安徽省淮北市2023屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1淮北市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合和，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4．〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)一元二次不等式求解方法求出，利用補(bǔ)集的定義求出，再利用交集的運(yùn)算即可求解.〖詳析〗因?yàn)樗?，又因?yàn)?，所以?故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.〖詳析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，所以，則；故選：C.3.如圖所示，在三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（）A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.組合體〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論．〖詳析〗三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點(diǎn)，四邊形為底面的四棱錐．故選：B．4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗結(jié)合題干條件以及余弦的二倍角公式得到，進(jìn)而結(jié)合兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.〖詳析〗因?yàn)?，所以，故選：C.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在橢圓上，且直線的斜率之積為，則（）A.1 B.3 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用橢圓方程和的斜率之積為，建立A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入原式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.〖詳析〗因?yàn)樵跈E圓上，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以．故選：A.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是單位圓上的四段弧，點(diǎn)在其中一段上，角以為始邊，為終邊．若，則所在的圓弧是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)定義解決即可.〖詳析〗設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以由三角函數(shù)的定義可得，因?yàn)椋?，由圖知對(duì)于A，在第一象限，且，不滿足題意，故A錯(cuò)；對(duì)于B，在第三象限，且，不滿足題意，故B錯(cuò)；對(duì)于C，在第三象限，且，滿足題意，故C正確；對(duì)于D，在第四象限，且，不滿足題意，故D錯(cuò)；故選：C.7.如圖，對(duì)于曲線所在平面內(nèi)的點(diǎn)，若存在以為頂點(diǎn)的角，使得對(duì)于曲線上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B恒有成立，則稱角為曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“確界角”．已知曲線（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線的相對(duì)于點(diǎn)的“確界角”為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到過(guò)點(diǎn)且與相切的直線的斜率，設(shè)過(guò)的直線與相切，然后通過(guò)聯(lián)立，讓得到切線斜率，最后利用傾斜角和斜率的關(guān)系求角即可.〖詳析〗記曲線為，當(dāng)時(shí)，，設(shè)過(guò)的直線與的圖象相切，切點(diǎn)為，則切線方程為，將代入整理，得，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，且，所以，所以，所以的圖象與直線相切．當(dāng)時(shí)，設(shè)的圖象即拋物線與過(guò)的直線相切．聯(lián)立兩方程整理，得，．解得或（舍）．設(shè)兩切線傾斜角分別為，，則，．所以，所以所求確界角為．故選：B．8.對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（）A.A與B不互斥 B.A與D互斥但不對(duì)立C.C與D互斥 D.A與C相互獨(dú)立〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由已知條件結(jié)合事件的運(yùn)算判斷事件間的互斥、對(duì)立關(guān)系，根據(jù)的關(guān)系判斷事件是否獨(dú)立.〖詳析〗由，，，即，故A、B互斥，A錯(cuò)誤；由，A、D互斥且對(duì)立，B錯(cuò)誤；又，，則，C與D不互斥，C錯(cuò)誤；由，，，所以，即A與C相互獨(dú)立，D正確.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），且，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗利用平面向量線性運(yùn)算，結(jié)合基本不等式，驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)果.〖詳析〗是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），則有，得，即，又，∴，可得，，，，，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：AD10已知函數(shù)，則（）A.在單調(diào)遞增B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D.是奇函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及奇偶性的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.〖詳析〗對(duì)A：，定義域?yàn)?，則，由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故A正確；對(duì)B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；對(duì)D：定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知曲線，直線l過(guò)點(diǎn)交于A，B兩點(diǎn)，下列命題正確的有（）A.若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，則B.若，則的最小值為6C.原點(diǎn)O在AB上的投影的軌跡與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)D.若，則以線段AB為直徑的圓的面積是〖答案〗BCD〖解析〗〖祥解〗對(duì)A選項(xiàng)將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線方程，聯(lián)立直線及拋物線方程，由弦長(zhǎng)即可求出弦長(zhǎng)；對(duì)B選項(xiàng)作圖可知，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，即可求得最小值；對(duì)C選項(xiàng)根據(jù)題意，得出原點(diǎn)O在AB上的投影的軌跡，聯(lián)立方程由判別式即可判斷公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)D選項(xiàng)設(shè)出AB直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，由結(jié)合得出直線方程，再由弦長(zhǎng)公式計(jì)算出線段AB的長(zhǎng)度即可判斷〖詳析〗對(duì)于A,易得是拋物線的焦點(diǎn)，若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，則，即或，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得兩種情況計(jì)算出的相同，再此取計(jì)算.所以l的直線方程是即，直線與相交，聯(lián)立方程得,,得，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，此時(shí)最小值為，故B正確；對(duì)于C,設(shè)原點(diǎn)在直線上的投影為，的中點(diǎn)為，因，所以，所以為直角三角形，所以，根據(jù)幾何性質(zhì)及圓的定義可知點(diǎn)的軌跡方程為，聯(lián)立得，解得，所以直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D,設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得所以，因?yàn)?，而，所以，所以，所以所以，解得，則，所以，，所以以線段AB為直徑的圓的面積是，故D正確.故選：BCD.12.如圖，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)上述操作（其中），得到四個(gè)小正方形，記它們的面積分別為，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗BC〖解析〗〖詳析〗設(shè)，最大正方形的邊長(zhǎng)為1，小正方形的邊長(zhǎng)分別為．∵，，，，，所以C正確；，所以，所以B正確，故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是________（用數(shù)字作答）〖答案〗240〖解析〗〖祥解〗根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式賦值即可求出．〖詳析〗因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得．所以的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是．故〖答案〗為：240．〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知直四棱柱的底面是菱形，，棱長(zhǎng)均為4，，的中點(diǎn)分別為、，則三棱錐的體積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗取的中點(diǎn)，連接、、、、、，即可得到，由題意可得，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，最后根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.〖詳析〗解：如圖取的中點(diǎn)，連接、、、、、，顯然且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又是邊長(zhǎng)為的菱形且，所以為等邊三角形，則，又，所以，又四棱柱為直棱柱，即平面平面，平面平面，平面，所以平面，且，又，所以.故〖答案〗為：15.設(shè)若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗作出函數(shù)圖象，由條件觀察圖象確定的范圍，化簡(jiǎn)，求其范圍.〖詳析〗設(shè)，則為方程的解，所以為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又作函數(shù)和的圖象如下，觀察圖象可得，不妨設(shè)，則，所以，，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以的取值范圍是，故〖答案〗為?16.已知雙曲線C：過(guò)點(diǎn)，則其方程為_(kāi)_______，設(shè)，分別為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，E為右頂點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)M，N分別為，的內(nèi)心，則的取值范圍是________．〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗①將點(diǎn)代入方程中求出，即可得〖答案〗；②據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義可推得，的內(nèi)切圓與軸切于雙曲線的右頂點(diǎn)，設(shè)直線的傾斜角為，可用表示，根據(jù)兩點(diǎn)都在右支上得到的范圍，利用的范圍可求得的取值范圍〖詳析〗①由雙曲線C：過(guò)點(diǎn)，所以所以方程為②如圖：設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于，所以，所以，又，所以，又，所以與重合，所以的橫坐標(biāo)為，同理可得的橫坐標(biāo)也為，設(shè)直線的傾斜角為.則，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由題知，...因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴.且，，綜上所述，.故①〖答案〗為：;〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：第一問(wèn)相對(duì)簡(jiǎn)單，代點(diǎn)求出即可；第二問(wèn)難度較大，主要根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義推出，的內(nèi)切圓與軸同時(shí)切于雙曲線的右頂點(diǎn),并將用直線的傾斜角表示出來(lái)是解題關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）求角的大?。?）若，求的面積．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）由正弦定理求出，即可得到，再由兩角和的正弦公式求出，最后由面積公式計(jì)算可得.〖小問(wèn)1詳析〗解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，則，又，所以．〖小問(wèn)2詳析〗解：因?yàn)?，，，由，得，即，又，所以，則，所以，所以．18.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2），〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)遞推公式證明為定值即可；（2）先由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)，從而可得數(shù)列的的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求解即可.〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)椋?，又，所以是以為首?xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；〖小問(wèn)2詳析〗由（1）知，故，所以，故，則，兩式相減得，所以.19.如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．（1）求證：面面ABCD；（2）設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過(guò)B，Q兩點(diǎn)的截面，且平面BEQF，是否存在點(diǎn)Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，說(shuō)明理由．〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗；（2）存在點(diǎn)Q，.〖解析〗〖祥解〗（1）結(jié)合余弦定理，勾股定理可得，又，所以面PAB，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAD的法向量，設(shè)，求得平面BEQF的法向量，由得出〖答案〗.〖小問(wèn)1詳析〗在中，因?yàn)?，，所以，，所以，則，即，又，，面PAB，所以面PAB，又面ABCD，所以面面ABCD；〖小問(wèn)2詳析〗假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得平面平面PAD；如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，為x，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)是平面PAD的法向量，則，取，設(shè)，其中．則連接EF，因平面BEQF，平面PAC，平面平面，故，取與同向的單位向量，設(shè)是平面BEQF的法向量，則，?。善矫嫫矫鍼AD，知，有，解得．故在側(cè)棱PD上存在點(diǎn)Q且當(dāng)時(shí)，使得平面平面PAD．20.為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，榮造良好的文化氛圍，某高中校團(tuán)委組織非畢業(yè)年級(jí)開(kāi)展了“我們的元宵節(jié)”主題知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有個(gè)人賽和團(tuán)體賽，每人只能參加其中的一項(xiàng)，根據(jù)各位學(xué)生答題情況，獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：獎(jiǎng)項(xiàng)組別個(gè)人賽團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)高一20206050高二162910550（1）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來(lái)自高一的概率；（2）從高一和高二獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來(lái)自高一的人數(shù)為，來(lái)自高二的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）〖答案〗（1）（2）分布列見(jiàn)〖解析〗，（3）〖解析〗〖祥解〗（1）直接利用條件概率公式計(jì)算得到〖答案〗.（2）得可能取值為0，1，2，計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到〖答案〗.（3）根據(jù)方差的性質(zhì)得到，得到〖答案〗.〖小問(wèn)1詳析〗記“任取1名學(xué)生，該生獲得一等獎(jiǎng)”為事件，“任取1名學(xué)生，該生為高一學(xué)生”為事件，，，故.〖小問(wèn)2詳析〗由已知可得，得可能取值為0，1，2，，，的分布列為012p〖小問(wèn)3詳析〗

理由：，故，21.已知橢圓，A、F分別為的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為直徑的圓與交于M點(diǎn)（第二象限），．（1）求橢圓的離心率e；（2）若，直線，l交于P、Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為，．（?。┤鬺過(guò)F，求的值；（ⅱ）若l不過(guò)原點(diǎn)，求的最大值．〖答案〗（1）（2）（?。?；（ⅱ）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)所給條件求得點(diǎn)M坐標(biāo)，帶入橢圓方程結(jié)合離心率的定義，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)，，坐標(biāo)分別為，，（?。└鶕?jù)題意求得直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理直接求即可；（ⅱ）設(shè)直線l的方程為，（）與橢圓方程聯(lián)立得，利用韋達(dá)定理得，，由即可得解.〖小問(wèn)1詳析〗由已知點(diǎn)M是以AO為直徑的圓上的點(diǎn)，∴，又∵，，∴，，∴，又∵點(diǎn)M在橢圓上，∴，整理得，∴〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)，，（ⅰ）由，，∴橢圓的方程為：，在中，∴直線l的斜率為，∴直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，整理得：，∴，，∴，（ⅱ）設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，