:因為在上為減函數(shù),且,所以,因為在上為增函數(shù),且,所以,因為在上為增函數(shù),且,所以,綜上,,故選:C3、B【解析】由條件根據(jù)兩個向量的加減法的法則,以及其幾何意義,可得,,然后轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】可得,,兩式平方相加可得故選:4、A【解析】對于A,因為垂直于同一平面的兩條直線相互平行,故A正確;對于B,如果一條直線平行于一個平面,那么平行于已知直線的直線與該平面的位置關(guān)系有平行或在平面內(nèi),故B錯;對于C,因同平行于一個平面的兩條直線異面、相交或平行,故C錯;對于D,與一個平面的平行直線垂直的直線與已知平面是平行、相交或在面內(nèi),故D錯,選A.5、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】因為是集合A的子集,故“”是“”的必要條件,故選項A為假命題;當(dāng)時,則,所以“”是“”的必要條件,故選項B為真命題;因為是上的減函數(shù),所以當(dāng)時,,故選項C為假命題;取,,但,故選項D為假命題.故選:B.6、A【解析】本道題目分別結(jié)合平面與平面平行判定與性質(zhì),平面與平面平行垂直判定與性質(zhì),即可得出答案.【詳解】A選項,結(jié)合一條直線與一平面垂直,則過該直線的平面垂直于這個平面,故正確;B選項,平面垂直,則位于兩平面的直線不一定垂直,故B錯誤;C選項,可能平行于與相交線,故錯誤;D選項,m與n可能異面,故錯誤【點睛】本道題目考查了平面與平面平行判定與性質(zhì),平面與平面平行垂直判定與性質(zhì),發(fā)揮空間想象能力,找出選項的漏洞,即可.7、B【解析】連結(jié)BC1,交B1C于O,連結(jié)A1O,∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,BC1⊥B1C,BC1⊥DC,∴BO⊥平面A1DCB1,∴∠BA1O是直線A1B與平面A1DCB1所成角θ1,∵BO=A1B,∴θ1=30°;∵BC⊥DC,B1C⊥DC,∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2,∵BB1=BC,且BB1⊥BC,∴θ2=45°故答案選:B8、A【解析】令冪函數(shù)且過(2,),即有,進而可求的值【詳解】令,由圖象過(2,)∴,可得故∴故選:A【點睛】本題考查了冪函數(shù),由冪函數(shù)的形式及其所過的定點求解析式,進而求出對應(yīng)函數(shù)值,屬于簡單題9、A【解析】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),結(jié)合圖象可得a>1,b=12,【詳解】由圖象可知:a>1,y=xb的圖象經(jīng)過點4,2當(dāng)x=1時,y=c∴c<b<a,故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別,關(guān)鍵掌握指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】根據(jù)題意可知是周期為的周期函數(shù),以及,,由此即可求出結(jié)果.【詳解】因為和都是定義在上的奇函數(shù),所以,,所以,所以,所以是周期為周期函數(shù),所以因為是定義在上的奇函數(shù),所以,又是定義在上的奇函數(shù),所以,所以,即,所以.故選:A.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、{-1,1,2};【解析】=={-1,1,2}12、3【解析】由題意如圖:根據(jù)平行線分線段成比例定理,可知,又因為,所以根據(jù)三角形相似判定方法可以知道∵為的中點∴相似比為∴∴故答案為313、【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值,在利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】因為是第四象限角,,則,所以,.故答案為:.14、①②③【解析】!由題函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則由可得為奇函數(shù),則①函數(shù)在區(qū)間(,0)上是增函數(shù),正確;由可得,即有滿足條件的正整數(shù)的最大值為3,故②正確;由于由題意可得對稱軸,即有.,故③正確故答案為①②③【點睛】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),重點是對稱性和單調(diào)性的運用,考查運算能力,屬于中檔題15、【解析】根據(jù)冪函數(shù)定義求出值,再根據(jù)單調(diào)性確定結(jié)果【詳解】由題意,解得或,又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,∴故答案為:16、【解析】利用正切函數(shù)的對稱中心求解即可.【詳解】令=(),得(),∴對稱中心的坐標(biāo)為故答案:()三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)(3)當(dāng)時,方程有一個根;當(dāng)時,方程沒有根;當(dāng)或或時,方程有兩個根;當(dāng)時,方程有三個根;當(dāng)時,方程有四個根【解析】(1)利用偶函數(shù)滿足,求出的值;(2)對函數(shù)變形后利用二次函數(shù)的最值求的值;(3)定義法得到的單調(diào)性,方程通過換元后得到的根的情況,通過分類討論最終求出結(jié)果.【小問1詳解】由題意得:,即,所以,其中,∴,解得:【小問2詳解】,∴,故函數(shù)的最小值為,令,故的最小值為,等價于,解得:或,無解綜上:【小問3詳解】由,令,,有由,有,,可得,可知函數(shù)為增函數(shù),故當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,由函數(shù)為偶函數(shù),可知函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,令,有,方程(記為方程①)可化為,整理為:(記為方程②),,當(dāng)時,有,此時方程②無解,可得方程①無解;當(dāng)時,時,方程②的解為,可得方程①僅有一個解為;時,方程②的解為,可得方程①有兩個解;當(dāng)時,可得或,1°當(dāng)方程②有零根時,,此時方程②還有一根為,可得此時方程①有三個解;2°當(dāng)方程②有兩負根時,可得,不可能;3°當(dāng)方程②有兩正根時,可得:,又由,可得,此時方程①有四個根;4°當(dāng)方程②有一正根一負根時,,可得:或,又由,可得或,此時方程①有兩個根,由上知:當(dāng)時,方程①有一個根;當(dāng)時,方程①沒有根;當(dāng)或或時,方程①有兩個根;當(dāng)時,方程①有三個根;當(dāng)時,方程①有四個根【點睛】對于復(fù)合函數(shù)根的個數(shù)問題,要用換元法來求解,通常方法會用到根的判別式,導(dǎo)函數(shù),基本不等式等.18、(1)(2)【解析】(1)求出函數(shù)的定義域,利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷即可;(2)是奇函數(shù),則結(jié)合,求解代入求解即可.【詳解】(1)解:是奇函數(shù).證明:要等價于即故的定義域為設(shè)任意則又因為所以是奇函數(shù).(2)由(1)知,是奇函數(shù),則聯(lián)立得即解得19、(1);(2)見詳解2.【解析】(1)由可得,再求值.(2)設(shè),作差與零比較.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數(shù),所以,,,【小問2詳解】設(shè),則,,,,所以,,故在定義域上為增函數(shù).20、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)傾斜角得到斜率,再由點斜式,即可得出結(jié)果;(2)分別求出直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),進而可求出三角形面積.【詳解】(1)∵傾斜角為,∴斜率,∴直線的方程為:,即;(2)由(1)得,令,則,即與軸交點為;令,則,以及與軸交點為;所以直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.21、(1);(2);(3)見解析.【解析】分析:()當(dāng)時,,;當(dāng)時,,從而可得結(jié)果;()由題設(shè)知,對恒成立,即對恒成立,于是,,從而;()因為為偶函數(shù),故只需研究函數(shù)在的最大值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,討論兩種情況,即可篩選出符合題意的正整數(shù).詳解:()當(dāng)時,,;當(dāng)時,,∴,()由題設(shè)知,對恒成立,即對恒成立,于是,,從而()因為為偶函數(shù),故只需研究函數(shù)在的最
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